国内外数学教育的改革

第四节　国内外数学教育的改革

近10年来，数学教育的观念、教学内容和方法正在发生着深刻的变化，国际数学教育改革进入了重要时期，数学教育、数学课程改革实践中出现一些共同的趋势和热点。本节试图总结当前国际中小学数学课程改革中几个趋势和热点问题。

一、国内中学数学教育的改革

改革开放以来，我国广大的数学教育工作者进行了一系列积极的探索和实验，现行的中小学数学教学大纲和教材较以往已经有了很大的改进。我国的数学教育取得了举世公认的成绩：中小学学生学习勤奋，基本功扎实，基础知识和基本技能熟练。在1989年国际数学与科学测试（LAEP）中，中国学生的数学卷面成绩取得了第一名。我国开始构建具有中国特色的基础教育课程体系，并在以下两个方面取得了较突出的进展。一是，初步改变了多年来只有“必修课”的模式，增加了“选修课”；二是，实行了在统一基本要求前提下的教材多样化的政策，初步推动了教材的多样化。

但是，随着时代的发展，我国目前的数学教育中也确实存在着一些有待于解决的问题，如教学内容相对偏窄、偏深、偏旧；学生的学习方式单一、被动，缺少自主探索、合作学习、独立获取知识的机会；对书本知识、运算和推理技能关注较多，对学生学习态度、情感关注较少；课程实施过程基本以教师、课堂、书本为中心，难以培养学生的创新精神和实践能力。因此，近几年来，我国数学教育进行了一些重要的改革。这些改革主要体现在以下几个方面。

1．研制课程标准，修订现行大纲

义务教育数学课程标准研制工作，在全社会的关注和期盼下，历时两年多的艰苦努力，在广泛听取国内知名数学家、数学教育家、心理学家、高等院校数学教育工作者及第一线教师意见的基础上，经过反复酝酿修改而成。2001年7月《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》正式出版，并进行大规模的实验研究。

新的课程标准在拓宽数学学习的领域，改善学生的学习方式，关注自主探索和合作学习，关注学生的学习情感和情绪体验，培养创新精神和实践能力等方面取得重大突破，对改进中学数学教学，全面提高数学教育的质量，产生了深远的影响。

在研究新课程标准的同时，1999年12月，教育部组织学科专家，依据《中国基础教育课程改革指导纲要》，对现行《义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》和《全日制普通高级中学数学教学大纲（试用）》进行了修改，并于2000年3月出版了《义务教育全日制初级中学数学教学大纲（修订版）》和《全日制普通高级中学数学教学大纲（修订版）》。新大纲强调了学生探索数学知识过程，重视对学生创新精神和实践能力的培养；强调数学知识的应用；增加了选修内容；增加了“数学探索性活动”和“研究性课题”等。

2．组织编写国家的实验教材，开展实验工作

在研制课程标准的基础上，国家组织人员，编写了义务教育阶段国家数学课程标准数学实验教材。2001年有关课程的实验正式开始，国家在每一个省建立一个实验区，在实验区进行实验。实施新标准的地区，必须进行包括考试制度在内的各种配套改革。目的是建立促进学生全面发展的数学教材体系，创造有利于学生生动活泼、主动求知的数学学习环境，使学生在获得基本数学知识和技能的同时，在情感、态度、价值观方面得到充分发展。

3．加强教师培训，转变教师观念

转变广大数学教师的教育观念是一项艰巨的工作，也是今后要大力加强的一项工作。因此，要努力形成广大教师具有新的学习观、教学观和学科观。具体说来，第一，关注学生创新意识和创新能力的发展；第二，激励和尊重学生多样性的独立思维方式；第三，提倡多样化的数学学习方式；第四，加强数学学习和现实的联系；第五，让学生真正成为学习的主人；第六，让学生“会学数学”和“喜欢数学”；第七，关注教学目标的个性化与差别化；第八，关注数学与其他学科的综合。

这次数学教育教学改革有以下几个基本趋势。

1．把学生的全面发展放在首位

这次小学数学课程改革的目标是建立一个旨在促进学生全面发展的数学课程体系，强调从以获取知识为数学教育目标转变为首先关注人的情感、态度、价值观和一般能力的培养，同时使学生获得作为一个公民适应现代生活所必需的基本数学知识和技能。作为教育内容的学校数学，与数学科学既有着本质上的联系，又有着实质的区别。促进学生的终身可持续发展是学校数学教育的基本出发点。

这一理念充分体现在数学课程标准中。新的课程标准设置了发展性领域的目标。数学课程目标部分分为发展性目标和知识领域目标两个部分，并把发展性目标放在知识技能领域目标之前。发展领域目标包括对数学的认识、情感体验、数学思维和解决问题四个方面。具体地说，通过数学学习要使学生对数学与现实世界的联系、数学的探索过程、数学的文化价值以及数学知识的特征有所认识；使学生在兴趣与动机、自信与意志、态度与习惯等方面有所发展；使学生在定量思维、空间观念、合情推理和演绎等方面有所发展；使学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流的反思方面获得发展。

2．努力反映时代的要求和义务教育的特点

新的数学课程努力使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心：学会运用数学的思维方式去解决问题；形成勇于探索、创新的科学精神。同时，新的数学课程将继承我国数学教育的优良传统，重视学生对必要的基础知识和基本技能的熟练掌握。但较大幅度地降低了对繁杂运算的要求，如带分数的四则运算；淡化了某些非数学本质的术语和概念，如乘数与被乘数；不要求单纯考查学生对某些定义、公式、法则和解题步骤的记忆。与此同时，新的课程还增加了统计与概率、图形与空间以及数学应用等密切联系学生现实生活、反映社会发展需要的新内容。

3．创造一个有利于学生生动活泼、主动发展的数学学习环境

新的数学课程改革强调，数学学习并不是单纯的解题训练，现实的和探索性的数学学习活动要成为数学学习内容的有机组成部分。在数学课堂中，要让学生具有自主探索、合作交流、积极思考和操作实践的机会。数学课题学习活动要成为数学学习重要形式。数学教学应该是从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学实践活动和交流的机会，使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、思想和方法；同时获得广泛的数学活动经验。新课程改革十分关注评价方法的改革，强调努力构建评价目标多元化，评价主体和手段标准化。既关心结果又关心过程的新的数学教学评价体系，使学生成为数学学习的主人，而教师则成为学生学习数学的组织者、引导者和合作者。

新的数学课程关注学生的学习过程。在新的课程标准中，建立了过程性目标。要使学生得到充分发展，就必须重视数学教育的过程。日常的数学教学活动应当是实现发展性领域目标的主要途径。发展性目标是在知识技能教学过程中得到落实的，两者是紧密联系的。为此，新标准在知识技能领域中设立了过程性目标，采用“体验、感受、经历、探索”等词语描述学习过程，并且针对各部分学习内容．具体给出了一些实现过程性目标可以选用的数学学习活动。

4．随着时代的发展，数学课程要正视运用现代技术手段，特别是要充分考虑计算机（计算器）对数学学习的影响

新数学课程强调，要把现代技术作为学生数学学习和解决问题的强有力工具，使学生从大量繁杂、重复运算中解放出来，将更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。新课程标准在课程实施建议中强调，有条件的地区应尽可能地在教学过程中使用现代教育技术，增加数学教学技术含量，提高教学的效率。

另外，新的数学课程还强调课程的弹性。首先，新标准通盘设计义务教育阶段的九年制数学课程，分三个学段：第一学段是l～3年级、第二学段是4～6年级、第三学段是7～9年级。课程目标按照学段来制定，使课程具有一定弹性，为不同地区根据自己的地域特征和学生的特点与需要，编写适合自己所需的教材留下了空间。各地可以通过地方课程、校本课程、选修课、兴趣小组等形式给不同学生提供进一步学习的机会，教师的教学也应尽可能根据学生的特点，为有不同需要的学生留出发展的空间。

在具体内容的改革方面，配合以上的基本理念，新课程标准对具体内容进行改革，具体说来有以下特点。

1．知识和技能领域分为数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用四个方面，增设了“课题学习”

新课程标准设计了“实践与综合”这一部分，让学生在各个知识领域的学习过程中，有意识地体会数学与他们的生活经验、现实社会和其他学科的联系，体会数学知识内在的联系；通过综合运用数学知识和方法进行各种联系实际的学习活动。知识技能领域的“实践与综合”部分设置了“课题学习”这种新的学习形式，目的是发展学生的创新意识和实践能力。

2．进一步删除繁杂计算

随着科技的发展，特别是计算机（器）技术的普及，人们在日常生活中很少用笔算的方式对大数目进行计算。因此，较大幅度地降低了对繁杂运算的要求，如较大数目、多位小数和带分数的四则运算，加强估算、验算和算法多样化灵活计算的能力。删去一些过时的没有学习价值的内容对于减轻学生负担，更好地保证“双基”教学是必要的。另一方面，随着时代发展，也有一些知识与能力（如“收集、整理与描述数据”，“数学交流”等）显得更加重要，在新标准中给出了具体的要求。新标准特别强调对学生创新意识、思考和实践能力的培养。

3．增加一些“统计与概率”内容

新标准较大幅度地增加了“统计与概率”内容。随着时代发展，“统计与概率”的知识是学生未来生活所必要的，也是他们就业和进一步学习所不可缺少的基础知识和基本技能。目前很多场合都出现概率概念，如气象预报中的“降水概率”等。学生数学的基本素养也包括收集、整理和分析数据，作出决策，进行交流的能力，初步具有随机的观念和概率的思想等。

4．平面几何的教学改革

对于传统几何内容，新标准进行了较大幅度的改革。在初中几何部分，新课程标准降低了对论证过程形式化和证明技巧的要求，删去了对于繁、难的几何证明题的学习要求，把形式化证明的范围限制在三角形和四边形之内，并且具体列出了所有需要证明的命题，旨在通过这些证明让学生体会逻辑证明的意义、过程，掌握基本的证明方法等等。新的数学课程降低形式化证明要求，强调空间和图形知识的现实背景，突出用“变换”和“坐标”的方式了解现实空间和处理几何问题；重视量与量的单位的实际意义，在测量过程中学会根据现实问题选择适合的测量工具，重视估测，将视野拓宽到生活的空间，重视真实世界中的几何应用。

5．在适当学段引进计算器

在这个问题上有不同的意见。有的同志认为，义务教育阶段不应引入计算器。大多数人主张，在小学高年级应当引人计算器，用来处理复杂的计算，解决一些有现实意义的问题，探索有关数字的规律。新课程标准提出在有条件的地区在第二学段的适当时候可以引人计算器。我们认为，把计算机（计算器）作为解决问题的强有力工具，这样可以免除学生做大量重复的运算，更好地发展学生创新精神和实践能力。

二、国际数学教育的改革

第二次世界大战之后，随着包括计算技术在内的现代科学技术的迅速发展，数学的应用领域得到了极大的拓展，各行各业都用到数学，就像今天识字、阅读一样，数学成为公民必需的文化修养，数学教育大众化是时代的要求。同时，科学技术迅猛发展，特别是计算机技术的飞速发展，冲击着原来数学课程与教学模式，数学教育的目的、内容重点和教学手段等诸多方面都出现了新的变化。因此，各国都在进行数学教育的改革。

（一）近年来美国的数学教育改革

1989年，美国国家研究委员会（NRC）发表了《休戚与共——关于数学教育失败向全国所作的报告》，文件提出了数学课程必须作出重大的改革。国家教学教师协会（NCTM）作为美国数学教育的改革倡导者，先后建立教学、教师、考核三个方面的标准，为改进数学课程做出了很大的贡献。

1．NCTM数学课程标准

NCIM的第一个标准是1989年《学校数学的大纲及评价标准》，这一标准对数学教育目的和教学过程作出明确的阐述。NCTM的第二个标准是1991年的《数学教学的职业标准》，它为每个数学教师工作提出了指导性的意见。NCTM的第三个标准是1995年的《学校数学的考核标准》，它阐述了综合数学考核项目的方法，提供了判断数学考核质量的标准。这三个标准合起来构成了美国全国数学教育的指导性的课程标准，在下文简称NCTM标准。

NCIM标准认为，由于时代的发展，数学教育的目的发生了重大的变化，在信息社会中，数学教育具有四个方面的社会目的：第一，培养学生成为具有数学素养的劳动者；第二，使学生具有终身学习能力；第三，需要所有的学生都有学习数学的机会；第四，使学生具有处理信息的能力。其核心是培养全体学生的数学素养。

该标准对数学教育应该培养出有数学素养的公民具体提出五项目标：①懂得数学的价值，即懂得数学在文化中的地位和社会生活中的作用；②对自己的数学能力有自信心；③有解决现实数学问题的能力；④学会数学交流，会读数学、写数学和讨论数学；⑤学会数学的思想方法。然而，目前的数学课堂基本上是几百年以前的模式，它既不反映培养高水平思维能力的要求，也不反映数学的广泛应用性的特点。这种状况将使学生不能适应时代的要求，因此数学课程改革势在必行。

根据上述指导思想，NCTM标准对于1～8年级学生的具体要求如下：①要让儿童在接触物质世界和接触其他儿童的过程中去建立、修改和发展数学概念；②数学教学内容必须拓广和加宽；③要强调数学的应用；④要强调数学理解，发展儿童的数学思维和推理能力；⑤要适当地使用计算器和计算机。对9～12年级学段，除了继续强调拓宽教学内容，注重问题解决教学，强调理解和使用新技术等外，还要考虑到学生高中毕业后的不同去向，教学内容要宁宽勿窄，同时要制订一个“核心课程内容”，让全体学生掌握，而对于将来升学的或在数学学习上有才能的学生，则让他们学得更快更多。即使对于核心内容，也还可以分成几个不同的层次，以便对程度不同的学生或学习的不同阶段提出不同的要求。

NCIM标准对于各州的数学教育标准及实践有很大影响，NCTM标准为改进数学的教学和教材编写发挥了很大作用。美国的数学教材是多元化市场。但也出现了一些较为系统化的教材。其中影响比较大的是1991年出版的UCSMP教材。UCSMP是美国芝加哥大学数学方案，强调数学应用与模型化、解决问题、直观几何等方面都体现了NCTM标准的基本理念。

2．美国数学课程中存在的问题

美国学校遵照NCTM标准，数学教学有了很大进步。然而．数学课程改革的过程并不是一帆风顺的，出现了不平衡局面。由于目前科学技术正在发挥愈来愈大的作用，数学教学在计算机技术的影响下也起了巨大的变化：图形计算器在数学课堂上的应用，使抽象的代数变得形象化；计算器及计算机软件在几何课的应用，使得几何课不再集中于证明、论证。这些发生在数学课上的数学探索和经验活动，是10年前NCTM标准所预料不足的。

和其他国家相比，美国的学生数学学习并未达到理想的水平，仍有部分学生未掌握一些基本的数学技能，甚至许多学生到r高中仍然感到在解分数有关的题目时有很大困难。第三届国际数学和科学测试结果发现，4年级的数学分数高于国际平均水平。然而8年级处于平均水平。8年级有41个国家参加，其中20个国家的分数比美国学生高。在21个国家中，美国的12年级学生的数学分数低于国际平均数。其原因是多方面的。美国的各州是自治的，各州有自己的教育系统，也可以有各自的数学课程标准。NCIM标准只是一种指导性的纲要，所以各州对于NCTM的标准理解程度不一样。州与州之间在数学教育上有很大不同。

国际数学与科学测试报告向美国的数学教育提出了一些令人思考的问题，这些问题引起人们对20世纪90年代数学课程改革的反思，也构成美国新的大纲出台的基本背景。第一，数学教育中的平等问题。美国初中一般分三个层次，从补差班、普通班到快班。在贫困或边远地区，这样分班更常见。所以对于许多学生来说，他们可能不会有机会在学校中学习代数、几何及统计。因此，是否人人有机会学到必要的数学课程以及何时学习这些数学课程，成了非常重要的研究课题。第二，美国中小学教师的专业素养也不完全符合改革的需要，虽然中学教师都有本科学历，但大约有30%的数学教师却没有专修过数学专业，有的甚至连数学次专业都没有。第三，美国的数学课堂很少强调高质量的思维训练，这和NCIM标准的思路是不一致的。第四，美国大纲的内容太多而且被分散为小的章节，另一方面教材的编写者为了适应各地区的需要，设法把所有的内容都写进每个年级的课本。例如分数、比例等概念出现在不同的年级的教材里，使学生难以掌握其中的基本内容。

3．美国2000年国家数学课程标准

从1996年起，NCTM的标准委员会开始收集不同的看法，举行讨论会收集反馈意见，在网上展开讨论，在各地区的主要专业杂志也不断地刊登有关讨论。社会的广泛参与是2000年国家数学课程标准编写过程的重要特点。2000年国家数学课程标准草案于1998年秋出台，正式的2000年标准于2000年春季出版，该标准的正式名称为《学校数学的原理与标准》。

2000年国家数学课程标准有以下基本特点：第一，以数学教育的基本原理作为基础。这些原理包括：平等机会，教学与教学大纲，科技在数学教育中的作用等。这些原理成为新一轮数学课程改革的基础。第二，与NCTM标准不同，2000年的标准不再是三个文件，而是集中于一个文件。第三，学段设置有所不同。2000年国家数学课程标准设置幼儿园到2年级、3年级到5年级、6年级到8年级、9年级到12年级四个学段，体现从幼儿园到高中一贯的基本思想。第四，强化了对教师的指导。这是2000年标准的重点之一，是以前标准所没有的。标准提出数学教育观念问题，帮助教师、家长、管理人员如何用新的数学教育观点进行工作。第五，2000年标准最大的特点也许是强调科学技术在数学课程中的重要地位，强调科学技术与数学教学过程相结合，并提供大量的形象化电子版的数学例子，使得教师懂得怎样在教学实践中去运用信息科技。这种数学教育技术化趋势是令人瞩目的。宗旨是保证高质量的数学教育。

美国2000年标准是美国数学教育十年改革的实践总结，也是美国近期数学课程改革的基本方向。从NCTM标准到2000年标准，表明了美国数学教育界在以下几个方面进一步达到了共识，这些共识成为新一轮数学课程改革的基础。第一，教师是第一线主力军，数学教学成功与否取决于教师的专业能力及对学生的态度。新的教学大纲要让真正关心它的教师运用方便，要让教师知道怎样从他们目前的课堂教学达到大纲的目标。帮助教师在大纲的基础上进行专业进修是提高教学能力的重要一环。第二，数学教育应当促进所有的学生学习数学。强调每个学生都有平等机会去学数学，在美国这个多民族的社会是非常重要的。数学教育应当向所有的学生提供平等的学习数学的机会。特别是在发展课堂应用科学技术时，要保证所有的学生都有机会在数学课上用到计算机等工具。第三，在新的大纲中应明确、清楚地阐述发展基本技能的观点。这些基础的意义在于为学生进一步学习数学技能、概念、过程、思维方法，以及解决实际问题做准备。第四，只有在课程、教学与评价相结合的教育系统中，学生学习才能取得成功，这三者是紧密相连的。第五，改进教和学是长时间的工作。数学课程标准的制定应基于最好的实践经验及研究成果，应该继续让社会大众参与，社会的支持对于大纲的修改是非常重要的。

（二）近年来英国的数学教育改革

随着新数学运动的挫折，英国对数学课程作了重大改革调整。曾经广为传播的SMP数学教材，如今也得到较大改变。以教师讲授为主的教学方式在英国已不多见，在数学教学中，学生有机会参加多种形式的活动。但是学生在数学学习上也出现许多问题。从20世纪的80年代起，在全英范围内，再次进行数学教育改革。1982年，由柯克克罗夫特（W．H．Cockcroft）博士为首的英国国家教学委员会发表了题为《数学算数》的报告，这是英国数学教学改革的纲领性文件。

1．Cockcroft报告

英国的数学课程改革与著名《Cockcroft报告》（后面简称《报告》）紧密联系。《报告》的问世标志着英国数学教育研究的重大进展。《报告》的核心是：数学教育的根本目的是为了满足学生今后的成人生活、就业和进一步学习的需要。《报告》对上述三种数学需要进行了具体的讨论，阐述了为满足这三种需要学校数学应有什么样的课程内容和教学方法；论述了进行良好的数学教学所需的多种条件和支持。

《报告》对数学课程内容、教学方法等都提出建议。《报告》认为，不同能力水平的学生所学的数学课程既要有相同之处也要有区别。相同之处体现在所有学生都会接触到数学共同的核心内容。《报告》还具体地列出了数学课程的“基础表”，认为它应成为面向所有学生的数学大纲的一部分。差别之处体现在，对于不同的学生，额外增加的内容在深度、评价方法和教学目的方面有所侧重。关于数学教学方法，《报告》强调数学教学要与学生的日常生活经验联系起来；强调让学生成功地发展他们学习数学的自信心；强调更好地发展个别化教学方法以适应不同能力学习者的需要。《报告》关注数学“应用”，强调数学教学要与实际应用紧密联系起来，认为教师需要帮助学生理解如何应用所学的概念与技能，如何利用它们去解决问题。《报告》还指出：有足够的证据表明，计算器的使用对基本的计算能力没有产生任何负面的影响，儿童从早期起学习使用简单的计算器是明智的。

2．国家数学课程

以《Cockcroft报告》为背景，1988年，成立了国家课程委员会，对中小学主要科目提出了改革方案，数学是其中主要科目之一。1989年，经议会通过，由英国教育科学大臣等签署命令，全国实行统一的国家课程。

1989年国家数学课程基本理念包括：①数学对于大众具有重要意义，人们利用数学交流信息和思想，完成一系列的实际任务及解决现实生活中的问题；②数学是探索新世界的工具，数学的应用过程是生动的，具有创造性活动的过程；③数学的技巧，诸如两位数加法、解方程等是重要的，然而它们仅仅是达到目的的一种手段，在数学教学的过程中，应该让学生了解数学在现实生活中的应用价值，从而让学生体会到学习数学的重要，具有良好的数学观；④数学具有欣赏的价值，应该使儿童有机会探索与欣赏数学本身的结构，数学欣赏能给学生带来智力活动体验和探索经验的兴奋；⑤数学内容应该具有统一性和多样性。学校能根据国家标准作出计划，针对个别学生的需要作出适当的伸缩，体现数学教学多样性和数学学习的个别性的特点。

学习大纲和教学目标是国家数学课程的两条主线。国家数学课程由学习大纲和教学目标两部分组成。其中教学目标按照五个知识块展开，学习大纲则按照学生在知识和能力方面的发展被划分为八个水平。国家数学课程明确规定每个水平的学习要求，体现了既具有统一要求又具有弹性的结构特点，方便教师因材施教。国家数学课程把义务教育年限分为四个关键学段，其中学生在每个学段的发展水平如表2—3。

表2－3　各个学段的学习水平

国家教学课程的五个目标中，首要的目标是关于使用和应用数学知识及其思想方法的基本要求。这一目标伸延与渗透到其余教学目标中，并构成数学教学基本框架。这一目标的具体要求如下：通过处理问题以及运用物质材料获得数学知识和技能，并提高理解能力；应用数学解决各种现实问题，以及中小学课程其他科目提出的数学问题；探索数学本身，引导学生在此过程中使用和应用数学。这些丰富的数学学习活动是数学教学的核心。另外，国家数学课程不赞成繁琐的笔算，却重视提高学生的机算（包括计算机、计算器）、心算和估算的能力。

在英国数学课程标准指导下，英国的数学教材发生了变化。如1991年出版了新版本SMP教材。新教材的修订不仅广泛吸收有经验的中小学教师的参加，而且在指导思想上使之更符合课程标准的要求。SMP教材有以下几个特点：第一，教材着重点在于学生的学习过程；第二，注重学生的经验；第三，注重内容的通俗性和趣味性；第四，适当运用现代技术；第五，注重应用，注重培养学生解决现实问题的能力；第六，教材具有一定弹性。

3．课程内容的应用性和综合性

从文件和实践两方面情况分析，英国数学课程有两个显著特色，一为数学应用；二为课程综合。这两方面特色紧密联系，其基础就是现实主义的数学教育的理念。英国数学课程强调应用的特点，使人们重新评价“形式化”的数学教育，而代之以现实化和应用化的数学教育。

（1）数学应用

20世纪80年代末，国家课程委员会认为数学教育中的主要问题是基础知识的教学和应用能力的培养之间存在互相脱节的现象，因此提出了有关加强数学应用能力培养的意见。目前，英国数学课程十分重视培养学生数学应用能力，并形成了系统化的体系。在数学课程中，数学应用是首要和基本的目标。课程设计者认为，在理解的基础上灵活运用所学到的数学技能是数学学习必要的条件与过程。数学应用在英国数学课程中被确定为单独的教学目标，在所有四个学段都对学生进行应用能力的系统训练。国家课程委员会要求，所有学校都要重视数学应用能力的培养，教师在制定计划时，不但要保证学生有充分时间从事数学实践活动，同时在基础知识教学和基本技能训练中，也要充分贯彻数学应用的思想。

对学生数学应用能力的要求，不但反映在课程标准中，也体现在国家统考大纲中。数学应用有如TZ个要求：在处理实际问题以及使用物质材料的过程中，获取知识和技能，增进理解；运用数学解决一系列现实生活问题，处理由课程的其他领域及其他学科提出的问题；对数学内部的规律和原理进行探索研究。数学应用包括处理实际问题、进行合作交流等数学活动。学生在丰富的活动中发展数学应用能力和对数学的理解。

在数学应用中，英国国家数学课程强调了开放性问题的作用，要求变封闭问题为开放问题。在数学教学中，只要把封闭问题加以改良，那就会变成更有趣、富有挑战性的开放式的问题，使学生有机会运用前面一系列思考策略进行活动，以巩固和实践相关的知识和技能，发展数学思考能力。

在系统培养学生应用能力过程中，教师可以使用多种教学策略。以课题覆盖大纲的策略就是英国数学教学一种重要的教学策略。教师以教学目标的某一项及学习大纲的某个水平为出发点，组织学生学习活动。这类活动针对性强，内容集中，便于教学组织，能使较多学生达到某个水平的学习要求。教师也可以提出开放性课题任务，进行开放性教学活动，使学生有机会接触多个教学目标，涉及多个学习水平。教师对学习情况进行记录，以评价学生解决问题的策略和水平。课程委员会提出按数学学习大纲设计课题的要求，使学生的综合活动紧扣大纲的要求。

（2）课程综合

在英国数学课程文件和实践中，强调课程综合。英国数学教学中的课程综合的主要内容是：①从现实生活题材中引人数学；②加强数学和其他科目的联系；③打破传统格局和学科限制，允许在数学课中研究与数学有关的其他问题。

课程综合是数学应用思想的延续和发展。数学课程设计要从数学应用的广泛性这一特点出发，数学可以解决生活中和其他学科中的问题。数学与物理、化学、生物、地理等自然科学有关，是学习这些学科的重要基础，人为地设置学科壁垒是不必要的。相反，数学可以从这些科目中找到应用的广阔途径，理解数学的丰富内涵，也可以从它们那里吸收丰富的数学营养。随着时代发展．数学也与语文、历史等社会与人文科学有关。国家数学课程要求，学校要研究数学和其他学科的关系，制定工作计划，通过课程综合，全面发展学生的数学素质。

实际上，数学课程的综合性具有更广泛的含义。一方面，数学课程能对达成学校课程的整体目标做出贡献。另一方面，数学应用本身具有综合性的特点。解决实际问题往往不只涉及数学的一招一式．可能涉及其他知识与能力，应用的过程是一个综合性的思维活动。数学能力与许多一般能力应该协同发展，如合作、实验、分析、推理、观察、交流等。课程综合应该根据学生年龄不同加以组织，在小学、中学两个阶段有不同的特点。在小学阶段，应重在兴趣；在中学阶段，应该着重于与其他学科的交叉与综合，并发展学生综合解决问题的能力。

数学综合的一个很重要的方面，是数学和信息技术的综合和交叉。信息技术可以被运用于数学教学中，并对学生的学习提供帮助。数学知识和计算机知识相互支持与补充。目前，英国中小学生大都掌握简单的LOGO命令，学生能利用LOGO命令进行作图、制表等操作，从而为应用数学解决问题提供了重要工具。

总之，英国数学教学的实践性特点是令人瞩目的。英国强调数学教学的生动性、综合性与实践性，因而英国学生的操作能力（包括计算机、计算器的运用能力）和应用知识能力比较强，这是值得我们学习的。除此以外，英国数学课程中培养综合计算能力的策略，不限定算法（认为方法是学生自己的事情）和计算器的广泛使用等也都是其重要的特点。

（三）近年来日本的数学教育改革

和中国一样，日本教学教育具有的东亚文化传统、考试文化等在数学教育中具有重要作用。20年来，日本进行大量的课程改革工作。日本于1989年与1992年分别颁布了中、小学学习指导要领。提出改善学生学习的基本方向是重点精选教学内容，培养学生的创造能力、思维能力、判断能力和表达能力。日本自颁布中、小学学习指导要领以来，在改善学习上有了新进展。但是目前仍然存在一些问题。如日本儿童喜欢数学的百分比与其他国家相比是较低的，让孩子们能感觉到算术是愉快和有趣是一个难题。又如，虽然学习纲要提出学习弹性问题，但数学学习弹性仍然不足，过于统一化，学习方式也比较死板，学生主体作用不足，学生学习负担依然较重等。日本文部省于1998年12月发布了第七次中、小学学习指导要领，这一要领将于2002年开始实施，从而揭开了日本新一轮数学课程改革的序幕，从中我们可以了解日本目前中小学数学教育改革的最新动向和特点。

1．提倡具有愉快感、充实感的数学学习活动

新数学课程包括以下两方面理念：第一，提倡以学生为主体的数学学习活动。学习要领认为，活动是儿童的天性，要让他们积极地投入到活动中学习数学是很重要的。学习要领提供大量学生主体性活动的指导：户外活动；制作活动；利用实物探索数量和图形的意义的活动；调查活动；应用活动；综合知识的活动；探究活动；提出新问题的活动等。通过数学活动培养学生创造性的基础。第二，在宽松的气氛中学习数学，打好基础。提倡一种有愉快感、充实感的学习活动。例如，鼓励儿童尝试新的方法，可以让一起学习的小朋友合作交流。同时，新的学习要领强调在宽松的气氛中必须打好学生解决日常生活中的问题的基础，进行其他各科学习的基础，继续学习数学的基础，以及将来从事社会活动的基础等。

这一理念体现在数学教学目标的表述中。高中数学的总目标是：加深对数学基本概念、原理和法则的理解，提高学生数学的观察和处理能力，通过数学活动培养学生创造性的基础的同时，使学生认识到数学思想方法的优越性，从而自觉地培养积极运用数学知识和数学思想方法等的意识。

高中的数学活动主要是指以F思维活动：①将身边的事物现象数学化，设定为数学课题的活动；②基于已经学过的数学事实、公理和定义等对设定的课题进行数学的考察和处理，将发现的各种数学性质（法则、定理等）系统化，构建新的数学理论的活动；③反省构建新数学理论的思维过程，用新的数学知识解决或说明当初的事物现象，进一步活用新的数学知识考察其他事物现象的活动。高中的数学活动虽然以上述解决问题、发现新知识等思维活动为核心，但也包含观察、操作、实验等外部的操作性活动，其整个数学活动的过程如图2—1。

图2－1　高中的数学活动

通过下述数学活动，使学生认识到数学与现实生活的联系，数学在人类文化和社会生活中的作用，增强应用数学的意识，学会运用数学解决实际问题的方法。在解决问题、探索知识、建构知识的过程中。使学生认识到数学的价值，享受到创造的乐趣和学习的充实感。其宗旨是提高学生对数学学习的兴趣，培养学生运用数学知识、方法考察和处理事物现象的意识，提高学生的问题解决能力和逻辑思维能力，使学生能够积极主动地进行探索，发现问题、解决问题，创造出新的数学知识，将学生的数学学习从被动学习转移到主动的探究学习上来。

2．进一步精简学习内容

要实现具有愉快感、充实感的数学学习活动的要求，必须进一步精简传统的学习内容。在上一轮课程改革的基础上，根据科学技术发展和日本学生的实际情况，日本数学课程改革较大幅度简化了学习内容，或者把部分内容放在下一学习阶段学习。在中学阶段，较大幅度降低了代数计算等技能要求，在数学内容上也有所调整。删除或者移到高中去的内容有：一元一次不等式，三角形的重心，资料的整理，一元二次方程的解的公式，弦切角定理等一部分圆的性质，各种各样的事物和函数，样本调查，等等。

3．选择性学习和综合学习

新学习指导要领增加了选修课课时，使课程具有较大的弹性，适合不同学生的需要。提倡选择性学习构成了日本数学课程的一大特色。学习要领认为，数学课程要安排多种可供学生选择的数学活动。如探究数学的某个内容或者专题，有关数学的实际活动，应用数学的活动，数学史的有关专题等，都可以是选择学习的课题。学习的程度也应有一定的弹性，学生的选择学习可以有不同的程度，如补习、补充、发展、深化，使不同发展水平的学生都有所受益。

综合学习是本次学习指导纲要中新增设的内容。综合学习也称为课题学习，它通过学生综合数学知识或者数学知识与其他知识的综合来解决一个研究课题。在数学课程中设置综合学习的目的是多方面的：学生综合地运用各科的知识和技能，养成综合解决问题的能力；培养自己发现问题的意识；培养独立思考和判断的能力，掌握信息的收集、调查、总结的方法；培养以问题解决、探究活动为主的创造能力。数学课程设置课题学习形式．更深层次的目的是使学生获得对数学的正确看法，养成灵活应用数学的态度。综合课程的开设，是日本数学课程注重过程和自主性学习的表现。

4．渗透人文精神

目前，“讨厌数学”、“不愿意学数学”的学生越来越多，针对这种状况，日本在这次高中数学课程改革中，设置了“数学基础”这门课，旨在提高学生对数学的兴趣，提高学生关心和学习数学的欲望，给学生以学习数学的动力。

“数学基础”并不是学习其他学科的基础，其目的是使学生理解数学与人类的关系以及数学在文化和社会生活中的作用，提高学生对数学的兴趣，使学生认识到数学的认识方法和思考方法的优越性，进而养成灵活应用数学的态度。“数学基础”的内容包括以下三部分：

（1）数学和人类社会

包括和中小学数学内容有关的数学史知识，如古埃及、罗马和中国的数制，二进制与电子计算机的发展，勾股定理的发现等数学史话题，旨在使学生理解数量和图形的有关概念在人类活动中的发展过程，提高学生对数学的兴趣。

（2）社会生活中的数学考察

例如，一卷胶带的内径是5厘米，外径是10厘米，胶带纸厚度是0．01厘米，这卷胶带纸有多长？如何利用数列、指数函数考虑储蓄、贷款、电话费等问题？这些都是人们现实生活中经常遇到的问题。通过对这些问题的数理考察，使学生了解数学的有用性，丰富学生数学的认识方法和思考方法。

（3）周围的统计

在高度信息化的今天，具有统计方面的知识和素养是非常重要的，因此必须使学生能够根据目的收集资料，用表和图像整理他们的同时，理解用代表值把握资料倾向的统计思想，并能够灵活应用它。如1公斤大米有多少粒米？调查某一公司职工工资时．平均数、中位数以及众数哪个更具有代表性？

总之，通过课程内容的趣味性和人文性，使学生爱学数学。

5．加强信息技术的应用

日本的数学教育一向注重计算机的应用，新《高中数学学习指导要领》又特别强调了计算机和信息网络技术对数学学习的促进作用。过去学校的数学问题多是通过简单的笔算就能解答的问题，在高度信息化的今天，很多问题是经过数学的整理用计算机解决的。因此，高中数学课程不但要增加信息技术的内容，而且要将数学内容、计算方法和计算机有机地结合起来，使学生能够积极主动地应用计算机和信息通信网络等技术解决问题，以适应时代的变化。

从上述介绍中，我们可以看到，日本的数学教育面I临着转变时期。长期以来，日本的数学教育受东方文化的影响，学习的内容相对比较多，教学方法以教师集体传授为主，较少地注意学生在学习过程中的个人感受和体验。在20世纪80年代和90年代，日本教育界对这些问题进行了一些改革，取得了一定成绩。这次新的学习要领，进一步体现了数学课程个性化、活动化和实践性方面的走向，提倡综合学习和选择性学习，这些都是引人注目的。

（四）国际数学教育改革特点分析

1．注重数学应用

应用数学的能力与意识，是能适应现代生活的人所必须具有的素质。数学的作用，除了传统的训练思维外，更多的是为社会服务，强调数学在各行各业中的应用。在数学教育中强调数学应用，让学生掌握更多的实用知识，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，是当今国际数学教育的目标之一。例如，在新加坡的中小学数学教育的目标中就提出：“使学生获得必需的数学知识和技能，发展思维方法并应用于生活上将要遇到的数学情境之中。”特别地，英国的“国家数学课程”把“运用和应用数学”专列为目标之一，十分注重解决实际问题与日常生活问题，包括提出问题、设计任务、收集信息、选用数学、运用策略、获得结论、检验和解释结果等。同时，把对这一目标的要求贯彻在其余四项目标与学习大纲中，强调数学知识、技能和理解力的应用。

2．重视问题解决

第六届国际数学教育大会上，“问题解决和模型的应用”课题组在其课题报告中阐述：“数学问题一般指对人类具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以直接套用的那类问题。”它主要指非传统的文字应用题，联系生产或生活实际的问题，解答不唯一的开放性问题等。问题解决主要指解决上述问题，它要求学生从给出的问题中经过分析，建立数学模型。灵活运用已学过的知识、方法或算法来解决。重视问题解决对加强学生应用意识，提高数学修养，培养探索能力起到了重要作用。当今信息社会要求人们随时根据变化了的情况，能利用数学知识对实际问题作出有条理的分析和预测，以供决策和选择。因此，重视问题解决是各国数学教育目标的又一显著特点。

美国课程标准把“成为数学问题的解决者”列为学校数学要达到的五个课程目标之一，并在其分项标准中将“作为问题解决的数学”列于首位，可见其被重视的程度。下面列举出美国中学5年级至8年级和9年级至12年级课程标准中此项目标的内容要求。

5年级至8年级课程标准：

作为问题解决的数学，要求使学生能够：

●通过解决问题的探讨去接触和理解数学内容；

●把数学和非数学问题的情境表述成数学问题；

●发展和应用各种策略解决问题，强调多步的和非常规问题：

●根据问题的原始情境来检验和解释答案；

●概括解决新问题的方法和策略；

●在有意义地运用数学的过程中获得信心。

9年级至12年级课程标准：

作为问题解决的数学，要求学生能够：

●带着不断增加的自信，运用解题方法去探讨和理解数学内容；

●应用与数学解题相结合的策略，去解决来自数学内部与外部的问题；

●认识并用公式表示出来的数学内部与外部情境的问题；

●把数学模型的程序应用到客观世界的问题情境中。

从上面对不同年段的要求可以看出，随着学生在数学上的成熟和对解决数学问题的方法的深化与扩充，对这一目标的要求在不断地提高。

英国80年代的《Cockcroft报告》提出以数学应用和问题解决为主的数学教育总目标。英国在1992年施行的《英国国家数学课程》中提出的目标是：使用和应用数学。指出“使学生会解决现实生活中的问题”。

日本正式将“课题学习”的内容纳入数学教学大纲中，使“问题解决”以法律的形式固定下来。“课题学习”即是以“问题解决”为特征的数学课，以解决智力型的实际问题为主要内容，强调创造性，强调学生自己探索发现，注意培养发散思维。

3．注重数学思想方法

要提高学生的数学素养，不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法去解决实际应用问题。这一目标要求在各国的数学教育目的中的体现是十分明确的。在处理中小学数学思想方法上有两种基本做法：其一是通过纯数学知识的学习，逐步使学生理解和掌握数学的思想和方法；其二是通过解决实际问题，使学生在掌握数学内容的同时，形成对人的素质有影响的那些基本思想方法，如试验、猜想、模型化、合情推理、系统分析、优化思想等。

4．注重数学交流

数学作为现代文化的重要组成部分，其语言日益成为人们交流的科学语言。交流对数学学习十分重要，交流可以帮助学生在非正式的、直觉的观念与抽象的数学语言之间建立起联系，帮助学生把实物的、图画的、符号的、口头的及心智描绘的数学概念联系起来。学生通过解释、推断对自己的思想进行口头或书面表达时，可以发展和深化对数学的理解。学会数学交流是当今国际数学教育目标共同注重的内容。“使学生能使用数学作为交流的工具”，是新加坡教学大纲规定的四条总目的之一，也是“数学课程目的”中所要培养的“技能”的重点之一。新加坡中小学数学课程的具体目标均有“会使用数学语言、符号和图表形式说明和解释信息”。美国的课程标准提出的五个总目标之第四就是“学会数学交流，会读、写和讨论数学”，并在其分项标准中“作为交流的数学”位居第二。澳大利亚把“学生充分掌握数学表达、数学表示和数学应用的技能，以便应用数学解释有关信息……与他人沟通联系”，作为教育目的之一。纵观各国大纲，数学交流这一要求反映在：①数学思想的表达。把自己的思想通过直观的或非直观的，口头的或书面的，普通语言或数学语言的形式表达出来。②以听、读、看、模等方式接受来自他人的思想。③把数学思想从一种表达方式转换成另一种表达方式，如把一个概念用图画或符号表示出来。

5．注重培养能力

各国对在数学教学目的中的能力培养这一要求都很重视，几乎所有的国家都提出要发展学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。例如，在美国的数学课程标准中提出培养推理能力、数学洞察力、解决问题的能力、对数学的欣赏能力及交流问题的能力、理解力等。另外，在不少国家的大纲中明确提出数学可以培养的能力在一般智力结构中占有重要地位，如观察、分析、综合、归纳、概括、想象等能力。在英国的课程目标中提出重视学生的计算能力，特别是学生的机算（计算器和计算机）、心算和估算能力。

6．重视数学美育

我们从数学的语言、数学的推理、图形的对称与变换等内容中，都可以体验到数学美。不少国家把美育教育列为数学教育的目的之一。英国16岁至19岁年龄段的数学课程总目标中提出要发展对数学的美学观与历史的鉴赏力。新加坡教学大纲中把“发展学生在解决数学问题上的能力，在问题解决时学生能欣赏到数学美的力量”作为数学课程的基本目标。前苏联教学大纲中指出：“中学数学课要揭示数学内在的和谐性，培养学生对数学推理的美的感受，数学对学生的美育教育做出了相当大的贡献。”

7．注重培养自信心

以往的教育是把数学作为“筛子”而不是作为“泵”来发展人，致使学生的自信心受到伤害。从数学教育思想的角度出发，不少国家把自信心的培养作为数学教育的一个基本目标，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得自信。例如，美国数学课程标准的总目标之第二是“对于自己的能力的自信”。英国国家数学课程的数学成绩目标中提出：“学生应自信地运用涉及其他目标的学习大纲所指定的适当的数学内容。”英国关于16岁至19岁年龄段的数学课程总目标中提出：“发展对数学应用的能力与自信心。”澳大利亚的提法是：“使学生获得数学知识、思维方法和运用数学指导日常生活事物的自信心。”新加坡教学大纲中数学课程基本目标中的“态度”是指学习情感方面，指出：“使学生喜欢做数学，欣赏数学美的力量，在运用数学时表现出自信。”这些都体现出对于培养自信心的要求。

8．重视计算器和计算机的使用

广泛运用计算器和计算机是当代数学改革的一个趋向，是面向21世纪技术飞速发展和信息时代的需要。计算机和计算器必然要走进课堂。例如，在目标3（代数）中的水平7要求：“在计算机或计算器上生成各种类型的图像并作出解释。”水平10要求：“用计算器或计算机研究由迭代法给出的数列的收敛性。”又如在目标4（图形和空间）中的水平6要求：“用计算机生成图形并进行图形变换。”水平9要求：“用计算器或计算机生成三角函数并作出解释。”在日本高中数学A、B、C的目标要求中均有对运用计算机的要求。如在《数学A》中提出“使学生理解……或有关用计算机进行的计算”；在《数学B》中提出“使学生理解向量、复数和复数平面、概率分布以及有关应用计算机的算法”。