巧辨相似基本图形当中型图与非型图

巧辨相似基本图形当中A型图与非A型图

锦州市第八中学　谢宇彤

图形的相似向来被学生看做难点，图形相似的内容又被安排在八(下)。作为数学教师，如何引导学生分化难点，从而破解图形相似的问题，使学生平稳过渡进入九年级的数学学习?我认为，教师在与学生共同学习的过程中就要有意识地让学生感受如何使复杂的问题简单化，即任何事物都是从基本来，善于在复杂图形中识别基本图形，这是解决相似问题的关键，那么把握基本图形就是必须要做的事。以相似图形为例。

我们先解读教材，不难发现编者也是这样，一步一步地想要向学生传递这个内容中会涉及的基本图形。以北师大版八下数学教材128页例2中图4-16，129页随堂练习1; 133页例;习题4.7知识技能2;数学理解3;问题解决5;习题4.8随堂练习1等，在不同深度的题型中渗透考察相似题目中出现的基本图形，不一一列举，共有27处之多，可见熟练认识基本图形、掌握基本图形是解决相似问题的重中之重。在基本图形当中又以A型图与非A型图为主要形式，因此掌握这两种图形的分辨尤为重要。

一、A型图及其辨析

何谓A型图?如图1，DE//BC，或∠ADE=∠B，或AD/AB= AE/AC，或AD/DB=AE/EC，或∠AED=∠C，有上面标志性条件的都是A型图的标志。A型图是正对称。我们看下面题型中出现的A型图。

图1

题例1：已知，如图1，△ADE∽△ABC，若AE= 3，EC=5，DE=1.2，求BC?

这是一道比较简单的A型图相似题例，识图中看到基本图形并且有△ADE∽△ABC，确定是A型图相似，无疑这就可以按照正对称找对应线段成比例=DB

C^E进而求BC。

题例2：已知，如图2，DE//BC，EF//AB，则下列比例式中错误的是(　)

图2

这是两个A型图揉进一个图形，看的时候要分别看准，DE//BC是△ADE∽△ABC，EF//AB是△CEF∽△CAB，同样是与△ABC相似。但对应关系有变化，只有准确识图，才能找准对应线段成比例。

题例3：如图3，△PQR沿着PQ方向平移到△P′Q′R′的位置，它的重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ=，则此三角形移动的距离PP′是________。

图3

从图中看有“A”型图，但数学不能光看“象”，必须要结合条件，条件借助平移知识点推断出P′R′//PR，这样由题意确定基本图形，轻松解决问题。

题例4：已知，正方形DEFG内接于边长为15cm的等边△ABC中，则正方形DEFG的边长为多少?

此题还是从图中抓准A型图，因为正方形隐含平行条件，所以△ADG∽△ABC，借助A型图相似就找到了问题的答案。

例如，还有一些探索性习题，实际问题也是透过基本图——A型图，使学生很快抓住解决问题思路，达到举一反三、触类旁通的目的。这也是符合数学学科的特点。

还有关于A型图的图形位置变换或隐身问题，只要抓住其本质是A型图相似，或还原或构建，解决这一类问题就能化繁为简，化难为易了。

图5

例：在台球赛中，如图5，一球在A点处，要从A射出，经台球边挡板MN反射击中球B，AC=10cm，BD=15cm，CD= 50cm，问反射点E距离点C多远能击中球B。

例：在图6中，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，AB=4，求DE的长。

图6

图7

例：如图7，在△ABC中，AB=AC= 13，BC= 10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，求DE的长。

二、非A型图及其辨析

有A型图，我们或许想到非A型。何谓非A型?

图8

如图8，(1)∠AED=∠B，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC。

(2)∠ABD=∠C，

∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB;

或AB²=AD·AC，

∴△ABD∽△ACB。

(考点是高频题，列为固定结论)

非A型图形是反对称图形，即(1)。

非A型图形在相似考察中也屡见不鲜，是相似基本图形。很多条件式题型就通过非A型考查。

例：如图9，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是。

图9

图10

此题直接借助非A型基本图形考条件，还有具备条件考非A型固定结论。

例：如图10，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC= 2，AD=1，则DB=_______。

直接使用AC²=AD·AB即可，可见基本图形固定结论，是一种数学固有的简约美，可以帮助学生迅速解题。

例：如图11，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若

AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为________。

图11

图12

图13

与勾股定理结合考查，巧识非A型基本图形，用相似解决。对基本图形的熟识，使得题目无论放置在何背景下一旦发现了它，即可用相关知识解题，这也是巧识基本图形后的半与倍效果。

例：如图12，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1=∠2，则点C的坐标是______。

虽然在平面直角坐标系中，但仍是非A型基本图形。非A型图形也有很强的欺骗性，它比不了A型图形“直来直往”。

例：如图13，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E。

①求证：△EAB∽△ECA;

②△ABE和△ADC是否一定相似?如果相似，加以说明;如果不相似，那么增加一个怎样的条件△ABE和△ADC一定相似?

如果你只是看图形，图中非A型有四对，但是条件具备吗?事实上，根据条件只有一对非A型，即△EAB与△ECA，因此在非A型中特别需要巧识，否则那些“貌合神离”的非A型就要蒙混过关了。

说到非A型，不得不提及一个非常重要的图形，这个图形出现得较早，在三角形一章中就出来了，直到相似图形学完才发挥得淋漓尽致。那是因为本图形的一并5个结论就是这个图形的全部考点。每一个结论都与相似有关。那么你说它怎能不是相似的基本图形呢?

图14

如图14，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则

(1)∠C=∠BAD，∠B=∠CAD;

(2) AB·AC=BC·AD;

(3) AB²=BD·BC;

(4) AC²=CD·CB;

(5) AD²=CD·BD。

你看，结论①是证明相似的条件吧!结论②③④⑤等积式或比例式是与相似息息相关吧!

例：如图14，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形有(　　)

A.　1对　B.　2对　C.　3对　D.　4对

例：如图14，△ABC中，CD⊥AB于点D，一定能确立△ABC为直角三角形的条件个数是(　　)

①∠BAD=∠A　②　③∠B+∠CAD=90°

④BC∶AC∶AB=3∶4∶5　⑤AC∶BD=AD∶CD

A.1　B.2　C.3　D.4

综上所述，A型图与非A型图的最大区别是，A型图是正对称图形，而非A型图是反对称图形。

事实上，我们常说的X型图，有时也被称为Z型图，可以转化为A型图。可见，更好地认识A型图与非A型图可以帮助我们掌握Z型图与非Z型图。像最近几年中考易提及的三等角的组合问题，可以转化为A型图进行解决。

我们学习研究数学，就会发现它也有自己的内在规律，只要细心观察琢磨，就会找到解决数学问题的有效途径，这也是我们在教学中应当教给学生们的最重要部分——掌握发现规律的方法。