关于抽象数学选一篇案例进行分析

第二节　数学学习的基本思维过程

根据心理学的观点我们可以把思维作为一个过程来研究。学生学习数学也处于第一次发现数学事实的过程，学生独自发现，或在教师的帮助下发现。因此，学生认识和发现数学事实的思维过程和数学家发现数学真理的思维过程，本质上也是一样的。数学教学重视这种思维过程的培养与教育有助于学生改进学习方法，提高学习效果。

数学学习的基本思维过程是观察与试验、比较与归纳、分析与综合、抽象与概括。其中归纳和类比将在第五章介绍。

一、观察与试验

（一）观察

观察是人们为了认识事物的本质和规律，通过感觉器官或同时借助于一定的科学仪器，有目的、有计划地考察、描述各种自然现象自然发生的一种方法。观察以感知为基础，是有目的、有选择、积极主动的反映过程，并且常常与思维结合在一起。

科研开始于观察。数学中许多重要的发现都渊源于实际观察。例如，人们熟知的等量公理，就是从对现实世界数量关系的长期观察和计算中，经过分析得出的结论。就连被誉为“纯粹之皇冠”的数论，实际上也是在观察基础上发展起来的一门科学。

观察不仅是认识客观事物的重要途径，也是发展智力的基础。通过观察，人们可以获得大量丰富的感性材料。心理学研究表明，人的大脑所获得的信息，80%～90%是通过视觉和听觉得来的。所以，要发展自己的思维能力，必须敞开观察的大门，让外界信息不断进入大脑。为了提高思维的敏捷性和正确性，还必须保证输入的信息是有系统、有条理的，而不是杂乱无章的。因此，我们不但要勤于观察，而且要善于观察，把观察和思维结合起来，有目的、有计划、有条理地进行观察，不断提高观察的客观性、全面性、精确性和深刻性。这样，才有助于我们发现问题．积极思维。

例如：1＝1²

1＋3＝2×2＝2²

1＋3＋5＝3×3＝3²

1＋3＋5＋7＝4×4＝4²

1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝5²

1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝6²

观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n²，即从1开始的n个连续奇数之和等于n²。

又如：解方程（）^x＋（）^x＝4

观察底数的数字特征，不难发现：

与互为倒数，于是可设（）^x＝y，用换元法完成解答。

从上面的例子可以看出。为能有效地提高观察能力，根据中学数学的研究对象，可以侧重于观察客观事物的空间形式和数量关系，在发掘数学对象的概念特征、事物的数量指标、算式的外形结构、图形的位置关系等方面多下工夫。也就是说，对所考察的数学对象。既要看整体、全貌，又要看局部、细节；既要看数字特点，又要看图形特征；既要看明显现象，又要看隐含本质；既要看一般属性，又要看本质属性；既要看共同之处，又要看不同之点；既要看各自特征，又要看相互联系。

（二）试验

试验（实验）是人们根据一定的研究目的，运用一定的物质手段，在人为地控制或模拟自然现象的条件下，使自然过程或生产过程以纯粹的、典型的形式表现出来，暴露它们在天然条件下无法暴露的特征，以便进行观察、研究，探索自然界的本质及其规律的一种研究方法。

任何试验都和观察相联系。观察是试验的前提，试验是观察的证实和发展。在现代科学技术中，试验往往同观察紧密结合在一起，观察依赖于试验，试验离不开观察。

试验方法优于一般的观察方法，它克服了纯粹观察（即自然观察）的局限性，大大加强了人们获取感性材料和感性经验的主动性。在物理、化学等实验科学中，实验方法占有中心的地位。一般说来，数学不是实验科学，在特殊情形下由观察和试验得到的结果，一般只具有或然性，需要严格的理论证明，才能确认其真实性。

在中学数学中，观察和试验可以用来引导数学发现，启迪解题思路，说明所研究的对象的某些数学性质，判断数学性质或结果的真实性。比如，三角形内角和定理，勾股定理，圆和三角形的面积公式等，通常都是运用试验法导出结果，然后再作理论的证明。

用试验法处理数学问题，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围。在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息。以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出所需的结果。

例如：设n∈N，且sinx＋cosx＝－1，求sinⁿx＋cosⁿx的值。

思考方法，先考察n＝1，2，3，4时的情形，以便从中得到启发。

当n＝1时有：sinx＋cosx＝－1

n＝2时有：sin²x＋cos²x＝1

n＝3时有：

sin³x＋cos³x

＝（sin²x＋cos²x）（sinx＋cosx）－sinxcosx（sinx＋cosx）

注意到：

（sinx＋cosx）²＝（－1）²

即sin²x＋2sinxcosx＋cos²x＝1

所以sinxcosx＝0

sin3x＋cos3x＝1×（－1）－0×（－1）＝－1

n＝4时有：

sin⁴x＋cos⁴x

＝（sin³x＋cos⁰3x）（sinx＋cosx）－sinxcosx（sin²x＋cos²x）

＝（－1）²－0×1＝1

经过以上各次试验，我们可以猜测，当n∈N，可能有sinⁿx＋cosⁿx＝（－1）ⁿ

从而可用数学归纳法证明。

从上例可以看出，试验法是不完全归纳法的一种补充，为成功地利用不完全归纳法提供推理依据。因此，把试验法和不完全归纳法有机地结合起来，有助于沟通数学知识的内在联系。

二、比较

比较是要确定所研究的对象的相同点和不同点的一种判断性的思维活动。

比较是个总的名称，它有类比、对比等。

有比较才能进行鉴别。“在比较中认识一切”这自然就说明了比较在认识中的作用。物理学家开普勒曾经说过：“我们珍视类比胜于任何东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中，它们应该是最不容忽视的。”

进行比较时，必须注意下列几个原则：

（1）彼此之间具有确定联系的对象才能进行比较，即比较应当有意义。例如，我们可以比较两个函数的性质，比较两个同类量的大小。但是，将三角形的周长和物体的质量作比较是没有意义的。从这个意义上说，类比也可看作一种比较。

（2）比较应当按一定的步骤进行，即要求准确地区分进行比较的性质（按什么比较）。例如，对于几个多边形的面积、周长等等可以分别进行比较。

（3）对于数学对象的同一种性质作的比较应当是完整的。一般地说，比较与归纳一样，其结论只是似真的，而不是可靠的，它具有假说、猜测的性质。因而它在教学中有重要的意义。所以教育家乌申斯基认为：“在教学论中，比较应当是一种基本的方法。”

比较基本有两种形态。一种是纵比较，如一件事物在不同发展阶段变化情况的比较；另一种是横比较，如为解决同一问题而设计的不同方法的比较。

应当指出，类比在中学数学教学中应用很广泛（关于类比请看第五章“类比推理”）。在数学教学中，比较也常常以对比的形式出现，常用的有下面几种。

（1）正反对比。即指正运算概念与逆运算概念的对比。如加与减、乘与除、乘方与开方、积分与微分对比等等。

（2）同类对比。即指把内容属于同一范畴的东西加以对比。如四个三角函数正弦、余弦、正切、余切在它们的定义域、值域、单调区间、周期性、极值等方面可以对比；等差数列、等比数列也可以在定义、通项公式、求和公式等方面加以对比。

（3）同义对比。即指它们虽然不同，但两者之一是另一个的扩张。如代数就是算术的扩张，讲代数时就应多多与算术对比；立体几何与平面几何也是这样，只要掌握了立体几何中的“线”与“面”，相当于平面几何中的“点”与“线”，就可以从平面几何的定理与公式，推测出立体几何的对应定理、命题与公式。

（4）数学模型与实际事物的对比。例如，匀速运动s＝vt＋s₀的平均速度、瞬时速度与函数y＝kx＋b的平均变率、瞬时变率的对比。

（5）一般与特殊的对比。数学中常常分特殊情况与一般情况来研究问题。例如立体几何中多面体部分的棱柱与棱锥和旋转体部分的圆柱和圆锥是有密切关系的，后者是前者的特殊情况，两者可进行类比。

（6）局部与整体对比。例如圆弧长与圆周长、圆扇形面积与圆面积就是局部与整体的关系，当我们讲授圆形面积时，只要逐步变化圆心，就能从圆面积公式经几步推出扇形面积的公式来。中心角＝360°，s＝πr²中心角1°，s_1°＝中心角α，S_α＝

（7）错误与正确对比。有些数学公式，学生往往混淆不清，容易用错，因此我们推证一个公式后，不仅强调如何认识它、记忆它、运用它，有时也要写出对应的错误例子，并指出它的错误根源，两者对比，印象才深刻，以防止出现错误。

观察、实验、归纳、比较都可得出猜想，因此，它们是获得直觉思维的有力工具，也是培养学生发现能力很好的方法。布鲁纳就说过：“机灵的预测，丰富的假设和大胆迅速地作出的试验性结论，这些是从事任何一项工作的思想家极其珍贵的财富。”在数学教学中，经常注意培养学生这方面的能力，是有极其深远意义的。

三、分析和综合

分析和综合作为两种科学研究方法，在数学中有着特别重要的作用。在数学教学中，它们有各种不同的表现形式，既是研究数学概念的方法，又是解答数学问题、证明数学定理的方法。

分析是在思想中把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素，把完整的过程分解为各个阶段，并分别加以研究的思维方法。例如，为了求多边形的面积，我们可以把多边形分解为若干个三角形，分别进行研究。又如，对于列方程解应用题这一完整的过程，可以分解为设元、列方程、解方程、检验等四个阶段分别予以考察。在数学学习中，分析是最重要的一种思维方法。因为对于未知的整体事物，要深刻地认识它、理解它，首先就得恰当地分解它、简化它。

综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段联结为整体进行考察的思维方法。例如，把正整数、零、负整数、正分数、负分数联结起来考察，对有理数就能有一个完整的认识；把有理数和无理数联结起来研究，则对实数就可以有更加深刻的理解。综合不是把事物的各个部分简单地拼凑在一起，而是着重于找出其相互联系的规律性。

首先，分析和综合是彼此相反而又紧密联系的过程。分析是把部分作为整体的部分分出来，是从它们的相互关系上来分析的；而综合是被分出来的各部分的综合，是通过各个部分、各个特征的分析而实现的。分析和综合是同一思维过程的两个方面，它们相互联系，相互制约。没有分析就没有综合，在综合时仍然必须分析。人的认识就是循着分析——综合——再分析——再综合的思维过程，一步步加深对客观事物的认识。

思维过程是从对问题的分析开始的。思维的分析可以有两种形式：

（1）过滤式的分析。这是通过尝试对问题情境作初级的分析．它能淘汰那些无效的尝试。例如，有人在实验中给受试者提出如下问题：用6根火柴做出4个等边三角形，使三角形每边都由一根火柴构成。在解决这个问题时，由于一般三角形都是平面的，材料也是在平面上出现的，大多数受试者都在平面上作种种尝试（这是过滤性的分析）。在多次尝试失败以后，受试者逐渐作出条件和要求的联系，例如有的尝试者说：“三角形有3条边，4个三角形应有12条边，但火柴只有6根，这就意味着每边都是公共的。”这样，综合的分析就出现了，这个考虑的方向促使尝试者从立体的方面去寻找解决问题的方法。

（2）综合的有方向的分析。这是通过对问题的条件和要求的相互联合的综合而实现的分析。综合的有方向的分析是思维活动的主要环节。它使客体显露出新的方向，客体参加到新的联系中，新的性质就表现出来，这对思维的顺利进行是非常必要的。

从下面的例子可以十分明显地看出通过综合的分析的重要作用。

问题：如图4－2所示，△ABC的∠B和∠C的角平分线相交于O点，过O点作平行于底边BC的直线，直线交AB边于D点，交AC边于E点，求证：DE＝DB＋EC。

在解题中，需要证明△BDO和△CEO是两个等腰三角形，这样DB和EC才能分别等于DO和OE，从而DB＋EC才能等于DE。

图4—2

这样，就要求解答者既看到BO，OC是△ABC中∠B，∠C的角平分线，又要能看到它们是平行线DE和BC的截线（使客体参加到新的联系中）。最后，又要把BO，OC分别看作等腰△DBO和△CEO的底边（又是参加到新的联系中）。可见，同一条直线包括在不同的联系中加以分析，每一次都能发现它的新的特征。这些特征又彼此相互联系着，并且只有把它们相互联系起来（综合）进行分析，才能使问题得到解决。

其次，分析可以被看成从结果追溯到产生这一结果的原因（执果索因）的一种思维方法，而综合则可被看成是一种从原因推导到由原因产生的结果（由因导果）的思维方法。

笛卡儿（1596—1650年）在他的《逻辑学》一书中详细地研究了分析和综合的这种意义。在叙述这两种方法的本质时，他用下面的例子极其直观地说明了这两种方法。

笛卡儿写道，“我是不是查理大帝的亲属？回答这个问题可以有两种方法。可以在‘系谱表’里往前查，即从我查到查理大帝，也可在‘系谱表’里往后查，即从查理大帝查到我。”笛卡儿说：“如果我们两个的名字在同一的系谱表上，那么我们就是亲属关系。”

解这个问题的前一种方法是分析，而后一种方法就是综合。

如果按照这种意义来理解分析和综合，那么解答应用题时，算术方法体现的是综合，而代数方法体现的是分析。

例如，张红和小铭共12岁，小铭5岁，张红几岁？

对这个简单的问题：

算术方法：12—5＝7——解法属于综合

代数方法：设张红x岁，则x＋5＝12，所以x＝7——解法属于分析

用这种意义下的分析和综合来解题，我们在今后将经常碰到。

最后，分析还可被看成是以借助数和度量的概念从数量方面研究客观事物的性质为基础的研究方法。而综合是以从质量方面研究客观事物的性质为基础的研究方法。

像解析几何和综合几何这样一些学科，在一定程度上是按分析和综合的这种意义而解决问题的。

四、概括与抽象

一般地说，概括就是把对象或关系的某些共同的（或本质的）属性在头脑里区分出来，固定下来。抽象就是把由概括区分出来的共同的（或本质的）属性，从其他非本质属性（对我们的研究来说的）中抽出来并舍弃这些非本质属性（在我们研究的范围内）。

由此可见，如果没有概括，也就是说如果没有区分出某些共同的属性，那么也就不能抽出本质属性，排除非本质属性，就实现不了抽象。反之，如果不能从所概括的东西的差异中进行抽象（即舍弃非本质特征），那就不能概括。与此同时，被抽象的特性本身，是以概括的形式被思考着的。例如，如果不从形形色色的平行四边形之间进行抽象，那就不能在思想上把一切平行四边形用本质特征联合起来，即不能概括。从一定意义上讲，概括和抽象是数学的本质特征，学会概括和抽象，对学好数学有着重要的意义。

（一）概括

概括是一种思维过程，它包括两种意义：

一是指思想上把具有相同的本质特性的事物联合起来。例如，从落体运动规律s＝gt²，动能公式E＝mv²，热能公式Q＝RI²。的相似情境中，仅从数量关系角度，把上述属性联合起来，而舍去上述各公式中量的具体内容，便会导致一种概括，即上述各式都可以表示成一种共同的形式：

y＝ax²

二是把被研究的对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的同类事物上。例如，当我们由讨论自然数集过渡到讨论正分数集合时，就在进行概括。

在这个意义下的概括，可以有两种方法来获得：一是将一固定的对象换成可变的对象（如由三角形一多边形）；二是取消对被研究的对象所加的限制，如由O＜a＜─→a∈R（R是实数集）。

概括和分析一样，也有两种不同的形式，即初级的、经验的概括（或者叫做感性的概括）和高级形式的科学的概括（或者叫做理性的概括）。

感性的概括是一种低级的概括形式。这种概括往往是在直观的基础上自发进行的。它是根据事物的外部特征，对不同事物进行比较，舍弃它们互不相同的特征，对它们的共同特征加以概括，这是知觉表象阶段的概括。例如有的学生经常看到锐角、直角与钝角，却认为角是由两条线交叉所组成的平面，类似这样的一种认识，从形式上看，虽然也是抽象的，而且从外延上看涉及到一类事物，但是从内容上看，并没有反映出该类事物的本质特征，因为“角”的本质特征不在于两条线的交叉，而在于“由一个端点引出的两条射线所组成的平面”。

感性的概括通常是在直观的基础上进行的。由于事物的某些要素或是由于重复，或是由于在学生生活活动中具有特殊意义等，使它同对象的其他要素相比，处于优势地位。因此这些要素的刺激作用在大脑皮层上引起的兴奋，根据负诱导的神经活动规律，可以抑制其他要素的刺激作用。这样，它们就能与其他要素分离，而被认为是对象的本质特征。实际上这种概括不是通过感觉的分析和抽象，而是依靠对象各要素之间的强弱对比，强要素的泛化掩蔽了弱要素而实现的。这类概括是自发完成的。因此，也可以把它叫做直觉的概括。

在科学概念的领域中，如果对于这种概念的概括不充分，则往往发生以日常概念代替科学概念的现象。尤其是当一些日常概念同科学概念相近时，一些学生往往自以为明白了、懂了，不去作认真的分析、概括，常常以日常概念代替科学概念。例如，在日常的“垂直”概念中，通常是以地平线为标准的。这种日常的“垂直”概念同几何学中的“互相垂直”这个概念是有区别的。如果在学习“互相垂直”这个概念时，不同日常的“垂直”概念作比较分析，则常常会以日常的“垂直”概念代替“互相垂直”的概念。这种现象，在国内外的教学研究中均有发现．有时还表现得比较严重。例如，国内外的教学研究中发现，在让某初二（1）班的学生作钝角三角形的三条高时，该班有50%的学生不知怎样画。他们发生困难的原因，主要是受以地平线为准的日常的垂直概念的影响。

在科学概念的领会方面，为了既防止感性概括的消极影响，又利用感性概括来促进对科学概念的领会，教学时要把科学概念与日常概念作充分的比较，使学生认识两者的异同，不仅了解日常概念的表面性和局限性，而且了解科学概念的深刻性和全面性。

理性的概括是高级形式的科学的概括，它是通过对感性认识经验加工改造，揭示事物一般的、本质的特征与联系的过程。所以这不是直观的概括，而是思维水平的概括。

理性概括是一个相当复杂的过程，有许多研究思维问题的心理学家研究过有关这一过程的特点，并提出了许多不同的意见，其中，对于教学来说，有三点是必须注意的。

第一，它不是自发进行的，一般是在意识到感性知识经验的不足或矛盾时，在对感性知识经验自觉进行一系列的分析基础上完成的。所谓意识到感性知识经验的不足或矛盾，在教学中通常是在下列情况下发生的：

（1）对把一些外表很不相同的事物归入同一类别，并以同一名称来命名感到困难时。如果学生原先认为“角”是由两条线交叉形成的，那么当他把平角或圆周角也列入“角”这一类，都以“角”来命名时，就会对原先认识发生疑问，感到不足，这时就会要求他重新认识角的本质特征，自觉地去分析思考现有的谈识，发现不足，使原有的认识提高一步。

（2）在以已有的知识经验去解释、说明新的事物现象而遇到障碍时，也会促使他自觉地去思考。

因此，要使学生进行理性概括，必须在教学中善于创设问题情境，引导学生去进一步思考。这是进行启发式教学的一个关键。

第二，理性概括的结果是以揭示事物的一般因素（特征与联系）及本质因素（特征与联系）为特点的。所谓一般因素指的是一类事物所共有的，不是个别或某些事物所特有的；所谓本质因素，即内在的决定事物性质与联系的那些因素，也就是通常的概念与法则的逻辑定义所揭示的那些因素。

第三，在教学条件下，理性的概括通常是在前人认识的指导下，对一类事物的特征与联系进行一系列的分析和比较，从而区分一般（共有）与特殊（非共有）因素而实现的。例如，学生在领会圆这一概念时，必须围绕圆的定义，对各种圆形的特征进行分析，分出圆心、圆心到圆周的距离、圆面积的大小等等特征，并在这个基础上把这些特征进行比较，区分出哪些是所有圆形都其有的（圆周上各点到中心点的距离都相等），哪些不是所有圆形都共有的（如圆面积的大小，有没有标出中心点等），然后才能在这个基础上进行概括（圆是由圆周各点到中心点的距离都相等的点的集合）。这里特别要注意的是前人的认识指引（如概念的定义）与比较。这是学生对教材概括所不可缺少的两个前提，因为没有前人认识的指引，就难以确定比较的方向，没有比较，就难以区分出一类事物所共有的一般因素，从而也就难以确定事物的本质因素。

以上是关于理性概括及其进行的基本特点。此外，就这种概括的进行方式来说，一般有两种不同的形式。一种是先有结论，然后进行分析、检验以及修正这一结论；另一种是先进行分析，然后才得出结论。美国著名的心理学家布鲁纳认为这是两种不同的思维形式。他把前者称为“直觉型思维”，后者称为“分析型思维”。布鲁纳认为在教学中应提倡直觉思维。

（二）抽象

从字面上作解释，“抽象”一词，来自拉丁文abstrictio，它的原意是排除、抽出。在中文里，“抽”作“引”讲；“象”作“对象”解，指思维或思考的客体。“抽”与“象”连用，表示在思维过程中，通过“抽”的活动反映对象。

在自然语言中，不少人把所有不能为人们的感觉器官直接把握的东西，也就是通常所说的“看不见、摸不着”的东西，叫做“抽象”；也有人把晦涩难懂、贫乏空洞的思想内容，说成是抽象的；还有人把“抽象”作为孤立、片面的同义词。这些都不是抽象的本意，而只是它的引申或转义。

就认识论和方法论上来分析，任何事物都有它的现象和本质。现象是指事物的外部形态、外部联系；本质是指事物内部的矛盾运动、内部联系。本质常常隐于现象的背后，不易为人们直接感知。抽象就是透过事物的现象，深人事物的里层，把事物的本质抽取出来的过程和方法。通过抽象分析，人们才能就事物的内部联系，对现象作出统一的科学的说明。

数学抽象是把大量生动的空间形式和数量关系的直观背景材料，进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。

抽象的基本过程，大体是从所考察的问题出发，通过对各种经验事实（或已有的基本概念、基础理论）的观察、分析、综合和比较，排除事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，揭示客观对象的本质和规律。

进行抽象，一般应注意以下几点：首先，要分辨事物的真相和假象，避免被假象所迷惑；其次，要撇开与所考察的问题无关的内容，排除那些模糊基本过程、掩盖普遍规律的干扰因素，在纯粹的状态下考察事物；第三，要区分基础的东西与派生的东西，深人事物内部，发掘决定事物性质的基础内容；第四，要从基础的东西出发，把事物的各种属性和关系综合起来，把事物的本质作为一个完整的体系抽象出来。

例如，哥尼斯堡七桥问题。18世纪，东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇成大河，中间是岛区。河上有7座桥，如图4—3所示。问能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地？

图4—3

这个问题很长一段时间没有得到解决，后来在1738年瑞士数学家欧拉（Euler）利用数学抽象方法，成功地作出了解答。

具体地说，欧拉敏锐地看到，整个问题与所走路程的长度无关，而且，岛区与河岸无非就是桥梁的连接地点。因此，欧拉把两个岛和河两岸抽象为4个点，把7座桥抽象为7条线，这样．七桥问题便等价于一笔画出图4－4的问题。

图4—4

欧拉在此基础上考察了一笔画的结构特征，认识到一笔画有一个起点和一个终点（特别地，当起点与终点重合时，便为自封图形）。除起点与终点外，一笔画中出现的交点处曲线总是一进一出，即通过交点的曲线总是偶数条。换句话说，一笔画中至多只有两个点（起点与终点）有可能通过奇数条曲线。容易看出，图4－4中的A，B，C，D四点，都通过了奇数条曲线，所以不是一笔能够画出的图形。从而，问题的回答是否定的。

从上面的例子可以看出，数学抽象具有三个显著的特征。首先，数学抽象有着明确的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系。其次，数学抽象适用的范围广泛，既有以提炼数学概念为基本目的的表征性抽象，又有旨在探索数学理论的原理性抽象。第三，数学抽象有着丰富的层次，不仅表现为直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为在已有数学知识的基础上，抽象新概念，建立新理论。

数学抽象的常用法有：

1．视为同一的抽象

视为同一抽象方法的基本思想是：设给定某一集合A并且给定了某种等价关系～，这时集合A就分成了等价类，考察集合A／～，它的元素是这些等价类，于是我们便得到了新的数学对象：等价类本身和这些类的集合。当我们从各种各样的研究对象中筛选出它们的共同性质与关系时，便使用这个抽象方法。

例如，自然数，它是同各种各样的由各种物体组成的集合联系在一起的，比如5这个数，可以表示手指的个数，花瓣或五角星的顶点的个数，等等。因此，数“5”反映着这些由不同物体组成的集合的一定量的特性。这些集合虽然所含元素是不同本质的各种物体，但它们都以个数“5”为其共同的特征。那么人类是如何对数这个集合的一般性质进行抽象的呢？为了比较两个集合，必须采取一定的方法把这两个集合的元素对应起来。最简便的办法，就是让这两个集合的元素之间一一对应起来。例如，由5个手指组成的集合，把每个手指分别与另外一个集合不同元素对应起来。比方说，将由5条狗构成的集合与一只手的手指的集合对等，而由10条狗的集合就不能与它对等。这样一来，凡是集合元素个数相同的集合，用一一对应的办法都可以建立起对等关系，这样就可以把一切对等集合的共同性质从集合自身中抽象出来，以“纯粹的量”的形式作成自然数这一抽象概念，用其表现数量多寡这一共性，但是，这时数量的基准已经不是物，而是自然数了。

人们对于某个一般的性质，使得凡具有此性质的对象组成的集合相应对等，利用这种关系，便可以把自然数定义为：一切互相对等的集合的集合。

以数的概念构成为例，我们就能较好地理解在数学中起着重要作用的视为同一的抽象方法（又称等置抽象方法）。它是从假设所考虑的物体集合之间有等号型关系开始的。比如在定义自然数时，考察集合间的一一对应的关系，在定义几何学中的图形的概念时考虑相似关系，另外为了定义同余数的合同概念则必须考察同余这个关系等。一一对应，图形的相似，数的同余等关系具有以下三个重要的特性。

（1）对称性

如果集合A与集合B对等，则集合B同集合A也对等。例如，集合A₁与A₂一一对应，则反过来集合A₂与A₁也一一对应。对称性可用逻辑的符号表示为：

若xRy，则yRx。

此即若元素x与y存在关系R，则y对z也有关系R。

（2）传递性

如果集合A与B对等，B与C对等，那么A与C对等。例如，集合A₁与A₂一一对应，而A₂与A₃也一一对应，那么A₁与A₃一一对应。传递性可表示为：

若（xRy且yRz），则xRz。

此即，元素x与y存在关系R，元素y与z也存在关系R，那么x与z存在关系R。

（3）反身性

任何集合都与自身对等。反身性可表示为：

xRx。

此即，元素x与z自身存在关系R。显然任何集合都与自身一一对应。

如果在一定的对象之间存在有对称性、传递性、反身性的关系，那么就能够抽象出这些对象之间的固有的共同性质。这就使得上述关系成为从各种各样的研究对象中筛选出它们的共同性质和关系的较为普遍使用的抽象方法。如由相似关系可以抽象出几何学的物体的形状这个性质；由模为5的同余关系能够抽象出可比较大小的以5为模的同余数这个性质；由一一对应关系便能抽象出集合基数的性质。

具有对称性、传递性、反身性的关系，由于它与典型的等号关系类似，往往称它为等号型关系或等价关系。存在着这种等价关系的对象就在一定意义下等置。因此，我们可以利用集合元素一一对应这种等价关系，按元素个数分成不同的等价类。每一个等价类用一个数的符号来代表。例如，所有元素个数为5的集合就是一个等价类。我们忽略构成这些集合元素之间物质的性质，仅仅考虑它们有数量5的共同特征。我们用符号“5”代表，这便是自然数5的抽象过程，其他自然数完全可以类似地抽象出来。

2．理想化抽象

所谓理想化抽象是指某种性质并非实际地存在于事物中．而是同实际明显分离，甚至是假想的性质，利用这种假想性质形成某种抽象化的方法。它是在纯粹的理想的形态下，对事物进行简单化、完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除事物的次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的、本质的属性，抽象出相应的数学概念。几何学中点、线、面等基本概念的引进，就是理想化抽象的典型例子。

理想化抽象不仅对于数学概念的引进是十分重要的，而且对于由实际问题去构造数学模型，也是不可缺少的。欧拉正是利用理想化抽象方法，把哥尼斯堡七桥问题转化为一笔画问题，从而使问题得到顺利解决。

利用理想化抽象解答实际问题时，必须注意到，既不能把问题过于简单化，与实际情形有很大的出人；也不能使抽象后的数学问题过于复杂，以致失去典型性意义。为了提高这方面的能力，可以多考察一些应用问题。

（3）可行性抽象

在数学中，有些特殊的对象，比如无限概念必须运用特别的抽象化方法。数学中经常碰到各种抽象对象组成的无限集合，自然数列就是其中一例。自然数是有序无限序列，人们可以想出自然数列可以无限延续，但是谁也达不到无限延续了的自然数。于是人们便把能够实现的过程从不能实现的过程中区别出来，而把自然数列的无限延续性冠之为实现可能性抽象。这种抽象把无论多大的自然数都能写出或读出的这种实际上的可能性舍去，而只承认自然数n达到之后，总还能写出它后面的自然数n＋1。我们把这种抽象方法称之为可行性抽象。

中学数学抽象有两种形式：

（1）直观现实化抽象。在感性认识中，抽去事物的一些性质，而把注意力放在对象的某些其他性质上面。当我们舍去一些性质，同时也就分离出对于我们认识具有重大意义的其他性质。例如，当我们将一个对象看作几何体时，舍去质量、颜色等物理、化学性质，而仅仅注意它的形状、大小，平面或空间的位置，这样我们便可抽象出多边形、圆、柱、锥、台、球等几何体，从而揭示长度、面积和体积等数量关系。

（2）概括形式化抽象。这种抽象不仅仅是将事物和现象的种种性质的一般的、本质属性抽取出来，而且对它们作了数学处理，例如，从“七桥问题”抽象为“一笔画”问题就是这种抽象。由实际问题抽象为数学模型也是这种抽象，这种抽象已经是超出了感性认识，而进入到理性认识的范畴之中。

应当指出，上述各种思维过程经常是结合着进行的，不同的思维任务要求思维过程的不同组合，不过，分析和综合是思维的基本过程，其他过程都是从分析和综合派生出来，或者说是通过分析、综合来实现的。因此，数学教学中，要想使学生合理地组织和运用各种思维过程，顺利地完成思维任务，就必须特别重视分析和综合能力的培养。同时，观察、实验、归纳、类比都可得出猜想，它们是获得直觉思维的有力工具，也是培养学生发现能力很好的方法。布鲁纳就说过：“机灵的预测，丰富的假设和大胆迅速地作出的试验性结论，这些是从事任何一项工作的思想家极其珍贵的财富。”在教学中，经常注意培养学生这方面的能力．是有极其深远意义的。