高等数学分层教学改革新思路

应用数学系 李 瑞

一、分层教学改革所面临的问题及改革思路

十多年来,我们搞分层教学的初衷, 是在高等教育大众化时代的大背景下,面对学生学习基础参差不齐的情况,力求让学习基础好和学习基础差的学生都能提高学习的积极性,进而掌握教学大纲所要求的基础理论和运算方法。然而,由于多种复杂原因,如上级主管部门要求就业率、学校要求毕业率等,给公共课教师带来巨大的压力——考试通过率,这使得我们的教学重点不自觉地倾斜于差生,对于少数优秀学生的学习,我们的帮助太少,从而导致总体教学质量受到影响。

教学实践告诉我们:若一味地迁就差生, 分层教学改革就是一个死胡同。我们必须调整改革思路。

国家《国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要》给我们指出了教学改革的新方向。纲要要求“全面实施高校本科教学质量和教学改革工程”,“创新教育方式,突出培养学生科学精神、创造性思维和创新能力”。因此,我们认为分层教学应该从迁就少数差生的做法转变到用正常的教学标准要求全体学生,适当关注少数优秀学生的需求,在教学上形成一个积极向上的引导,让学习好的学生带动学习差的学生。

二、教材改革的思路

要顺利实现分层次教学的目的,大面积提高微积分学的教学质量,既要把95%的广大学生教好,也要为培养5%的未来国家高级专门人才做好铺垫工作。关键在于教材。大众化教育服务广大学生是对的,但在国家的科技进步中,高级专门人才发挥着不可替代的作用。因此,为国家培养高级专门人才是高等学校义不容辞的责任。

我们学校从2009年开始就进行了分层教学改革,经管、理工类高数教学都实行A、B分层教学。通过分层教学改革,提高了学生的学习积极性和教学质量。

不论是否进行分层教学,在每一个班级的学生中,都始终会有好、中、差之分。所以,我们一直坚持的教学理念是:同堂上课, 分层不分班。这样既不增加教学资源,又不打乱正常的教学秩序。因此,满足同堂上课、分层不分班要求的配套教材就成了解决问题的关键。

根据教学的实际需要,从2012年1月开始,我们着手为本科生编写一本微积分教材——《高等数学分层教学教程》。该教材已经于2012年8月底面向全国发行。

下面以教材改革为重点,介绍一下我们全面提高教学质量、引导学生积极学习的分层教学观点和理念。

经管类高等数学主要介绍一元函数微积分,除此以外,经管类与理工类的高等数学教学内容几乎一样。文理兼融是高等数学教学的新趋势,理工类课本中常举经管类的例子。由于经济类微积分课本对数学能力的训练深度不够, 所以我们学校保险精算专业和金融工程等金融类专业要求学生使用理工类的课本,目的是想加强学生的数学基础。但一般的理工高数课本,有很多内容并不适合这些经济类学生的需求,并且很少讲微积分在经济活动中的应用, 而这一点正是该类学生的真实需求。另一方面,我校也有计算机、电子商务专业的学生,该专业显然应该使用理工类高数教材。

为了适应不同专业学生对微积分教学的新需求,我们把该教材写成理工、经管兼容的高等数学课本,为把数学当作工具使用的非数学专业的工学类、经济类、管理类应用型学生提供必要的微积分知识,篇幅按照工学类、经管类全国硕士研究生数学入学考试大纲要求(对应于研究生入学考试“数学一”、“数学二”、“数学三”)进行编写。

为什么要按全国硕士研究生数学入学考试大纲要求编写该教材? 目的有二:其一是自觉向高标准看齐,为提高微积分教学质量提供基础保障;其二是用高标准教学引导学生、要求学生,而不是被动地被差生牵着鼻子走。事实上,研究生入学考试对教材的要求就是学生的需求,我校每年都有考数学一、数学三的学生。

数学就是数学,它本无文科与理科之分。数学来自人们研究自然规律的过程,又服务于解决各种实际问题之中。在课本中,我们用95%以上的篇幅系统地介绍微积分的基本概念,叙述解决数学问题的思想、方法和技巧,这也是分层教学中最基础的一块,即不管怎样,我们都会把主要精力用在基本概念与解题方法的教学上,为全体学生当然也包括基础差的学生服务。例如,在定积分的物理应用一节中,我们会告诉学生一些基本的物理概念,并解释为什么现在用密度而不用比重。我们希望大学生把微积分学的基本思想、概念、方法和技巧学好,至于在不同领域中的应用,都应该掌握一些,作为大学一年级学生不应有所偏颇,这样有利于开拓思维,有利于综合能力、创新思维能力的培养。譬如某国际知名评级公司的副总就是一位来自中国的物理学博士,在美国获得金融学博士学位后,为该公司创造出核心产品。显然,这位副总大学本科阶段并没有学过数学分析、高等代数,而是高等数学。这说明学好微积分,以后一样可以在高端行业做好事情。

我们认为, 除了要带好95%的一般学生和差生,我们也有责任引导好5%的优秀学生,为国家以后选拔培养应用型高级专门人才做好铺垫。

这就是我们教学改革的思路。

三、教学改革的特点与对学生的教学要求

第一,讲思想、讲方法、讲技巧,注重培养学生追求真理的科学精神、创造性思维和创新能力。首先是教学方法的创新。课本中确定重积分限的“动射线法”就是创新的教学方法。又如,在不定积分中,我们把凑微分法当成最基础的积分技术去处理,而不是把它看成与变量代换法平起平坐的“第一类换元法”。因为在变量代换法和分部积分法中,都不可避免地要用到凑微分法。课本不拘泥于对知识的介绍,而是注意培养学生把所学知识与社会实践相结合。

第二,按照全国硕士研究生数学入学考试大纲要求编写教材,并针对不同需求的学生分层次安排教学内容。从为绝大多数学生讲授的微积分入门到为少数优秀学生考研导航,把少量研究生入学试题作为例题,帮助学生循序渐进地掌握微积分的基本概念与运算技巧,在大学一年级就为考研做好准备。我们把不同类别(工学类、经管类)的素材都放入课本中,按照章节分别编排。例如,对工学类的学生,要求重点学习定积分的几何与物理应用;而对经管类的学生,要求重点学几何与经济应用。对于难易度也进行区别:课本把不需要本科生掌握的理论部分用小一个字号编排,例如许多定理和公式的证明,写出来是为学习能力强、打算考研究生的学生选学。

第三,为配合分层教学的要求,在每节后的习题中,我们把题目分成基本题、一般题和提高题三个部分。其中,提高题主要是为打算考研究生的学生设计的,绝大部分精选、改编自1982年以来的考研原题,综合程度非常高,技巧性很强。说到技巧,数学的精华和魅力之处往往就在某些技巧上,一些简单的技巧其实就是学生必须掌握的基本运算方法(譬如凑微分法)。因此,习题部分对学生的教学要求是:

对于学习基础较差的学生,会做基本题,能做出一般题中的大部分即可。

对于学习基础一般的学生,必须熟练做出基本题,会做一般题,最好把课本中的大部分例子也独立地做下来,争取试做一些提高题(少数提高题目比一般题目还要简单),提高自己的综合运用基本概念和方法的能力。事实上,在难题和简单题目之间没有严格的界限,只是所谓的难题多了几道弯,需要对基本概念掌握得非常熟练,对常用技巧要求运用自如而已。

对于想考研究生的学生,必须熟练做出基本题和一般题。通过做提高题,强化基本概念,提高运算技巧,训练抽象思维能力和综合解决问题的能力。

经过精心挑选和编排,每一节后的提高题, 只要学生学过本节及以前的知识,都应该能做出来,不需要该节后面的知识(这也是该课本的一大特点)。这样可以使学生循序渐进地学习和提高,为日后考研积累经验。全书收集了30多年以来的各类考研题300多道。在书后的“参考答案与提示”中,关于提高题的提示, 一般都给得比较详细,其目的就是在研究生数学(微积分部分)入学考试方面关于解题的思路与方法对读者予以指导。对于较简单的提高题,只给答案,不给提示,以锻炼学生的能力。

我们编写提高题,也有引导学生积极向上的意思在里头:既照顾到学习能力强的学生的学习需求,又通过这些优秀学生带动大多数学生的学习。在过去的一年教学实践中,我们已经尝到了甜头。

四、教学过程中一些问题的教法和观点

对于任何问题,真理只有一个,谬误遍地都是。这就是追求真理的人为什么要不畏世俗的冷嘲热讽,耐得住孤寂而勇攀险峰,最后才能成功的原因。我们上课时要求学生以怀疑的态度听老师讲课,然后一句话、一句话地肯定下来,脑子里不要有任何“盲从、迷信”的概念在里边。独立思考、追求真理是大学精神之所在。

下面简单地向大家汇报一下我们在教学中关于几个问题的教法和观点。

第一,注意吸收国外教材的优秀教法,尽量用几何直观进行教学。

例如,在介绍积分审敛法时,我们就是结合集合图形对该方法加以证明。

积分审敛法:如果f(x)在区间[1,+∞)上是正的单调减少且连续的函数,un=f(n),n≥1,则级数相同的敛散性。

证:类似于定理8.1.2中的证明方法,设y=f(x)为正的单调减少的连续函数,如图1(a)所示,有

当(x)dx收敛时,由有界,再由定理8.2.1知收敛。同理,如图1(b)所示,有

当发散。

图1

利用积分审敛法很容易证明p-级数(p为实数)当p≤1时发散,当p＞1时收敛。

证:当p=1时,p-级数即调和级数,发散。当p≠1时,

由积分审敛法知,当p＞1时级数收敛,当p＜1时级数发散。

第二,讲思想,引导学生学习微积分的思想实质。

微积分的思想是世界上最朴素、最简单易懂的思想。我们首先要用最容易让学生明白的语言向学生介绍微积分的思想,其次要用最准确的数学语言表达微积分的思想。

关于语言的简洁和明白,举一例说明。例如,关于什么是函数的连续性,不能说“当x→x0时,f(x)→f(x0)”, 也不能说“当Δx→0时,Δy→0 ”。这些都是数学形式,而不是连续性的本质。函数连续性的本质是:当自变量变化不大时,函数的改变量也不大。又如,讲函数微分的本质时,不能只说“Δy=AΔx+o(Δx)”,而是“微分就是当自变量变化不大时,看函数大体上变化了多少”。这才是微分的根本思想。根据这一思想,人们就可以解决实际问题。

引入微分定义时,我们会告诉学生,毛主席说过一句话:“锦州那个地方出苹果,我们的战士一个都不去拿。无产阶级的革命精神就是从这里头出来的。”那么,在分析了某一函数增量的表达式之后,我们就告诉学生:微分的概念就是从这个“线性主要部分”里产生出来的。

知道了微分的概念后,就可以轻松地求解一些简单的实际问题。例如,有一半径为r=10mm的钢球,需镀厚度为0.03mm的铬,试估计需要多少立方毫米的铬。用微分的术语讲,就是求半径为r的球(体积为V=πr3)在r=10当Δr=0.03时的微分:

因此,大约需要12πmm3铬。

关于语言的准确,举一例说明。例如,对于幂级数我们用收敛区间来描述它的收敛范围,而不是收敛域。因为这种类型的级数如果不只在x=0一点收敛的话,它的收敛范围一定是以原点为心的一个对称区间,在区间端点可能收敛或发散。区间是比数域更具体的一个概念。例如,办公室来了一位新老师,大家问他:“你是哪儿的人啊?”新老师答曰:“我是中国人。”这概念多严格! 滴水不漏! 但是大家一定觉得这人思维不正常, 显然大家的意思是问新老师来自哪个省份。

在教学中,我们力求把复杂概念简单化地去处理。

例如,我们把相关变化率问题归并到复合函数求导里去解决。

在这里我们指出:凡是涉及相关变化率的问题,一般均可转化成复合函数的求导问题去解决。

例如,一架飞机在距离地面3 000m的高度以702km/h的速度自西向东水平飞行。当地面上观察者与飞机相距5 000m时,飞机相对于观察者的飞行速度是每秒多少米?

解:此时观察者与飞机之间的水平距离为x=4 000m,且有关系y=,如图2所示。根据题目所给条件,=702(km/h)=195(m/s),以下求,由复合函数求导法得:

图2

所以,当地面上观察者与飞机相距5 000m时,飞机相对于观察者的飞行速度是每秒156米。

第三,讲方法。关于具有无穷限的广义积分的计算方法问题。

例如,计算积分

尽管这样做结果是对的,但其方法是错误的。原因是该解题过程没有按照广义积分的定义中所规定的方法做。应先用某有限数(一般取0)把积分拆成两部分,然后再讨论各部分的敛散性,如果它们均收敛,才说所给的广义积分收敛。正确做法是:

即所给积分收敛。

这样做虽然麻烦一些,但能够保证结果的正确性;否则,按照上述错误做法,有时可能做不出来或者做错。请看下例:

不论是x→+∞还是x→-∞,ln(1+x2)都趋于正无穷。那么,这里的无穷大减无穷大是什么? 判断不了!

正确做法是:

第一部分已经发散,故无必要再计算第二部分(同样有结论:该积分发散。

第四,讲技巧。技巧也就是方法,是数学的灵魂。

例如,我们可以利用拉格朗日乘数法来解决几何问题。

给定点P(1,1,1)与直线l:,求点P到直线l的距离(也就是最短距离)。

解:问题可归结为求函数d2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2在条件即条件x-y+2=0与y-z=0下的条件极值。为此,构造拉格朗日函数:

L(x,y,z)=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+λ1(x-y+2)+λ2(y-z)令

由前三个方程消去λ1、λ2后,可解得(x,y,z)=。所以,P到直线l的最短距离为:

第五,讲应用。注意培养学生把所学知识与社会实践相结合的能力。

我们会向学生介绍积分学在经济分析中的简单应用,包括由边际成本函数求成本函数,由边际收入函数求收入函数,由边际利润函数求利润函数。在教学过程中,一方面,我们向学生介绍用微积分处理经济生活中实际问题的方法;另一方面,我们也着力培养学生尊重自然规律和经济运行规律的习惯,用科学的思想方法指导自己的社会实践活动。在介绍了需求函数与供给函数之间的关系后,我们会总结出市场经济的运行规律:商品价格围绕均衡价格摆动,任何人为破坏均衡价格摆动规律的做法都将导致市场混乱。

因此,没有价格只涨不跌的商品,也没有价格只跌不涨的商品。希望读者从中学习到基本的经济学常识,在以后的社会生活中不要做那种追涨杀跌的事情。

第五,注意及时帮助学生做总结。

例如,计算三重积分的方法可总结为:选取适当的坐标系;用动射线法来确定定限不等式;如果用柱面坐标计算三重积分,不要忘记在体积元素中写上因子r,用球面坐标计算三重积分,不要忘记在体积元素中写上因子r2sinφ;正确写出定限不等式,然后把三重积分化为三次积分进行计算。

对于初学者来说,计算三重积分的难点是确定积分限。因此,正确地写出积分区域的定限不等式仍是学习和训练的重点。对于不同类型的积分,要根据被积函数及积分区域的特点,选取适当的坐标系去计算三重积分。我们认为,本节所介绍的四种方法各有其特点,不能厚此薄彼,因为实际问题并不会照顾到你只熟悉哪一种方法。

五、总结

在新的教学思路指引下,通过使用新教材,有效地调动了学生的学习积极性,我校2012级学生数学考试成绩有了十多年以来最明显的提高。少数学生积极准备考研,大约有10%的学生把提高题全做了一遍,这大大地提高了他们的学习水平,进而也带动了班上其他同学的学习积极性,期末卷面考试成绩出现了多年未见的好情况:在题目有20世纪80年代清华大学一道考研题的情况下,第一学期不及格率只有13% ,说明同学们的学习积极性明显提高了。在两套期末试题中,我们均放进以前的考研原题,但仍有5%的学生完全答对。目前已经有两位同学分别考上了华东师范大学数学系的插班生和上海大学的插班生。

在2013年元月考研中,我们辅导的四位同学用该教材学习,其中三位成功通过了研究生入学考试。目前,已经有内蒙古科技大学、湖北大学等学校对该课本表现出兴趣,希望能帮助他们的学生考研。相信两三年后,我们的分层教学成果会进一步扩大,将有更多的学生会在各类选拔考试中考出好成绩!

附表:上海金融学院2011级与2012级学生A班高等数学成绩表

1.使用新教材以前2011级学生高等数学卷面成绩表(表1和表2)

表1 第一学期分段成绩统计

表2 第二学期合计分段成绩统计

2.使用新教材并加大试题难度以后2012级学生高等数学卷面成绩表(表3和表4)

表3 第一学期分段成绩统计

表4 第二学期合计分段成绩统计

续表

参考文献:

[1]李瑞,宋延奎,王延庚,颜黎. 高等数学:分层教学教程[M].上海财经大学出版社, 2012.