生产要素的需求函数的斜率,生产要素的需求函数公式

厂商对某一可变生产要素的需求函数，反映的是在其他条件不变时，厂商对该要素的需求量与该要素价格之间的关系。为此，本节假定要素市场是完全竞争的，即厂商面临的是既定的要素价格。

对某一生产要素的需求是由什么来决定的？为了理解这个问题，需要先讨论旨在追求利润最大化的厂商如何选择其最优的投入组合。前面讲到，厂商实现利润最大化的一般原则是边际收益等于边际成本，这一原则同样可以用于厂商对生产要素的使用：厂商在决定是否增加1单位某种生产要素的使用量时，要考虑增加这一单位要素所带来的收益与增加的成本之间的关系。当增加要素投入带来的收益大于所增加的成本时，厂商就会增加要素的使用量；反之，厂商就会减少要素投入。通过这种推理，要达到利润最大化，企业应当增加投入，直到投入的边际收益产品与投入的边际成本或价格相等。

下面我们来具体比较厂商使用要素的边际收益产品与生产的产品边际收益的区别。根据假定，要素市场是完全竞争的，因而要素的边际成本也即要素的价格，不随着数量变化而变化。而且，产品市场完全竞争，厂商面临不变的产品价格。这样，厂商生产产品的边际收益也不变。因此，要素的边际收益产品仅随着要素使用的数量变化而变化。

在前面介绍的产品市场理论中提到，厂商的收益函数等于产品产量与产品价格的乘积，可用公式表示为

R（Q）=Q•P

其中，R、Q和P分别为厂商的总收益、产量和产品价格。

在完全竞争条件下，产品价格P为常数，因此，产品的边际收益MR，也就是收益对产量的一阶导数，它等于产品价格，即 MR=P。

但从产品市场转向要素市场后，情况有所不同。在要素市场上，收益是产量的函数，而产量又是生产要素的函数，因此，收益是要素的复合函数。假设厂商使用的生产要素为劳动L，则收益函数可写成：

R（L）=Q（L）•P

现在，自变量是劳动L，劳动的边际收益产品是收益的一阶导数，可以写成：

MRP（L）=dQ（L）/dL•P=MP（L）•P

其中，dQ（L）/dL或MP是单位劳动的边际产品，而乘以价格P后，就是要素劳动L的“边际产品价值”。

由此可见，产品的边际收益是对产量而言，是增加单位产量的收益；要素的边际收益产品是对要素而言，是增加单位要素的收益。

现在，让我们进一步假定厂商只使用一种生产要素——劳动L，工资为W，那么，厂商利润最大化原则要求使用要素的边际收益产品等于要素的边际成本，即

MRP（L）=W

也可写成　　P•MP（L）=W

由边际生产力递减规律可知，要素的边际产品MP（L）曲线向右下方倾斜。也就是说，随着要素使用量的增加，其边际产品将不断下降。又由于完全竞争条件下产品价格不变，因此，要素的边际收益产品曲线也向右下方倾斜。

根据P•MP（L）=W，我们确定了厂商对生产要素的一个需求函数，也就可以得到生产要素需求曲线的形状特征。仍假定厂商只使用一种生产要素——劳动L。刚开始时，上式是满足的，即厂商使用要素的数量是最优的。现在假定W上升。厂商为了重新均衡，必须调整要素使用量L，使得P•MP（L）亦上升。根据边际生产力递减规律，必须减少要素使用量L；反之，假定W下降，则必须增加要素使用量L。于是我们得到结论：产品市场完全竞争条件下厂商的要素需求曲线与其边际收益产品曲线一样向右下方倾斜。

还可以进一步证明，在产品市场、要素市场完全竞争条件下，厂商对单一要素的需求曲线将与其边际收益产品曲线完全重合。这是因为，在完全竞争的要素市场上，厂商面临的要素供给曲线是一条水平线。这样，给定一个要素价格如W₀时，就确定了一条水平的要素供给曲线；要素使用原则MRP（L）=W在几何图形上就会存在一个MRP（L）曲线与W₀曲线的交点A（见图8-2）。A点表明，当要素价格为W₀时，要素需求量为L₀。这就是说，边际收益产品曲线MRP上的A点，也是要素需求曲线上的一点。

图8-2　产品市场完全竞争条件下单个厂商的要素需求曲线

同样的，如果给定另外一个要素价格，就会有另外一条水平的要素供给曲线与MRP相交，这一交点确定了一个最优的要素使用量，因而也是需求曲线上的一个点。于是得到如下结论：在使用一种生产要素，并且产品市场和要素市场均满足完全竞争条件的情况下，厂商对要素的需求曲线与要素的边际收益产品曲线恰好重合。

当然，假定厂商只使用一种生产要素——资本K，也能得到厂商使用要素的最优原则：

MRP（K）=P•MP（K）=r

式中：MRP（K）是资本的边际收益产品；MP（K）是资本的边际产品；r为资本的价格（利息率）。上式亦表明，厂商对资本的要素需求曲线不仅向右下倾斜，而且与资本的边际收益产品曲线重合。

现在考虑厂商同时使用劳动L和资本K两种生产要素。假定厂商的生产函数为Q=f（L，K），劳动L和资本K的价格分别为W和r，π表示利润。那么，厂商的利润函数为

π（L，K）=P•f（L，K）-（WL+rK）

令一阶条件为0，得到：

于是得到：

前两式，即前面分析过的要素需求函数；第三式表明，厂商在选择最优要素组合时，要求在每一要素上的每一元花费得到的边际产品相等。

现在我们从厂商的要素需求曲线推导出市场需求曲线。需要特别注意的是，要素市场的需求曲线不能像商品市场的需求曲线那样进行简单加总而成，而是要经过一些调整，这便是替代原则：当一种投入要素价格上升而其他投入要素价格不变时，更多地使用其他要素以替代那个价格上升的要素，企业将会从中获利。例如，当劳动的价格P_L上升时，会导致MP_L/P_L的下降。这时，企业将会减少雇佣劳动的数量，而增加土地要素的数量，直到每1元的两种要素投入的边际产品再次相等为止。这样，就降低了对劳动的需求而提高了对土地的需求。同样，土地价格的上升也会使得企业更多地使用劳动来替代土地。与最小成本法则一样，替代原则和对要素的派生需求对于完全竞争和不完全竞争的产品市场均适用。

还是考虑只有一种生产要素L的情形。假定开始时，一家厂商F对L的需求曲线为MRP（L₀），均衡点为E₀，要素需求量为L₀。如图8-3所示，当W₀下降为W₁时，均衡点应为E₁，需求量增加到L₁。但是，考虑到W₀下降到W₁，将影响其他因素的变动，就需适当调整。因为当W→W₁时，所有厂商都会增加对L的需求量，从而该产品的市场供给曲线将向右下方移动。如果该商品的市场需求无变化，则该产品的价格就要下降。这时，即使要素的边际产品MP不变，边际收益产品MRP也会减少。从而，厂商F的MRP（L₀）曲线向左下方移动到MRP（L₁），交W₁于E₂，从而对L的需求量不是L₁，而是L₂。因此，连接E₀、E₂的曲线d_F，就是厂商F 对L的需求曲线。

图8-3　多个厂商调整时厂商F的要素需求曲线

由于厂商F的这一需求曲线考虑到了市场上其他厂商同时调整的因素，因而可称为厂商F的“实际”需求曲线，它的形状仍然向右下方倾斜，只是更陡峭一些。然后，我们将多个厂商经过调整了的要素需求曲线（d_i，i=1，2，3…）进行水平加总，就能得到市场的要素需求曲线D，它也是一条向右下方倾斜的曲线。

从前述章节可知，产品市场非完全竞争的情形，基本上包括垄断、寡头和垄断竞争三种。在非完全竞争条件下，由于厂商面临的产品需求曲线不是水平的，产品价格随着商品数量的变化而变化，因而，厂商对要素的需求曲线也将不同于产品市场完全竞争下的情形。

为了简单起见，这里我们主要分析一种卖方垄断厂商的情形。所谓卖方垄断厂商，是指厂商在产品市场上（作为产品的卖方）是垄断者，而在要素市场上（作为要素的买方）是完全竞争者。这样，在要素市场上，厂商使用要素的边际成本仍等于要素价格，但在产品市场上，产品价格则取决于产量，而产量又取决于要素数量，从而厂商使用要素的边际收益不再等于产品价格。表8-1可以说明。

表8-1　要素的边际收益产品

注：本表主要引自高鸿业.西方经济学.北京：中国人民大学出版社，2007：276.

图8-4　卖方垄断厂商的边际收益产品曲线

由表8-1可以作出要素边际收益产品曲线图，如图8-4所示。从形状看，卖方垄断厂商的边际收益产品曲线也向右下方倾斜。究其原因，除了边际产品（MP）递减规律的作用，还由于产品价格下降而导致的边际收益（MR）下降（事实上，边际收益总是小于产品价格）。

现在来推导卖方垄断厂商的要素需求曲线。仍然假定只有一种要素——劳动L。

首先，求要素的边际收益产品MRP。垄断厂商的收益函数可写成：

R=P•Q=P［Q（L）］•Q（L）

式中：P［Q（L）］表示产品价格是要素数量的复合函数。

要素的边际收益产品也即要素的“边际收益”，它是收益对要素的导数，即

括号中的项就是产品的边际收益，也即

如果我们将厂商的收益写成产品（而不是要素）的函数：

R=PQ=P（Q）•Q

那么，产品的边际收益就等于收益对产品（而不是要素）的导数，即

由于，所以MR＜P。其原因在于，边际产品MP引起了整个产品价格的下降。于是就有：

MRP=MR•MP

其次，再考虑到完全竞争的要素市场，卖方垄断厂商按照要素边际收益等于要素边际成本的原则，必须满足：

MRP=W或MR（L）•MP（L）=W

上式确定了从要素价格W到要素使用量L的一个函数关系：给定一个要素价格W，则有唯一一个满足要素使用原则的最优要素数量与之对应，即上式确定了卖方垄断厂商的要素需求函数。

那么，卖方垄断厂商的要素需求曲线具有什么特征呢？假定开始时要素使用满足MR（L）•MP（L）=W。现在让W下降，那么为了维持等式成立，MR（L）•MP（L）也必须随之下降，因而要素需求量L必然增加。这就是说，随着要素价格的下降，要素需求量将上升，因此，要素需求曲线向右下方倾斜。

图8-5　卖方垄断厂商的要素需求曲线

与产品市场完全竞争条件下一样，卖方垄断厂商的要素需求曲线与其边际收益产品曲线完全重合。但要注意的是：产品市场完全竞争条件下厂商的要素需求曲线之所以向右下方倾斜，只是边际生产力（MP）递减一个因素所致，而卖方垄断厂商的要素需求曲线之所以向右下倾斜，是由于边际生产力（MP）递减和产品的边际收益（MR）递减两个原因所致。由此可知，卖方垄断厂商的要素需求曲线如图8-5所示。

下面分析存在卖方垄断厂商条件下的要素市场需求曲线。

首先，考虑多个厂商的共同调整是否会改变厂商F的要素需求曲线。假定要素价格下降，那么要素市场上所有厂商的要素需求量和产量均将扩大。但是，卖方垄断厂商F自己产量的扩大不会改变它的产品需求曲线；其他厂商的产品因与厂商F的产品不具有相关性，也不会改变厂商F的产品需求曲线。这样，尽管考虑多个厂商的调整，厂商F的产品需求曲线从而它的边际收益产品曲线不会改变，也就是说，厂商F的要素需求曲线不发生变化。

其次，再来考察卖方垄断厂商条件下的要素市场需求曲线。假定要素市场包括n个不同的卖方垄断厂商，那么，市场的要素需求曲线就是n个卖方垄断厂商的要素需求曲线的水平加总，向右下方倾斜。