正交实验设计

在生产和科学研究中遇到的问题，一般都是比较复杂的，包含多种因素，且各个因素又有不同的状态，它们往往互相交织、错综复杂。要解决这类问题，常常需要做大量实验。例如，某工业废水欲采用厌氧消化处理，经过分析研究后，决定考察3个因素（如温度、时间、负荷率），而每个因素又可能有3种不同的状态（如温度因素为25 ℃、30 ℃、35 ℃ 3 个水平），它们之间可能有33=27种不同的组合，也就是说，要经过27次实验后才能知道哪一种组合最好。显然，这种全面进行实验的方法，不但费时、费钱，有时甚至是不可能实现的。对于这样的一个问题，如果我们采用正交设计法安排实验，只要经过9次实验便能得到满意的结果。对于多因素问题，采用正交实验设计可以达到事半功倍的效果，这是因为我们可以通过正交设计合理地挑选和安排实验点，较好地解决多因素实验中的两个突出问题：（1）全面实验的次数与实际可行的实验次数之间的矛盾。（2）实际所做的少数实验与要求掌握的事物的内在规律之间的矛盾。

正交实验设计法是一种研究多因素实验问题的数学方法，它主要是使用正交表这一工具从所有可能的实验搭配中挑选出若干必需的实验，然后再用统计分析方法对实验结果进行综合处理，得出结果。它不仅简单易行、计算表格化，而且科学地解决了上述两个矛盾。

2.4.1　正交表与正交设计

1.　正交表

正交表用于正交设计法安排实验。它是正交实验设计中合理安排实验，以及对数据进行统计分析的工具。正交表都以统一的记号形式表示。如L4（23），字母L代表正交表L，L右下角的数字“4”表示正交表有4行，即要安排4次实验，括号内的指数“3”表示表中有3列，即最多可以考察3个因素，括号中的底数“2”表示表中每列有1和2两种资料，即安排实验时，被考察的因素有两种水平（1和2），称为1水平与2水平。如表2-2和图2-4所示。

表2-2　L4（23）正交表

图2-4　正交表记号示意图

如果被考察各因素的水平不同，则应采用混合型正交表，其表示方式略有不同。如L8（4×24），它表示有8行（即要做8次实验）、5列（即有5个因素），而括号内的第一项“4”表示被考察的第一个因素是4水平，在正交表中位于第一列，这一列由1、2、3、4四种数字组成。括号内第二项的指数“4”表示另外还有4个考察因素，底数“2”表示后4个因素是2水平，即后4列由1、2两种数字组成。用L8（4×24）安排实验时，最多可以考察一个具有5因素的问题，其中一个因素为4水平，另外4个因素为2水平，共要做8次实验。

2.　正交表的特点

（1） 每一列中，不同的数字出现的次数相等。如上表中不同的数字只有两个，即1和2，它们各出现两次。

（2） 任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数对（即按左边的数在前，右边的数在后，排出的数对）时，每种数对出现的次数相等。表2-2中有序数对共有4种：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），它们各出现一次。

凡满足上述两个性质的表就称为正交表。

3.　正交实验设计中安排多因素实验的步骤

（1）明确实验目的，确定实验指标。

根据工程实际，明确本次实验要解决的问题，同时，要结合工程实际选用能定量、定性表达的突出指标作为实验分析的评价指标。指标可能有一个，也可能有几个。

（2）挑因素选水平，列出因素水平表。

影响实验成果的因素很多，但是，我们不是对每个因素都进行考察。例如，对于不可控因素，由于无法测出因素的数值，因而看不出不同水平的差别，难以判断该因素的作用，所以不能列为被考察的因素。对于可控因素则应挑选那些对指标可能影响较大，但又没有把握的因素来进行考察。特别注意，不能把重要因素固定住（即固定在某一状态上不进行考察）。

对于选出的因素，可以根据经验定出它们的实验范围，在此范围内选出每个因素的水平，即确定水平的个数和各个水平的数量。水平选定后，便可列成因素水平表。例如，某污水厂进行污泥厌氧消化实验，经分析后决定对温度、泥龄、投配率3个因素进行考察，并确定各因素均为2水平和每个水平的数值。此时可以列出因素水平表，见表2-3。

表2-3　污泥厌氧消化实验因素水平

（3）选用正交表。

常用的正交表有几十个，究竟选用哪个正交表，需要经过综合分析才能决定，一般是根据因素和水平的多少、实验工作量大小和允许条件确定。实际安排实验时，挑选因素、水平和选用正交表等步骤有时是结合进行的。例如，根据实验目的，选好4个因素，如果每个因素取4个水平，则需用L16（44）正交表，即要做16次实验。但是由于时间和经费上的原因，希望减少实验次数，因此，改为每个因素3水平，即改用L9（34）正交表，做9次实验就够了。

（4）表头设计。

表头设计就是根据实验要求，确定各因素在正交表中的位置，如表2-4所示。

表2-4　污泥厌氧消化实验的表头

（5）列出实验方案。

根据表头设计，结合表2-2和表2-3，即得污泥厌氧消化实验方案，如表2-5所示。

表2-5　污泥厌氧消化实验方案

4.　实验结果的分析——直观分析法

通过实验获得大量实验数据后，如何科学地分析这些数据，从中得到正确的结论，是实验设计不可分割的组成部分。

正交实验设计中的数据分析需要解决以下问题：

（1）挑选的因素中，哪些因素影响大，哪些影响小，各因素对实验目的的影响的主次关系如何。

（2）各影响因素中，哪个水平能得到满意的结果，从而找到最佳的管理运行条件。

直观分析法是一种常用的分析实验结果的方法，其具体步骤如下。

以正交表L4（23）为例，其中各数字以符号Ln（fm）表示，见表2-6。

（1） 填写实验指标。

表2-6是采用直观分析法时的实验结果分析示例。实验结束后，应归纳各组实验资料，求出相应的评价指标值yi，填入表中的实验结果（实验指标）栏中，并找出最好的一个实验结果，计算实验指标的总和填入表内。

表2-6　L4（23）表的实验结果分析

例如：将前述某污水厂厌氧消化实验所取得的4次产气量结果填入表2-7中，找出第3号实验的产气量（最高，为817），它的实验条件是A2BlC2，并将产气量的总和2 854（2 854=627+682+817+729）也填入表内。

表2-7　厌氧消化实验结果分析

ki（第m列）=第m列中数字与“i”对应的指标值之和；

R称为极差，极差是衡量数据波动大小的重要指标，极差越大的因素越重要。

例如：表2-7的第1列中与（1）和（2）相对应的实验指标分别为627、682和817、728，所以有：

k1（第1列）=627+682=1 309（L/kgCOD）

k2（第1列）=817+728=1 545（L/kgCOD）

表2-7中第1列中的水平（1）和（2）重复次数均为2次，所以有：

R（第1列）=772.5-654.5=118（L/kgCOD）

（3）作因素与实验指标的关系图。

以实验指标的k为纵坐标，因素水平为横坐标作图。该图反映了在其他因素基本上是相同变化的条件下，该因素与实验指标的关系。

例如：表2-7中所列的k与A、B、C三因素的关系可绘得图2-5。

图2-5　k与A、B、C三因素关系图

从图2-5中可以很直观地看出3因素中，对产气量影响最大的是温度，影响最小的是泥龄。

（4） 比较各因素的极差R，排出因素的主次顺序。

例如：根据表2-7，厌氧消化过程中影响产气量大小的3因素的主次顺序依次是：温度、污泥投配率、泥龄。

应该注意，实验分析得到的因素的主次、水平的优劣，都是相对于某具体条件而言。在一次实验中是主要因素，在另一次实验中，由于条件变了，就可能成为次要因素。反过来，原来次要的因素，也可能由于条件的变化而转化为主要因素。

5.　选取较好的水平组

从表2-7中可以看到，4个实验中产气量最高的操作条件是A2、B1、C2，通过计算分析找出的最优操作条件也是A2、B1、C2。因此，可以认为A2、B1、C2是一组最优操作条件。如果计算分析结果与按实验安排进行实验后得到的结果不一致，则应将各自得到的最优操作条件再各做两次实验加以验证，最后确定哪一组操作条件最优。

2.4.2　正交实验分析举例

污水生物处理所用曝气设备，不仅关系到处理厂站基建投资，还关系到运行费用，因而国内外均在研制新型高效节能的曝气设备。自吸式射流曝气设备是一种新型曝气设备，为了研制设备结构尺寸、运行条件与充氧性能的关系，拟用正交实验法进行清水充氧实验。

实验在1.6 m×l.6 m×7.0 m的钢板池内进行，喷嘴直径d=20 mm（整个实验中的部分）。

1.　实验方案确定及实验

（1） 实验目的。

实验是为了找出影响曝气装置充氧性能的主要因素并确定较理想的设备结构尺寸和运行条件。

（2） 挑选因素。

影响充氧性能的因素较多，根据有关文献资料及经验，主要考察射流器本身的结构：一个是射流器的长径比，即混合阶段的长度L与其直径D之比L/D；另一个是射流器的面积比，即混合阶段的断面面积与喷嘴面积之比

而对射流器运行条件，主要考察喷嘴工作压力p和曝气水深H。

（3） 确定各因素的水平。

为了能减少实验次数，又能说明问题，因此，每个因素选用3个水平。根据有关资料，可得结果如表2-8所示。

表2-8　实验因素水平表

（4） 确定实验评价指标。

本实验以充氧动力效率为评价指标。充氧动力效率指曝气设备所消耗的理论功率为1 kW·h时，向水中充入氧的数量，以kg/（kW·h）计。该值将曝气供氧与所消耗的动力联系在一起，是一个具有经济价值的指标，它的大小将影响到活性污泥处理厂站的运行费用。

（5） 选择正交表。

根据以上所选择的因素与水平，确定选用L9（34）正交表，见表2-9。

表2-9　L9（34）正交实验表

（6）确定实验方案。

根据已定的因素、水平及选用的正交表，如果可以实现因素顺序上列和水平对号入座，则得出正交实验方案表2-10。

表2-10　正交实验方案表L9（34）

根据表2-10，确定实验条件，可知共需完成9次实验，每组具体实验条件如表中1，2，…，9各横行所示。第一次实验在水深4.5 m，喷嘴工作压力p= 0.10 MPa，面积比m=D2/d2=9.0，长、径比L/D=60的条件下进行。

2.　实验结果直观分析

正交实验结果及直观分析如表2-11所示，具体步骤如下所示。

（1） 填写评价指标。

将每一实验条件下的原始数据，通过数据处理后求出动力效率，并计算算术平均值，填写在相应的栏内。

如计算H这一列的因素时，各水平的k值如下：

第一个水平

k4.5=1.03+0.89+0.88=2.80

第二个水平

k5.5=1.30+1.07+0.77=3.14

第三个水平

k6.5=0.83+1.11+1.01=2.95

其均值k分别为

极差R1=1.05-0.93=0.12，依此分别计算2、3、4列，结果如表2-11所示。

表2-11　正交实验结果及直观分析

续表

（3） 成果分析。

①　由表中极差大小可见，影响射流曝气设备充氧效率的因素的主次顺序依次为L/D→P→m→H。

②　由表中各因素水平值的均值可见，各因素中较佳的水平条件分别为：L/D=120；p=0.1 MPa；m=4.0；H=5.5 m。