单摆与复摆

绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的物体悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把物体拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后物体往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和绳长l以及当地的重力加速度g有关，而与物体的质量、形状和振幅的大小都无关，其运动状态可用简谐振动运动方程表示，称为单摆或数学摆。如果振动的角度大于5°，则单摆不再做简谐振动，振动的周期将随振幅的增加而变大。复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下做微小摆动的动力运动体系，又称物理摆。复摆的周期与摆球的尺寸有关。

一、单摆、复摆运动研究背景

摆与其性质是由伽利略发现并进行初步研究的。第十七讲中曾提到，伽利略在意大利比萨大教堂中无意发现了吊灯的摆动规律，激发了他对摆动的研究兴趣。他发现并提出了单摆的等时性，即小角度振动的单摆的周期与摆动物体的质量、形状和振幅无关，并通过实验求得单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动。在此基础上，荷兰数学家、物理学家惠更斯经过长期的研究，发现了单摆的周期规律，确定了单摆做简谐运动的周期公式，此公式为单摆做简谐运动时的周期T与摆长l、重力加速度g之间的定量关系。

如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，在重力作用下，摆球绕通过自身某固定水平轴摆动，视为刚体运动，当摆角不同时，其运动方程的解也不同。

二、经历的困难

首先，伽利略实验所用的大小不同的木球、铁球、石块、铜球，体积都较大，并不能很好地视其为质点，且绳子与小球连接起来也有困难，对摆线的长度测量也有误差。其次，当时没有标准的计时工具，伽利略按自己脉搏的跳动来计时，发现它们往复运动的时间总是相等的，因此伽利略无法精确地得到单摆的周期公式。后来，惠更斯在重复伽利略的实验时发现，单摆的等时性只是近似成立，当摆动幅度增大时，摆的周期就会变化。惠更斯出众的数学才能帮助他解决了上述困难，他通过精心研究从理论上证明，真正等时的摆，摆动轨迹是一条摆线。并且，他通过严密的数学计算发现要使摆动轨迹成一条摆线，单摆摆动时就必须按照一定的规律改变摆线悬点的位置。在此基础上，惠更斯建立了摆运动的数学理论。

三、摆运动的数学描述

1．单摆

如图18-1所示，设质点的质量为m，绳长为l。当绳偏离竖直方向θ角时，质点受重力和绳的张力作用。重力的切向分力mgsinθ决定质点沿圆周的切向加速度，根据牛顿第二定律可得质点的切向运动方程为

图18-1

式中，负号表示切向加速度总与摆角θ增大的方向相反。

（1）当θ很小时，sinθ≈θ，忽略阻力，式（18-1）变为

整理后得

我们知道，弹簧振子运动所满足的方程为

式（18-2）与式（18-3）有相同的形式，因此小角度的单摆的运动也是简谐振动。

另外，式（18-3）是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为x=Acos（ωt+φ），式中A、φ为任意常数，由初值条件给定。仿照这个解的形式，单摆的非线性运动做线性近似（利用了sinθ≈θ）后的运动方程为

θ=Θcos（ωt+φ）（18-4）

式中，Θ为角振幅，ω=为单摆的角频率，为单摆的周期，φ为初相位。这样，伽利略的结论“单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动”得到了验证。因此，当单摆做小角度振动时，单摆的周期T=2π，完全决定于振动系统本身的性质，仅与重力加速度g和摆长l有关，而与摆球的质量m以及摆幅无关。

小角度的范围：因为5°≈0．087266rad，sin5°≈0．087156，故通常规定振动角度θ≤5°时单摆的运动可近似为简谐振动。

（2）当θ不是很小时，sinθ=-…，物体所受的回复力与摆角θ不成简单的正比关系，因此物体也不再做简谐运动。

下面我们来看任意角度下单摆周期公式的推导（忽略阻力）。

设摆长为l，摆线与竖直方向的夹角为θ，那么单摆的运动公式为

令ω=表示角速度，于是有。式（18-5）可改写成

分离变量得

其通解为

给定初始条件θ|t=0=θ0（0≤θ0≤π），ω|t=0=0，则其特解为

得

设sinφ=，则

又因为 θ=2arcs in

化简式（18-11）得到

式中θ0为摆角，F为第一类完全椭圆积分，上式也可以用级数表示为

所以，单摆大角度摆动时的周期与单摆的初始摆角θ0、绳长l和当地的重力加速度g均有关。

2．复摆

复摆是刚体运动，如图18-2所示。

图18-2

若复摆的转动惯量为J，质量为m，质心C到固定转轴的垂直距离为h。

由刚体定轴转动定理得

（1）当摆角θ较小时，sinθ≈θ，忽略阻力，复摆的运动方程为

即

式中，=ω。由式（18-15）可知，在摆角θ较小的情况下，复摆的运动也是简谐运动，其运动学方程为θ=Θcos（ωt+φ）周期为T=2π。

（2）当复摆摆角较大时，忽略阻力，其运动的微分方程为J=-mghsinθ。方程不存在解析解，只能用数值解法求解这一方程。将上述方程简化为两个一阶微分方程，即

然后可以用计算精度较高的龙格-库塔法求解，编写程序输出结果。

因此，在无阻力情况下单摆根据摆角不同可分为两种情况。当摆角小于等于5°时，近似推导出单摆做简谐振动，且周期T=2π，只与重力加速度g以及摆线长度l有关；当单摆振幅变大时，不再做简谐振动，根据数学推导，可得出其周期与振幅有关，振幅越大，周期也随之增大。

而复摆是绕不通过质心的水平固定轴摆动的刚体的摆动，忽略阻力时，根据M=Jβ得出运动方程。当摆角较小时，近似推导出复摆的运动也是简谐振动，且周期T=2π。当复摆振幅变大时，方程不存在解析解，需要通过编程来进一步研究复摆的振幅对周期是否有影响。

四、摆运动方程的物理解析

从上述讨论可知，单摆及复摆只有在做小角度摆动的情况下，其运动才是简谐振动，其原因就在于它们所受的回复力F∝-sinθ都是非线性力。若θ很小，则可作泰勒公式展开sinθ=θ-（-）…，略去高阶项得到F∝-θ的线性关系，进而得到简谐振动满足的动力学方程式+ω2θ=0。这个处理方法属于数学上的线性近似，其前提条件是θ趋向于0，只有在θ=0附近的小区域中，直线才与正弦曲线近似重合。在物理学上，从势能的角度进行分析，单摆或复摆在运动过程中重力势能的变化可以表示为Ep=mgr C（1-cosθ），式中r C是质心到转轴的距离。由于cosθ=1--…，在小角度摆动的情况下，略去θ4及以上各高阶项，势能函数Ep≈mgr Cθ2，其形式与弹簧振子的弹性势能相仿，所以，一个做微振动的系统一般都可以当作简谐振动处理。

五、存在的问题

（1）复摆大角度振动时的运动分析问题。由于大角度复摆的运动微分方程不存在解析解，因此我们需要借助计算机模拟得到具体问题的具体解。

（2）考虑阻力时，大角度单摆以及复摆的周期问题。这个问题如今的解答都是通过计算机模拟仿真得到。

六、意义及影响

在发现了摆的等时性后，伽利略很想应用摆的等时性指示时间，但是他从事科学活动遭到了教会的迫害。1636年，伽利略已经双目失明，还向荷兰政府建议试制摆钟，却没有如愿。1656年，荷兰科学家惠更斯完成了伽利略的遗愿，从理论上研究完善了钟摆及其理论，在《摆钟》（1658年）及《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》（1673年）中提出了著名的单摆周期公式。在研制摆钟时，惠更斯制作了一个秒摆（周期为2秒的单摆），导出了单摆的运动公式。同时他应用摆的等时性，造出了一座带摆的时钟，利用重锤做单摆的摆锤，由于摆锤可以调节，计时就比较准确。摆钟的出现大大提高了时钟的精确度，直至今天仍在使用。摆钟的出现也为后世科学实验时间的精确测量作出了巨大的贡献。单摆不仅是准确测定时间的仪器，也可用来测量重力加速度的变化。只要测出摆长l和周期T，就可以算出重力加速度；而复摆可以应用于许多物理实验，测量重力加速度以及测量刚体的转动惯量，并运用于机械制造及生产中。

七、课后习题

18-1 有一单摆，摆长为1．0m，小球质量为10g，t=0时小球正好经过θ=-0．06rad处，并以角速度=0．2rad／s向平衡位置运动。设小球的运动可看成简谐振动，试求：

图18-3

（1）角频率、频率和周期；

（2）小球的振动方程。

18-2 如图18-3所示，质量为m的密度计，放在密度为ρ的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明：推动密度计后，在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。

18-3 如图18-4所示，质量为m，半径为r的均匀实心小球在半径为R的球形碗底做纯滚动，求微小振动的周期。

18-4 对于谐振子，若广义动量为p，广义坐标为q，则有∮pdq=，其中E为谐振子的能量，ν为谐振子振动频率，积分在振动的一个周期内进行，试就弹簧和单摆的情况证明此式。

图18-4