单摆和复摆

一根不能伸长的细线上端固定，下端悬挂一可视为质点的物体．若把物体从平衡位置略微移开后释放，它就在平衡位置附近的竖直平面内往复运动．这个振动系统称为单摆．

图6.3　单摆

设物体的质量m，摆线的长度为l，其质量可以忽略．摆线竖直时，作用在物体上的合外力为零，该位置为平衡位置，用O表示．设任意时刻t，摆线偏离竖直位置的角位移为θ，并规定偏离平衡位置逆时针方向转过的角度为正．物体受到重力mg和线的拉力T，忽略空气阻力，物体所受的合力沿圆弧切线方向的分力为

在摆角θ很小时，有sinθ≈θ，所以

因物体的切向加速度，由牛顿第二定律可得

或

可见，在摆角很小的情况下，单摆的角加速度与角位移成正比，但方向相反，具有简谐振动的特征．单摆的振动是简谐振动．

把式（6.9）与式（6.2）比较，可得单摆的角频率和周期

单摆的振动周期完全决定于振动系统本身的性质，即决定于摆长l和该处的重力加速度g，而与摆动物体的质量无关．在小摆角的情况下，单摆可用作计时，也为测量重力加速度提供了一种简便方法．

一个可绕固定水平轴O作无摩擦微小摆动的刚体称为复摆，如图6.4．设复摆的质量m，对O轴的转动惯量为J，复摆的质心C到O的距离为l．

图6.4　复摆

在平衡位置，OC的连线沿竖直方向．规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正值．设时刻t，OC与竖直位置的夹角为θ，这时复摆受到相对于O轴的重力矩为

当摆角很小时，sinθ≈θ，则M＝-mglθ

若不计空气阻力，由转动定律有

或

可见在摆角很小时，复摆在平衡位置附近的运动是简谐振动．把上式与式（6.2）比较，其角频率和周期分别为

上式表明，复摆的周期也完全取决于振动系统本身的性质．