定理 假设M是非异变换的集合，如果
(1) M中任何两个变换f，g的乘积f g仍属于M;
(2) 变换g∈M，g的逆g-1∈M.
那么，集合M在变换乘法下构成一个群，称为变换群.
在变换群概念之下. 可以给出几个具体例子.
(ⅰ)欧氏平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交群.它具有保距性;
(ⅱ)平面上所有相似变换的集合称为相似群，它具有保角性;
(ⅲ)射影平面内所有射影变换的集合构成群，称为平面上的射影群，它具有交比不变性;
(ⅳ)平面上所有仿射变换的集合构成群，称为仿射群，它具有简比不变性.
1872年，德国数学家克莱因(F.Klein1849—1925)在埃尔兰根大学发表了题为“关于近代几何研究的比较”评述，作为其教授就职演说，简称《埃尔兰根纲领》，把当时所有的几何学用变换群的观点统一起来，他的思想概括如下:
给定任意几何对象(或称元素)的集合M，并称M为空间，把M中每个几何图形变为另一个图形的过程称为一个几何变换(简称为变换)，而所有的几何变换构成群，即变换群. 属于同一类里的一切图形所共有的性质和几何量必是变换群下的不变性质和不变的量; 反之，图形在变换群中一切变换下的不变性质和不变量必是同一类里的一切图形所共有的性质. 于是，研究空间M内的图形，在变换群的一切变换的不变性质和不变的量的命题系统，就称为这个空间的几何学. 简言之，一门几何学就是研究某个集合M，在某个变换群T的作用下保持不变的那些性质的学科. 把这样一种几何记为G(M.T). 克莱因主张按照这种方式对已有的几何学加以分类，创立并研究新的几何.
克莱因把各种几何看作是研究它们所从属的各种变换群的不变性的理论，不同的变换群对应不同的几何，而各种变换群之间存在有内涵和外包的关系. 于是，已有的几何学的顺序是: 欧氏(尺度)几何——相似几何——中心仿射几何——仿射几何——射影几何. 而几种非欧几何又可视为特殊的射影几何，即
按照克莱因的思想，如果把射影变换条件再放宽一些，只要求这个变换是一对一的，即如果T由形如
x'=f(x，y)，y'=g(x，y)
的所有变换组成，这里f(x，y)，g(x，y)都是单值连续的，逆变换存在也是单值连续的，我们即可得到一个新的几何分支，称为平面拓扑学. 而这种变换被形象地称为“橡皮变形”. 用数学语言来表达就是一个连续的且逆也连续的变换，称拓扑变换或同胚变换. 它的变换群包容了所有以前提到的变换群. 因此拓扑学囊括了所有的几何学.
克莱因对几何统一的分类观点，保持了约50年之久，其优点是简便，干净利落，但是，这种分类方案，也不是无所不包的，现在的代数几何，微分几何都不能置于克莱因方案之下. 虽然如此，对于克莱因所提出的变换下的不变性的研究，无论数学，还是哲学或其他科学都具有十分重要的意义.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
