怎样借鉴几何学习理论设计课堂教学

5.3　怎样借鉴几何学习理论设计课堂教学？

长方形面积计算教学还具有几何水平发展的特点，因此，我们在教学设计时可基于一般的教育心理学也可以基于几何教学理论。比如，范·希尔夫妇的儿童几何思维研究，强调了思维发展的阶段性，他们的主要贡献是提出了不同几何思维水平的分析。范·希尔夫妇认为，年龄或生物成熟程度并非是决定学生思维发展水平的主要因素，恰恰相反，学生思维水平主要取决于教学，也就是说，“水平在很大程度上依赖于课程”。也正基于这样的认识，范·希尔夫妇关注教学阶段的划分，认为学生需要在教师引导下通过以下五个阶段才能达到各个新的水平。在范·希尔夫妇提出水平1—5之后，其他研究者又补充了一个更低的水平：阶段0。

阶段0：前认识水平：学生只能注意直观开头的某些特征。在这个水平，学生推理的对象是具体的形象或者触觉的刺激。其结果是能够识别一些“相同的形状”；

阶段1：信息（Information）：学生开始熟悉相关的内容；

阶段2：范围定位（Bound Orientation）：学生逐渐接触、了解形成体系的主要联系点；

阶段3：解释（Explication）：讨论发现的关系，学生学习相关数学用语的表达；

阶段4：自由定位（Orientation）：学生开始利用自身固有知识在一系列的相关联系中去探索发现他自己的解决问题的方法；

阶段5：整合（Integration）：学生将回顾整理各种思考路径。

范·希尔夫妇认为，水平2是发展空间推理的关键性阶段，因为，“没有关系网络，推理是不可能的”。范·希尔夫妇对学生的几何思维水平的描述是整体的、定性的。他们突出强调了发展过程的层次性：学生在某一水平上要达到理解和掌握，必须具备前一水平上的能力，学生在某一水平上理解不深的概念，到了高一水平就可能理解了，但不能绕过某一水平直接到下一个更高层次的水平。

在此理念下，笔者与同伴（张圣琛等）共同设计了一个教学预案，并在城市、乡村（浙江临安山区）小学等多地实践，收到了一定的效果。

教学内容：浙教版教材第六册第35页

教学目标：①通过形成表象、直观估计、操作验证和几何推理发展空间观念；

②通过一系列数学活动建立长度与面积之间量的对应关系，理解长方形面积计算算理；

③经历一系列研究过程，积累“推理”活动经验，体验数学发现的乐趣。

教学过程：

一、形成表象、估计面积

1.师：（教师出示1平方厘米正方形纸片）这是个边长是1厘米的正方形，它的面积是多少？

生：1平方厘米。

2.师：现在这个正方形要变了，请你重新估计面积，准备好了吗？（学生聚精会神盯着单位面积，少顷隐去单位面积）

教师出示一组长方形：①长2cm、宽1cm；②长3cm、宽2cm；③长4cm、宽3cm。

师：现在它们的面积分别是多少，你是怎样估计的？

生：①号图我估计是2cm²。我觉得现在有原来的2个这么大。

生：（①号图）我觉得它的宽没变，长是原来的2倍，可以放2个（1cm²），所以是2cm²。

生：②号图我估计是5cm²。我觉得现在有原来的5个这么大（用手比划），③号图我估计是10cm²。

3.教师重现1平方厘米正方形图形：让我们再来估计下这三个图形的面积。

生：（①号图）我觉得它的宽没变，按照长可以放2个（小正方形），所以是2cm²。

生：（②号图）我觉得根据它的长，横的可以放3个小正方形，竖的（宽）可以放2个，所以是6cm²。

生：我估计③号图横的可以放4个小正方形，竖的可以放3个，所以是12cm²。

……

【虽然范·希尔夫妇的阶段论是对儿童的整体几何水平发展阶段来说的，但具体到每一节课来说还是有借鉴意义的。第一环节基于表象的面积估计，不仅让“学生开始熟悉相关的内容”（阶段1），也有利于学生空间观念的发展。】

二、操作验证，建立联系

1.师：我们能否想一些办法来验证我们的估计呢？

生：拿小方块（单位面积）放上去试一试就知道了。

师：老师准备了一些1cm²的小方块，不知道你们要几个，够不够？（教师为每个学生准备了6个）如果不够我们再想一些办法来解决。

2.学生独立思考与操作

教师巡视、点拨：

（1）师：①号图、②号图的面积同学们都已经验证完毕，确实是2cm²、6cm2。③号图的面积验证我们碰到了困难，小方块的个数看来不够，怎么办呢？

生：我们两个人合在一起就够了。

生：我用6个也可以：一行有4个，3行12个，12cm²。

（2）师：还可以怎样摆？学生经过讨论，发现有以下摆法：

师：前几个图我们都是用了6个小方块，最后一个图小红同学只用了4个小方块，说说你是怎样验证的？

（3）师：我们能不能用更少的小方块来验证？3个？2个？1个？

生：横的放4个，竖的放3个。

师：小红同学这样摆（如下），行吗？边上空的地方为什么正好可以放一个小方块？

生：我量过了，长还剩1cm，所以还可以放1个小方块。

师：我们大家这样一起来摆一摆，量一量，想一想，小红同学这个方法可以吗？

师：你有什么启发？用更少的小方块行吗？

（4）师：我们发现了什么？

在讨论中，学生发现长和宽的厘米数对应着沿着长和宽可放的单位面积（1cm²）数。

（5）师：现在我们用这个方法再来验证①号图和②号图的面积，谁来试一试。

【在验证面积估计值的过程中，学生用作测量的单位面积从够用到不够再到弃用，即逐渐减少直观促进学生发现量的对应关系，实现几何水平阶段1到阶段2的递进发展。作为联结点，“6个小方块的不同摆法”不仅仅是让学生多样化地解决问题，教师更要让学生从已摆的位置推测未摆的小方块的位置和数量。另一个联结点则是放3个小方块时，“边上空的地方为什么正好可以放一个小方块？”让学生思考1个长度单位和1个面积单位之间量的对应关系，从而发现在长方形中长宽之积的量与面积的量的对应关系。】

三、应用理解、回顾发现

1.计算下面各图形的面积

仔细观察，请把你的发现写下来：

概括：长方形的面积＝长×宽

正方形的面积＝边长×边长

反思回顾：今天我们一起学习了什么？是怎样学习的？还有什么想问的？

2.量一量，算一算，下面图形的面积各是多少？

3.算一算，你身边物体表面的面积。

【在应用中思考，在思考中应用，当学生积累了一些应用经验时，教师与学生共同总结发现规律并用数学语言概括提升且回到应用中。】

在上述教学过程中，笔者结合前测（见上文“怎样进行前测及分析”），借鉴范·希尔夫妇的几何阶段水平发展理论，在课堂教学中：①利用单位面积估计长方形面积；②利用足够的单位面积测量长方形面积；③利用有限个单位面积测量长方形面积；④隐去单位面积推理长方形面积；⑤根据长和宽的数值与单位面积个数之间的对应关系理解算理；⑥应用解决问题。从笔者几次教学实践来看，应该说达到了预设的教学目标。