数据包络分析模型

二、数据包络分析模型

数据包络分析方法是评价部门或行业各单位(决策单元，Decision Making Unit，简记为DMU)间投入与产出的相对有效性的常用方法。1978年，著名运筹学家A.Charnes、W.W.Cooper和E.Rhodes提出了第一个DEA模型，称为C²R模型。1985年，A.Charnes、W.W.Cooper、B.Golany、L.Seiford和J.Stutz提出了另一个DEA模型，称为C²GS²模型，用来确定对应点位于生产函数图像上的决策单元。其基本设想是:假定规模效益不变，对于任何给定生产要素投入量x≥0，有可能产出量y，当0≤y≤Y时，有最大可能产出量Y，其生产函数Y=f(x)在以Y为纵轴、以x为横轴的几何图像上的曲线为生产活动集T₁的上包络线C，在该线上有产出最大值。产出量y的最大值Y可写成:

即点(x，Y)的生产函数在生产活动集T₁的上包络线C上。

在该包络线上的点都对应某个斜率为非负的直线方程:L:ω₀x－μ₀y+β₀=0。DEA模型是C²R模型还是C²GS²模型，取决于β₀是否为零。

(一)C²R模型

假设有n个DMU，每个DMU都有m种类型的投入以及s种产出。用投入指标向量X=X_1j，X_2j，…，(、产出指标向量Y=Y_1j，Y_2j，…(分别表示DMU的输入与输出指标，其中j=1，2，…，()n。本文记选定的DMU为DMU₀。C²R模型对偶线性规划表述如下:

MINθ

式中λ_j为权重，为松弛变量(Slackor Surplus)。解此线性规划得最优解为，其经济含义为:

(1)θ^*=1，并且=0，则DMU₀为C²R模型下有效，即在这n个DMU组成的系统中，资源获得了充分利用，投入要素达到最佳组合，取得了最大的产出效果，也就是说DMU在有效生产前沿面上生产。

(2)θ^*=1，且至少有某个或者某个，则DMU₀为C²R模型下弱有效，即在这n个DMU组成的系统中，若表示DMU₀第i种资源减少投入而保持产出Y₀不变;若，表示DMU₀在投入X₀不变的情况下第r种产出可以增加。

(3)θ^*＜1，则DMU₀为C²R模型下非有效，即在这n个DMU组成的系统中，可通过组合将投入降至原投入的θ^*比例而保持原产出不减。此时，DMU₀在相对有效行业生产前沿面上的投影为:。由此，可以计算出DMU₀转为DEA有效时，各指标项与相对有效目标的差距。对非DEA有效或弱DEA有效的DMU进行投影计算，可在现有DMU集合基础上提出使其转变成DEA有效的改进方案，还可具体指出每个投入、产出要素应改进的程度。这对管理决策来说无疑是很有意义价值的信息。

(4)投入冗余率与产出不足率。

DMU中各分量的与对应指标分量X_ij的比值称为投入冗余率，记为α_ij。它表示该分量指标可节省的比例。投入冗余率在经济学上的意义是指企业资源的投入量可以节省的比例。同样的，设，则β_ij称为产出不足率。它说明各项产出指标可以提高的比例。比较同一个评价对象不同时段的投入冗余率或产出不足率可以动态地反映该对象的资源配置、人员安排及资金投入等方面的情况;在与同类型的评价对象的横向比较中，企业可以通过比较投入冗余率和产出不足率来挖掘自身的优势，改善投入决策中的不足，为企业提供更好的投入方案，使资源得到合理的利用，并在有限资源的基础上得到最大的产出效果。

(5)若，表示DMU₀规模收益不变，此时DMU₀达到最大产出规模点;，表示规模收益递增，且

值越小规模递增趋势越大，表明DMU₀在投入X_i0的基础上，增加投入量，产出量将有更高比例的增加，表示规模收益递减，且值越大规模递减趋势越大，表明在DMU₀投入X_i0的基础上，增加投入量不可能带来更高比例的产出，此时没有再增加投入的必要性。

(二)C²GS²模型

C²GS²模型与模型的区别是在约束条件中加入凸性假设其对偶线性规划表述如下:

解此线性规划，得最优解为。同样道理，当σ^*=1时，DMU₀为C²GS²模型下弱有效，若最优解中同时有，则为DEA有效;当σ^*＜1时，DMU₀为C²GS²模型下非有效。

对于技术非有效的DMU也可以通过调整投入和产出使其达到技术有效，方法与C²R模型下处于非有效的DMU的调整方法一样。

(三)DEA模型的图形解释

多投入、多产出的投入产出图构成空间是多维的，难以用简单几何图形加以说明，本文以单投入单产出的情况解释其原理，如图6-11所示。

在图6-11中，X轴为投入量，Y轴为产出量，OE代表C²R模型条件下有效生产前沿面(一条射线)，DCRFH代表C²GS²模型条件下有效生产前沿面(一个凸集)，D、P、R、F、H等代表不同决策单元的投入产出组合。

对于投入产出水平位于点P的DMU，其综合效率θ^*=AB/AP;其技术效率σ^*=AC/AP;其规模效率ζ^*=AB/AC。显然:(1)综合效率等于技术效率与规模效率的乘积，即θ^*=σ^*×ζ^*。(2)对于处在C²GS²有效前沿面上DCRFH的DMU来说，DCR区段是规模收益递增的，RFH区段是规模收益递减的。

根据DEA模型，假设t年教育部门有n_t个学校，第j个学校有投入指标值(用向量表示)有m个，产出指标值(用向量表示)有s个，j∈J=(1，…，n_t)。那么，有生产可能集，即

图6-11　单投入单产出效率解释

每个学校投入指标值相对于产出指标值有最优值α₀＞0，说明(X₀，α₀Y₀)对应的学校的资源配置为弱DEA有效(C²GS²)。最优值α₀可以用以下线性规划模型求得:

其中，X₀和Y₀分别为所选学校的投入指标值和产出指标值，α₀Y₀为最大产出指标值，λ_j为有效n个学校的组合比例。^[7]