拉普拉斯概率哲学思想的早期发展

在拉普拉斯卷帙浩繁的几百篇论文和手稿中，涉及概率的文章不一而足，托德亨特（Isaac Todhunter，1820—1884）在其1865年的著作中将拉普拉斯关于概率的论文和著作进行了缜密的筛选和整理^[2]，吉利斯皮（Charles C.Gillispie，1918—2015）在对于拉普拉斯概率文献的整理和阐释方面也做了出色的工作^[3]，基于这些学者的研究，本书将重点关注与拉普拉斯的概率哲学思想发展有密切关联的文章，以此为标准选择的论文大概有十余篇左右，其内容涉及对于概率的数学探讨和认识论思考，以及有关概率的形而上学方面等更加广泛的思索。

拉普拉斯最早的科学研究的起点是以一篇题为“无穷小微分和有限微分的积分演算的研究”的论文开始的^[4]。这篇论文的主题是对达朗贝尔（Jean le Rond d′Alembert，1717—1783）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）曾经研究过的关于线性微分方程（无穷小和有限的两种形式的微分）的积分问题的进一步研究。他推广和证明了达朗贝尔的一个定理，这个新发现鼓舞了拉普拉斯的研究热情，他看到微分和积分方程是比单纯的微积分技术在自然科学中，特别是在“物理天文学”的应用中出现得更频繁的主题，他的动机是将分析数学的这个技术应用到现实世界的更加广泛的范围中去，类似于在赌博游戏中的呈现的偶然性现象等也包含其中。

拉普拉斯的第二篇论文是“关于循环级数及其在偶然性理论中的应用”^[5]。正如题目所表示的，这篇文章内容有两部分，第一部分主要是对循环级数的性质的处理。第二部分演示了怎样用循环级数处理几个经典的赌博问题。像很多其他拉普拉斯所导出的结论一样，这些问题都曾经出现在德莫弗（Abraham De Moivre，1667—1754）的著作中，所以人们猜测德莫弗的著作可能是拉普拉斯最早阅读的这个学科的入门文献，受德莫弗工作的启发，“循环级数”成为拉普拉斯进入一个远比其他分析的部分更自然、更有效的领域，这个领域就是以后被拉普拉斯广泛称谓的“概率的分析理论”。

在这篇文章中，拉普拉斯第一次提出了概率的定义：“一个事件的概率（chance）等于每一个有利事件被它的概率所乘之和，被每一个可能事件被其概率所乘的积之和所除，如果每一个事件是等可能的，事件的概率等于有利事件数被所有可能事件的数目所除。”这个定义值得关注除了它与现代教科书中所介绍的概率的古典定义相一致的标准内容外，还因为这个定义显示出拉普拉斯处理概率的明显的主观倾向，他假设了先验概率的相等性或者等可能性。在这篇文章中，拉普拉斯还用了“事件的连续性”的说法，而没有采取“游戏的连续性”这种用法，此时可以看出他已经开始思考概率对于游戏之外的更普遍问题的可应用性，而不仅局限于偶然性游戏中了。

第三篇题为“关于事件的原因的概率”^[6]，这篇文章是拉普拉斯概率思想发展中的一个转折点。在前两篇论文中拉普拉斯从未提到过概率在市政管理中的应用，他所处理的偶然性理论是通过循环级数积分或微分方程的数学技术而进行的。而在这篇文章中，拉普拉斯的兴趣开始带有了一点哲学的意味，并且开始将眼光转向机遇性游戏以外的领域，他说：“从关于偶然性的科学可以被用于市政管理这一点来看，这是一门更值得研究的课题。”一般认为，拉普拉斯的这个转化受到了孔多塞（Condorcet，1743—1794）的影响。拉普拉斯的这篇文章尽管发表于1774年的科学院的论文年刊增刊中，但是其内容早在1772年就已完成。当时身为科学院的终身执行秘书的孔多塞在这一卷的导言中用华丽的辞藻赞扬了拉普拉斯的工作，称其逆概率的思想为“概率论这门学科中唯一有用的部分，也是唯一值得哲学家们严肃思考的部分。”

此文以一个导言作为开始，在这里，拉普拉斯认为应把概率当作弥补人类知识缺陷的一个工具，然后在回顾了德莫弗和拉格朗日对这些问题的贡献和思想方法之后，他特别提请读者注意当前的论文不同于以前的主题，它探求在给定的事件结果下决定原因的概率。他还告诉读者，不确定性包括两方面：事件本身和它们的原因。拉普拉斯把人类关于原因和结果之间联系的不确定性比作包含一定比例的白条和黑条的罐子。如果白条和黑条的比例已知，求抽出一个白条的概率，就是相当于原因已知而事件未知，这类问题主要由伯努利定理解决；假设罐子中所包含的白条和黑条的比例未知，如果一个人抽出一条发现是白条，那么求白条和黑条的比为某一个值的概率，就是由事件结果推知原因。他认为所有的偶然性理论的问题都可以化归为这两类问题之一。在此文中拉普拉斯旨在探索由结果探讨原因，他的工作是以实质上等同于贝叶斯定理的结论为基础和出发点的。这就自然地引起了后来的概率论历史学家们对它的关注：拉普拉斯的这个命题与托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，1701—1761）的定理之间是否有承袭的关系？这是直到今天概率论历史研究中一个仍然引起人们兴趣的问题。

在对于贝叶斯定理的应用中，拉普拉斯讨论了三种问题，其中的第三个问题涉及概率论的历史中最早提出的一类问题——“点问题”：假设对于n个赌博者的技术并不知晓，在他们玩了n局后赌博被打断，怎样分配赌注？拉普拉斯在这里围绕此问题有两个变化，其一，他提醒读者注意论文中利用循环级数而推出两个赌博者的相对技能给定的情形下的规范的解的部分。他进一步提出了在赌博者有三个或更多个的情形下一般的解的问题，他认为这是一个还没有解决的问题，实际上德莫弗已经给出了解答。第二个变化是拉普拉斯提出的：两个参赌者的相对技能未知的情形与将来事件的概率有关。他给出了有两个参赌者的解，但没有将这个问题推广到三人或更多人的一般情况。这个问题还促使拉普拉斯思考这样一个问题：在偶然性游戏中硬币的轻微不对称或以一些未被觉察的特殊方式投掷骰子，这种后果是什么？因为这种事情在实际中经常发生，他说：“这意味着必须非常谨慎地利用偶然性理论，且当从数学的情形过渡到物理的情形时需要做出修改。”“理论值对常规的偏离依赖于先验概率的值”应当引起数学家们的关注，因为这种困难对概率在国民事务中的任何应用中是至关重要的。

拉普拉斯的第四篇论文扩大了概率分析的范围^[7]。在这篇杰作中拉普拉斯首先给出了他要用到的所有的数学方法和技巧，还包含了他将来关注的人口问题的所有内容方法的萌芽。概率论和天体力学这两个他最关注的领域非常明确地在本文的标题中体现出来：“关于1′有限差的微分方程的积分，以及它们在偶然性理论中的应用。2′万有引力定理和相互关联的行星的岁差这两个问题的研究。”贯穿在拉普拉斯以后科学生涯中的将认识论和分析学连接起来的意图在此文中开始体现出来。

这篇论文以对关于算术和几何进展的历史回顾作为开始，并阐明了目前达朗贝尔和拉格朗日等人在级数、有限微分方程等领域的工作。他说尽管目前的工作只是一个试验性的探索，但在这个过程中他认识到了循环级数对于偶然性理论的重要性，它可以为偶然性理论处理更一般的问题打开广阔的前景。在对某些经典问题作了技术处理之后，拉普拉斯从技术性的问题转向了哲学讨论。在这里，他首次提出了自然的决定论观点。他说，自然界当前的状态是它的以前状态的结果，如果想象有一个智慧足够宽广无限的智慧者能够在瞬间掌握宇宙间所有事物的相互关系，那么这样的超能者完全能够以绝对的精确性来重新构建过去和预见将来。物理天文学提供了一个尽管不完美但是能够代表这种状况的一个样板。但是，更复杂的学科，由于原因的复杂性和隐蔽性，再加上数学分析技术的不完善，都阻碍了人类对于大多数现象达到确定的知识。但是，人类可以通过区分事物间各种变化的可能性的程度来寻求对于无知的补偿，所以不得不保留或然性——“人类微弱的理解力通过一片镜片在黑暗中可以偶然瞥见自然定律的确定性之闪现的光芒。”所以，拉普拉斯宣称：“数学最精致和最有独创性的部分——关于偶然现象的科学或称为概率论归咎于人类智力的弱点。”拉普拉斯这篇论文是他26岁时的作品，在其中，他在认识论上显示出了显著的决定论思想，这种思想成为他研究概率论的出发点和动力源泉。

接下来，拉普拉斯区分了偶然事件的偶然性（chance）和概率（probability）这两个长期以来总是混用的词汇。拉普拉斯说，偶然性会这个词总与看似偶然的事件联系在一起，意指无明显规则和设计的事件，这个概念与物理的真实无关，而只是与人类的无知有关。概率是关于无知的一种数学，或者说是无知的一个数学化的表述。事件概率的估计就是对所谓的影响未来事件的期望和理解的估计，概率论证明了这种估计对国民事务是有用的。但是拉普拉斯也注意到：到此为止，概率论从应用的角度导出的只有怀疑，圣彼得堡悖论就是一个典型的例子。当时，正值达朗贝尔等人由于圣彼得堡悖论（The St.Petersburg Paradox）而对概率论中的“期望”进行质疑的时候，拉普拉斯认为不能将期望的数学和道德含义混淆，尤其是“期望”一词在数学上的含义上是希望所得到的报酬与得到它们的概率的乘积之和，它只是一个数。期望的道德含义尽管在性质上与数学含义类似，但是又必须与数学含义区分开来，它只与具体的状况有关，并依赖于不可能精确定义的或者不可能隶属于数学分析的复杂的环境，试图对它进行量化只能是一种理想但不可能实现的愿望而已。因为在实际运算中，主要的困难之处来自以下等可能性的假设：任何互斥的事件是等可能发生的。但是实际上，它们并不总是等可能的。拉普拉斯举例说：投掷硬币时正反面出现的可能性未必相等，因为硬币的形状不一定完全对称。所以，精确计算未来事件（结果）的概率依赖于先验概率的所有知识（原因），对于这些值的确定是一个具有全局战略性的重要问题之一，因为这个问题若不解决，将对于把偶然性理论应用于现实生活中的任何设想的计划造成障碍。然而怎样解决？在这里，拉普拉斯避开了这个难啃的骨头，而转向了其他领域的研究。

这篇论文的第二部分转向了决定性事件的世界，转向了天体力学，转向了对于牛顿（Isaac Newton，1643—1727）的万有引力与行星摄动原因的探索。这一部分，还有拉普拉斯的最后一篇在科学院的增刊上发表的论文^[8]，都是有关用概率的方法去探索彗星的运动的研究。这些工作可以看作是他系统地把概率论移出游戏之外并将其应用于更广泛的自然现象的进一步研究的肇始。

1781年发表在正式的科学院院刊上的一篇名为“论概率”^[9]的文章是拉普拉斯概率理论发展中的一个重要的转折点，这篇文章标志着拉普拉斯完成了从“偶然性理论”到概率论的转变。此后，在多数情况下他就这样称呼这个学科，这个术语本身也标志着概率论的研究和应用范围的扩大。这篇文章标注的日期是1780年7月19日，这时，距他的1774年关于逆概率观点的发表也已过去六年，而距他对彗星的研究也已四到五年，几年的深思熟虑使他逐渐体会出概率思想的特点，这篇文章被认为是拉普拉斯的决定论与概率论思想的结合的明确标志。在拉普拉斯的思想深处，其主要目标就是揭开原因的规律。拉普拉斯把自然界看作是“规则的”与“不规则的”原因的复合体，但是在长期的趋势中不规则因的影响是对称的，这些影响彼此抵消，这一点暴露了自然界是由恒定的原因所操纵的。恒定必然胜利，规则因最终可以征服不稳定的因素。而此时自然科学取得的如此辉煌的胜利给人以深刻的印象，那么，拉普拉斯认为，以同样的方式，通过他以及同时代的其他人所设想的一种数学方法也可以应用于道德科学。这种方法通过伯努利定理和贝叶斯定理一前一后的合作，并由统计数据所完善。根据伯努利定理完善的记录会逐渐地为先验的原因的值提出好的猜想，反过来，由贝叶斯定理根据可能的证据去检验原因。拉普拉斯在这篇文章中开始探讨这两个定理的应用，尤其富有成果的是逆概率在广泛的问题研究中的应用。

文章的前言是该文所要解决的问题纲要，其中，他并没有提到贝叶斯的工作，但很显然他此时已读过贝叶斯的论文，并且继续沿用贝叶斯的方法去评论逆概率的整体地位，这个方法被他称为“一个非常精致的形而上学”，如果把概率理论应用于社会中的生活，“这个精致的形而上学”的应用是必不可少的。他处理了概率论中两个不同而又紧密相连的方面，这两方面都超出了偶然性理论之外。首先是计算由概率未知的简单事件所组成的复合事件的概率，他把简单事件的概率称为先验的概率。第二个目标是定量化：由未来的事件估计过去事件发生的概率，这就是今天所说的统计推断。对于第一类问题，拉普拉斯没有超出以前的范围，仍然利用游戏中所提出的模型，他为估计未知因素的影响，如硬币的轻微不对称、赌徒的不同习惯和技能等而提出的这些处理技能，在这方面他只是多举了几个例子而已。相对来说，他对第二个问题的阐述——“从结果估计原因”对全局更具有较大的意义。在把贝叶斯定理应用到现实情景时，他面临着两个困难。第一个困难是：依据经验参数构造一个先验的值是非常困难的。第二个困难是分析的障碍：为了求出数值解，通常需要对包含非常高次幂的项的微分函数进行积分。在这里，拉普拉斯又一次避开了最困难的堡垒，而转向了其他方面的研究。

在这篇文章的接下来的部分中拉普拉斯转向了在18世纪统计学中方兴未艾的一个课题——人口统计学。拉普拉斯并没有提及在18世纪早期发生在阿布兹诺特（John Arbuthnott，1667—1735）和尼古拉·伯努利（Nikolaus Bernoulli，1687—1759）之间的一个著名的争论：“男女婴出生的比例近乎相等是否证明了神圣设计者的设计？”但是他研究人口统计的内在动机在本质上与阿布兹诺特是一致的：这个例子是概率论应用于证明“万能的智慧者”存在的一个典型例子：存在一个关于人类生殖的基本规律，这一点被逆概率所证实。相反，同样的方法能够用于查清错误，例如，某个小城镇的报告中女婴的数目占优势，拉普拉斯就会否定这种违反恒定规律的反常情况。

除了宗教的因素以外，人口统计学作为一门科学研究在很大程度上还归功于18世纪日益增长的公共管理的职业化倾向。在法国，出生、结婚和死亡的记录都系统地保存在各个教区的记事录中。1771年，法国财经大臣要求所有的地方行政长官了解当地的数字汇编，并且每年向巴黎递交报告，目的是让政府能够了解整个国家的人口信息。1774年，即蒂尔戈（Anne Robert Jacques Turgot，1727—1781）上任的第一年，科学院出版了一个巴黎市及其郊区的人口数字汇总，时间范围覆盖了从1745年到1770年。统计数表显示，这期间有251 527个男婴出生和241 945个女婴出生，男女婴出生的比率大约是105比101，这个比率每年几乎保持不变。他们也与伦敦的数据进行比较，在伦敦同样也是男孩的出生数大于女孩的出生数，尽管19比18的比率较巴黎的比率大一点。这些知识提供了一个将现实数量化的典型例子，拉普拉斯抓住了这个机会，他尝试用数学技术求出生男孩和生女孩这样将来事件发生的概率落在一定范围内的概率。这里包含着概率置信区间思想的萌芽。

拉普拉斯接下来的另外两篇文章都又显示了技术方面的兴趣。首先在“论级数”（1782）中^[10]，拉普拉斯首次提出了生成函数的理论，这是他自己的创造。他指出几乎所有的化归为近似解的问题都依赖于级数的理论，所以通过这种手段几乎所有的数学对自然的应用都是切实可行的，因为那通常与近似有关。因此他把生成函数看作是某种万灵药之类的东西。生成函数在拉普拉斯的概率理论中具有重要的地位，30年后的《概率的分析理论》中的第一卷的内容几乎是这篇文章的重述和细致化。另一篇论文是“关于与非常大的数有关的函数的公式近似”（1785）^[11]。这篇论文是分两部分发表的。在处理由于涉及复杂的量而难以估计积分的函数时，拉普拉斯又重新拾起了他以前研究的高度收敛的级数，并进行了非常细致的研究。在第二部分除了把这些技术应用于概率问题之外，他还重新回顾了概率论的认识论的地位，正是在这里他第一次使用了出现在《概率的哲学探究》中那一段被视为决定论思想的典型论述的类似陈述：

“‘偶然事件’（chance）一词只是代表了我们对于观察到的，且以无明显秩序出现的一个接一个的出现的现象的原因的无知。概率部分地与我们的无知有关，部分地与我们的知识有关。”

拉普拉斯在早期最后发表的一篇关于这个学科的文章是“关于巴黎的出生、结婚和死亡问题”^[12]（1786）年。在这里拉普拉斯开始直接把人口统计作为一个学科来阐述。文章开头的一句话显示出拉普拉斯研究这一类问题的意图，他宣称：人口是判断一个帝国繁荣的最可靠的方法之一，通过比较已发生的事件的背景分析，人口的变化会提供物质和道德对于人类幸福影响的最精确的测量。他意识到统计信息可以为那些负责公共政策的人提供一个向导，所以他急切地呼吁政府发起一系列的统计活动。当时巴黎科学院也已意识到这方面的重要性，所以决定在每年出版的论文集中插入整个国家出生、结婚和死亡人数的数目汇总，其目的是为国家政府和地方政府的信息和指导建立一个资料库。拉普拉斯的意图是让其论文成为分析收集的实际信息的一个向导。论文的主题包含了巴黎从1771年到1784年的生命统计的研究，还有对从1781年到1782年两年时间巴黎的总人口的估计。拉普拉斯的人口问题研究的核心主要是将人口问题抽象成从过去的观察来预测将来事件的法则的应用。尽管不可能直接点数人口，但是可以把人口统计问题看作是一类能够由预测可能的误差和计算需要将观察延伸到何种程度以把它的范围限制在特定的极限之间的技术问题。在这里已明显体现出了现代数理统计中样本调查的思想。

自从1786年的那篇文章发表后到1809年之间，拉普拉斯没有再进一步连续发表关于这个学科的文章。除了一篇关于法国的人口统计的论文，以及1795年拉普拉斯在巴黎高等师范学院给出一系列的演讲中包含了概率论的介绍之外，在这个时期拉普拉斯似乎没有专门发表过纯粹的概率论的论文。这时，他真正的兴趣在天上，他的皇皇五卷巨作《天体力学》（Celestial Mechanics）于1798年至1825年出版，其中包含了太阳系的数学理论，对万有引力定律的详细地证明。相对于此书来说，1796年出版的《宇宙体系论》（Exposition du Systeme du Monde）是为非专业的读者提供的一个通俗的序言，它用当时法国上层社会所流行的语言，给出了一个在人类的智力审视下由决定论的自然规律所操纵的宇宙的经典描述，而人类智力的易谬性则尽可能地由概率的数学所弥补。他运用概率的理论得到由数据所推出的结论可靠性的统计测度，以推断资料获得可靠的统计数据，确定某一天文现象由一定的原因所引起的而不是纯粹的偶然性。

直到1809年，拉普拉斯的注意力才正式转回到概率统计这个课题上来。在1810年和1811年的两篇重要的论文中，拉普拉斯把他的主要精力放在概率论在数理统计的应用方面。这是从现代的角度来看的，实际上，在拉普拉斯的观念中，数理统计并不是独立于概率论的一门单独的学科，只是他的概率论中的一个重要部分。在1810年他发表的文章题为：“关于含有大数的函数的公式的近似以及它们在概率论中的应用”^[13]，论述了从包含高次项的公式的近似估计方法中导出关于减少误差的中心极限定理，其中一个创新是从最小二乘法中推出减少一系列独立观察中的不确定性的结果，在这里他首次把特征函数发展为大样本理论的工具，并首次提出了他的概率理论中重要的内容之一：第一中心极限定理。在1810年的论文的一个附录中，他展示了这样一个结果：为最小二乘法提供了一个贝叶斯式的推理：如果一个人综合许多的观察结果，其中每一个观察结果是大数次独立观察的平均值，那么最小二乘估计不仅被认为是一个后验分布使似然函数取得最大值的量，而且也使得所期望的后验概率的误差达到最小，所有这些并不需要这样关于误差分布的一个假设或者求助于算术平均方法的一个循环论证。其中，他还指出：“当考虑多次观察得到的结果时，估计误差平方和的最小值（最小二乘法）是唯一的假设，也是最有必要的假设，……，这就是把它用于所有的情形的理由”。在1811年，拉普拉斯在“论定积分”^[14]这篇文章中考察一个线性回归问题时，他把自己限制在系数的线性无偏估计方面，之后展示如果观察的次数很大，这一类的数目近似于正态分布；并论证到：最小二乘法使渐近变量最小化，还使误差的绝对期望值达到最小，又可以将估计值在任何关于未知系数的对称区间中的概率达到最大，而不必考虑误差分布是什么，在这样一种意义上最小二乘法提供了最好的线性估计。