平面几何投影视频教程

2.3.3　地图投影的分类

地图投影的种类很多，为了学习和研究的方便，应对其进行分类。由于分类的标志不同，分类方法就不同。从使用地图的角度出发，需要了解下述几种分类。

1.按变形性质分类

按变形性质分类，地图投影可以分为三类:等角投影、等积投影和任意投影。

(1)等角投影:定义为任何点上二微分线段组成的角度投影前后保持不变，即投影前后对应的微分面积保持图形相似，故可称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的，即不同地点上的变形大小不同。

(2)等积投影:定义为某一微分面积投影前后保持相等，即其面积比为1，在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。

(3)任意投影:在投影上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。但是在任意投影中，有一种比较常见的等距投影，定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，只是在特定方向上没有长度变形。等距投影的面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。任意投影多用于要求面积变形不大、角度变形也不大的地图，如一般参考用图和教学地图。经过投影后地图上所产生的长度变形、面积变形和角度变形是相互联系、相互影响的，它们之间的关系是:在等积投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等积特性;在任意投影上不能保持等角和等积的特性;等积投影的形状变形比较大，等角投影的面积变形比较大。

2.按构成方法分类

地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如圆柱面和圆锥面。圆柱面和圆锥面虽然不是平面，但可以展为平面。这样就得到具有几何意义的方位、圆柱和圆锥投影。随着科学的发展，为了使地图上变形尽量减小，或者为了使地图满足某些特定要求，地图投影就逐渐跳出了原来借助于几何面构成投影的框子，而产生了一系列按照数学条件构成的投影。因此，按照构成方法，可以把地图投影分为两大类:几何投影和非几何投影。

1)几何投影

几何投影是把椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到。根据几何面的形状，可以进一步分为下述几类(图2.7):

(1)方位投影:以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

(2)圆柱投影:以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

(3)圆锥投影:以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

这里，我们可将方位投影看成圆锥投影的一种特殊情况，假设当圆锥顶角扩大到180°时，该圆锥面就成为一个平面，再将地球椭球体上的经纬线投影到此平面上。从几何定义上讲，圆柱投影也是圆锥投影的一个特殊情况，设想圆锥顶点延伸到无穷远时，即成为一个圆柱。

图2.7　各种几何投影

在上述投影中，由于几何面与球面的关系位置不同，又分为正轴、横轴和斜轴投影。投影面的中心轴线与地轴一致，称为正轴投影;投影面的中心轴线与地轴垂直，称为横轴投影;投影面的中心轴线与地轴斜交，称为斜轴投影。

2)非几何投影

不借助几何面，根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬线形状又分为下述几类:

(1)伪方位投影:纬线为同心圆，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线，且相交于纬线的共同圆心。

(2)伪圆柱投影:纬线为平行直线，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

(3)伪圆锥投影:纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线均为对称于中央经线的曲线。

(4)多圆锥投影:纬线为同轴圆弧，其圆心均为于中央经线上，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

3.按投影面积与地球相割或相切分类

(1)割投影:以平面、圆柱面或圆锥面作为投影面，使投影面与球面相割，将球面上的经纬线投影到平面、圆柱面或圆锥面上，然后将该投影面展为平面而成。

(2)切投影:以平面、圆柱面或圆锥面作为投影面，使投影面与球面相切，将球面上的经纬线投影到平面、圆柱面或圆锥面上，然后将该投影面展为平面而成。