含耦合电感的正弦电流电路

计算含有耦合电感的正弦电流电路时，可采用相量法。KCL的形式不变，但KVL的方程式中要计入互感电压。当某些支路间具有互感时，这些支路电压不仅与本支路电流有关，还与那些与之有互感的支路电流有关。

1.耦合电感的串联电路

图3-61（a）、（b）所示的是两个有耦合的实际线圈的串联电路，其中R1、 L1和R2、 L2分别为两个线圈的电阻和自感，M为互感。图3-61（a）的接法是电流从两电感的同名端流入（或流出），称为顺接；图3-61（b）的接法是电流从两电感的异名端流入（或流出），称为反接，根据KVL，线圈的端电压u1和u2为

即线圈的端电压是由两部分组成，第一部分是电阻电压与自感电压之和。第二部分是互感电压，列方程式时两部分可分别考虑。两式中互感电压项前取正号对应于顺接，取负号对应于反接。

图3-61　耦合电感的串联

（a）顺接； （b）反接。

在正弦稳态下，应用相量法则有

式中：Z1=R1 +jωL1，Z2 =R2 +jωL2，ZM =jωM=jXM称互感阻抗。

总电压为

R称为等效电阻，L称为等效电感。顺接时等效电感L＞L1 +L2；反接时等效电感L ＜L1 +L2，这说明反接时互感有削弱自感的作用，称为互感的“容性”效应。如果一个自感小于互感M，则反接时该自感呈现容性。

电感L储存的磁场能量只能是正值，所以等效电感L必须为正，即L=L1 +L2-2M≥0，则

图3-62所示为耦合电感串联电路的相量图。

图3-62　耦合电感串联电路的相量图

（a）顺接M＞L1； （b）反接M＞L1。

2.耦合电感的并联电路

图3-63（a）所示为同名端在同一侧的并联接法，称为同侧并联；图3-63（b）所示为异名端在同一侧的并联接法，称为异侧并联。在正弦稳态下，电路方程为

图3-63　耦合电感并联

（a）同侧； （b）异侧。

其中Z1=R1 + jωL1， Z2=R2 +jωL2，ZM=jωM。互感电压项前取正号为同侧并联，取负号为异侧并联。由上面方程解得

则

所以两耦合电感并联的等效阻抗为

在R1=R2 =0的情况下，有

其中

L为耦合电感并联后的等效电感。由于等效电感L只能为正值，L1 + L22M ≥0，则由式（3-91）得

3.耦合电感V形连接的互感消去法

图3-64（a）、（b）为耦合电感有一端相联的V形连接的两种情况，图3-64（a）为同侧V形连接，图3-64（b）为异侧V形连接。可以把这种具有互感的电路化为无互感的等效电路，这种处理方法称为互感消去法（或去耦法）。对图3-64可列出以下电压方程：

图3-64　耦合电感的V形联接

（a）同侧； （b）异侧。

图3-65　图3-64电路的无互感等效电路

（a）同侧； （b）异侧。

按式（3-93）这组方程可画出图3-65（a） 、（b）所示的等效电路。图3-65（a）、 （b）分别称作图3-64（a）、 （b）的无互感等效电路。需要指出的是，无互感等效电路只与耦合电感的V形连接是同侧的或是异侧的有关，而与电流电压的参考方向无关。同时耦合电感的串联电路和并联电路都可以看作耦合电感V形连接的特殊情况。因此，耦合电感V形连接的互感消去法也适用于耦合电感的串联和并联。

图3-66　例3-21图

解　开关S打开时，耦合电感是顺接的，先令，则

开关S闭合时，如图3-66（b）所示。电路方程为

由以上两式解得

因为图3-66所示耦合电感是属于V形连接（异侧），可采用互感消去法，消去互感所得的无互感等效电路如图3-67所示。则电流为

图3-67　例3-21图

可见此式与前面解方程得到的的表达式是相同的。

例3-22　图3-68（a）所示的含有耦合电感的正弦电流电路中，us = 20sin （1000t + 30°） V，R1 =10Ω， L1 = 20×10-3H，L2 =10×10-3H，M=10×10-3H，R3 =20Ω。试求电流iL1和iL2。

图3-68　例3-22图

解　作出图3-68（a）的相量模型，如图3-68（b）所示。

采用支路法求解：

由式（1）解出代入式（3） ，消去，则得

把式（4）代入式（2） ，整理则得

把代入式（4） ，则得

图3-68（a）所示电路中，耦合电感是异侧V形连接，消去互感后的电路相量模型如图3-68（c）所示。

采用回路电流法求解，回路电流选取为和，如图3-68（c）所示。回路电流方程为

用克莱姆法则解回路电流方程：

则