数量关系与资料分析

目标分值　3.6分

学习时间　1.5小时

任务清单　4种技巧　7个考点　13道真题

◆　题干特征：题干中有分数、百分数、比例、倍数等特征；

◆　题型属性：题型为多位数问题、余数问题、多元方程、多次方程等题型；

◆　方法核心：选项必须是可用的，直接使用或间接使用；

◆　技巧提升：代入选项时往往使用数字特性，结合居中代入、最值代入、最简代入等技巧快速解题。

◎　特征：题干中出现“多位数”特征，如出现“三位数”、“末两位”、“自然数”等字眼时，往往认为是多位数问题，直接使用代入法。

【例题1】（2014广东）一名顾客购买两件均低于100元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是（　　）元。

A. 42
B. 63
C. 85
D. 96

【解析】直接代入选项，代入A选项，原价42，看错后为24，少付的金额为42-24=18（元），不符合题意，答案选择A。

【例题2】（2014河北政法）在一个两位数前面写上3，所组成的三位数比原两位数的7倍多24，则这个两位数是（　　）。

A. 28
B. 36
C. 46
D. 58

【解析】解法一：直接代入选项，发现只有C选项满足要求。

解法二：设这个两位数为x，写上3之后的三位数为300+x，进而得到：7x+24=300+x，解得x=46。答案选择C。

思维小结

多位数问题的解法一般有两种：一是利用代入法解题；二是利用多位数表示的方法，如三位数。

数量关系题目的解题思路是：先思考选项是否可用，若不可用则再考虑其他解法。

◎　特征：题干中出现“除以”、“除”、“余数”、“商”、“平均分成”等字眼。

【例题3】（2014天津）在一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，第一只猴子起来偷吃了一个，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了一会儿，第二只猴子起来也偷吃了一个，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡觉，第三、四、五只猴子也都依次这样做。问那堆桃子最少有多少个？（　　）

A. 4520
B. 3842
C. 3121
D. 2101

【解析】根据第一个条件，吃掉1个剩下的平均分成5份，我们可知答案应该减1可以被5整除，排除A、B两个选项。再根据题目的问法“最少有多少个”可知，所以我们应从最小的开始进行代入，先看D选项，2101-1=2100，被5整除后得到的是420，用2100-420=1680，1680-1=1679，不能再被5整除，排除D选项。答案选择C。

【例题4】（2014天津）有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人。如果按每横行排4人编队，最后少3人；如果按每横行排3人编队，最后少2人；如果按每横行排2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人？（　　）

A. 1045
B. 1125
C. 1235
D. 1345

【解析】解法一：直接代入最小的选项A，需满足加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数。只有A选项满足要求。答案选择A。

解法二：本题其实相当于队伍人数除以4余1，除以3余1，除以2余1，即余数相同，则队伍人数可以表示为12n+1，当n=87时，12×87+1=1045，结果最小。

思维小结

余数问题的核心等式为：被除数=除数×商+余数，0≤余数<除数；

余数类口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。

◎　特征：题干出现年龄问题的相关字眼。

【例题5】（2015北京）四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁，四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中最年长者是多少岁？（　　）

A. 30
B. 29
C. 28
D. 27

【解析】直接代入选项。A选项，四人年龄乘积为30×29×28×27，其中30×27能被81整除，排除；

B选项，四人年龄乘积为29×28×27×26，尾数不为0，不能被2700整除，排除；

D选项，四人年龄乘积为27×26×25×24，其中27×24能被81整除，排除。

选择C。

思维小结

年龄问题常见的解法有两种，一是代入法，二是方程法；

年龄问题的核心在于：年龄差永远不变，年龄的倍数逐渐减少；

方程法在使用时经常会用到列表分析的技巧。

◎　特征：题干中有分数、百分数，或者比例特征，或者“不变量”特征。

【例题6】（2016国家）某集团有A和B两个公司，A公司全年的销售任务是B公司的1. 2倍。前三季度B公司的销售业绩是A公司的1.2倍，如果照前三季度的平均销售业绩，B公司到年底正好能完成销售任务。问如果A公司希望完成全年的销售任务，第四季度的销售业绩需要达到前三季度平均销售业绩的多少倍？（　　）

A. 1.44
B. 2.4
C. 2.76
D. 3.88

【解析】切入点：题干中只有倍数关系，因此用赋值法。

第一步：假设A公司前三季度的销售业绩为3，则B公司前三季度的销售业绩为3.6，因此B公司全年的销售任务为4.8，A公司全年的销售任务为4.8×1.2=5.76。

第二步：A公司剩余销售业务为5.76-3=2.76，而A公司前三季度的平均销售业绩为1，故所求为2.76倍。本题选择C。

【例题7】（2014联考上）某有色金属公司四种主要有色金属总产量的为铝，为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨？

A. 600
B. 800
C. 1000
D. 1200

【解析】题干数据只有一种单位。设总产量为15份，其中铝为3份，铜为5份，镍为2份，则铅为5份。铅比铝多2份，而实际上铅比铝多600吨，所以1份对应的实际量为300吨，即镍的实际产量为2×300=600（吨）。答案选择A。

思维小结

赋值法的核心在于赋值只是简化了计算过程，并不影响结果；

赋值法的技巧一般是赋整数，通过最小公倍数来实现；

当题干中数据有单位时，一般通过赋“份数”来解决单位的干扰。

◎　特征：题干中出现“两个量，以及混合量”，且满足Aa+Bb=（A+B）r。

【例题8】（2014广东）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（　　）。

A. 48
B. 45
C. 43
D. 40

【解析】平均数混合问题，利用十字交叉法，方法如下：，得到男∶女=7∶8，即总人数为15份，人数是15的倍数，只有45满足要求。答案选择B。

【例题9】（2014国家）烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？（假设烧杯中盐水不会溢出）（　　）

A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

【解析】切入点：本题考查溶液混合。

第一步：运用十字交叉法，可得：

第二步：10%的溶液为100克，则50%的溶液为60克，60÷14≈4.3，则至少需要加5次。答案选择B。

思维小结

很多同学无法理解十字交叉后的比例是哪些量的比值，可记忆如下：

平均数混合：得到的比例为人数之比；

增长率混合：得到的比例为基期值的比例；

浓度混合：得到的比例为溶液质量或体积之比；

利润率混合：得到的比例为进价或成本之比；

折扣混合：得到的比例为原总售价之比。

◎　特征：题干中出现了“已知和（差）求差（和）”或偶数的倍数，或者出现了ax+by=c时，往往可以使用奇偶特性。

【例题10】（2012国家）某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？（　　）

A. 36
B. 37
C. 39
D. 41

【解析】切入点：最终求的学员人数是两部分之和，考虑奇偶特性。

第一步：设每位钢琴老师带x人，每位拉丁舞老师带y人，则有5x+6y=76。

第二步：因为6y和76都是偶数，得出5x也是偶数，即x为偶数，而质数中只有2是偶数，因此可得出x=2，y=11。

第三步：因此剩余学员为：4×2+3×11=41（人）。答案选择D。

【例题11】（2010江苏A）有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余各盒被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小钱取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（　　）。

A. 17个，44个
B. 24个，38个
C. 24个，29个，36个
D. 24个，29个，35个

【解析】小钱取走的乒乓球数是小李的2倍，一定是偶数，排除A、C两项，代入B项，如果小钱取走的乒乓球数为24个、38个，则总和为62个，那么小李拿走的是31个，题干中不存在31个乒乓球。答案选择D。

思维小结

奇偶特性的核心法则为：

奇±奇=偶数，奇±偶=奇，即加减法不改变结果的奇偶属性，只改变结果的大小；

奇×奇=奇，奇×偶=偶。

◎　特征1：题干中出现了“数字和”或特殊数字的整除（3或9）；

◎　特征2：题干中出现了比例关系a∶b=m∶n或形式。

◎　特征3：题干中出现了周期余数特征。

数字特性

【例题12】（2015北京）甲、乙两个班各有40多名学生，男女生比例甲班为5∶6，乙班为5∶4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和（　　）。

A. 多1人
B. 多2人
C. 少1人
D. 少2人

【解析】根据甲班男女比为5∶6可知甲班人数为11的倍数，又知甲、乙两班都是40多人，故甲班人数为44人，其中男生20人，女生24人；乙班男女比为5∶4，可知乙班总人数为9的倍数，为45，其中男生25人，女生20人。故两班男生人数和为20+25=45（人），女生人数和为24+20=44（人），男生比女生人数多1人。答案选择A。

【例题13】（2014广东）在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下40名女员工。该公司员工总数为（　　）。

A. 446
B. 488
C. 508
D. 576

满足。【解析】解法一：分析题干可知，总数减去8人，是12的倍数，代入选项只有B选项

解法二：设两种分组方式的组数为x、y，则根据题意列方程得到：，解得y=32，即总数为14×32+40=488（人）。答案选择B项。

思维小结

特殊数字整除判定：

2（5）整除：观察数字的末位数字能否被2（5）整除；

4（25）整除：观察数字的末两位数能否被4（25）整除；

8（125）整除：观察数字的末三位数能否被8（125）整除；

3（9）整除：观察各位数字之和能否被3（9）整除。

分数比例形式整除：

若a∶b=m∶n（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数；

若，则a是m的倍数，b是n的倍数；

若。

目标分值　15×80%×0.8=9.6分

学习时间　1小时

任务清单　2种方法　7道真题

◎　特征：选项差别大或计算复杂时使用估算法。

◎　题型：多用于增长量计算、基期比重计算等题型。

估算法

方法精讲

◆　所谓估算，就是在精度要求不太高的情况下，进行粗略估值的速算方法。

◆　基本操作步骤：

1. 估算法是为了简化计算而采用的近似取整计算，对待计算数据进行取整时要结合选项，一般选择保留前三位有效数字即可。

2. 除法估算的原则是数据同变大同变小，乘法估算的原则是数据一变大另一变小。

3. 分析估算的结果与真实值之间的关系，通过分析变大或变小的幅度来判断估算值比真实值是偏大还是偏小。

如计算A×B的结果时两个数都在取整过程中变大，那么速算的结果一定比真实值略大，在选项中选择比较接近又略小的即可。

4. 除法运算中，为了保证计算的精度，估算时一般采取按比例放缩的方法。

【例题1】5461÷14831=（　　）。

A. 31.1%
B. 33.2%
C. 36.8%
D. 38.9%

【解析】选项差别不是很大，但是选项的前两位都是不同的，可以将两个数据同时变大近似处理，即。选择C选项。

【点睛】除法的估算，可以通过按比例放缩，实现估算误差的最小化。如，2是1的2倍，如果它们的增加量或减少量均是2倍的关系，则一定不会影响结果的精确性。在本题中，14831约是5461的3倍，分子加39，那么分母加100+，结果一定是相对准确的，，在本题中答案略大于36.7%。选择C选项。

【例题2】（2014国家）2012年第三季度，全国100个城市的公共就业服务机构市场中，用人单位通过公共就业服务机构招聘各类人员约643.3万人，进入市场的求职者约610万人，在所有求职人员中：失业人员所占比重为48.8%，其中，新成长失业青年占24.2%（在新成长失业青年中应届高校毕业生占51.4%）。

2012年第三季度全国100个城市，求职的新成长失业青年中，应届高校毕业生人数约为（　　）。

A. 66万
B. 71万
C. 76万
D. 81万

【解析】2012年第三季度全国100个城市，求职的新成长失业青年中，应届高校毕业生人数为。选择C选项。

【例题3】2011年1—9月，全国造船完工5101万载重吨，同比增长18.3%；新承接出口船舶订单规模2162万载重吨，占新接订单的74.5%。

2011年1—9月，新承接出口船舶订单在全国造船完工总量中的比重约为多少？（　　）

A. 50.2%
B. 15.5%
C. 74.5%
D. 42.4%

【解析】本题考核比重的计算。2011年1—9月，新承接出口船舶订单在全国造船完工总量中的比重为，选择最接近的D选项。

【点睛】除法的估算，可以通过按比例放缩，实现估算误差的最小化。如在本题中，5101约是2162的2倍，分子加38，那么分母加76+，结果一定相对准确，42.3%，在本题中答案略大于42.3%，选择D选项。

【例题4】（2016国家）

2014年棉花产量前十位产区生产情况

2014年棉花总产量最高的省（区）播种面积占全国棉花播种面积的比重约为（　　）。

A. 52%
B. 60%
C. 40%
D. 46%

【解析】比重计算。由表格数据可知，2014年棉花总产量最高的省是新疆，其2014年棉花播种面积为1953.3千公顷，全国棉花播种面积为4219.1千公顷，前者占后者的比重约为1953.3÷4219.1≈195÷420≈46%。故本题选D。

◎　特征：选项首位不同或首两位不同。

◎　题型：多用于基期量、增长率、比重、平均数的计算。

直除法

方法精讲

◆　所谓直除法，就是指通过截位直接相除的方式得到商的首位或首两位，从而结合选项判定答案的方法。

◆　直除法常见形式：

1. 若选项首位不同，通过计算首位便可得出答案；

2. 若选项首两位不同，且分母（除数）的首位数字是4或4以上，则分母（除数）保留前两位进行计算；

3. 若选项首两位不同，且分母（除数）的首位数字是1或2或3，则分母（除数）保留前三位进行计算。

【例题5】改革开放以来，广东省社会消费品零售总额迅猛增长，1985、1995、2005年的值分别为289、2478、7883亿元人民币。那么，1995年值为1985年值的（　　）倍，2005年值为1995年值的（　　）倍。

A. 9.1 3.2
B. 8.6 3.2
C. 9.1 2.9
D. 8.6 2.9

【解析】通过分析选项得知，本题可以通过首位判断来确定答案。，采用直除法速算，商的首位一定是8，排除A、C选项；，采用直除法速算，商的首位一定是3，排除D选项。选择B选项。

【例题6】“十一五”期间，我国农村居民人均纯收入由2005年的3255元提高到2010年的5919元，增加2664元。

“十一五”期间，我国农村居民人均纯收入的增长率约为（　　）。

A. 58.2%
B. 63.7%
C. 74.5%
D. 81.8%

【解析】根据计算公式，我国农村居民人均纯收入的增长率为，选项首位均不相同，采用直除法速算，首位为8，选择D选项。

【例题7】（2015山西）2011年甲省高新技术产业实现工业总产值6622.2亿元，同比增长37.4%，是2006年的4.9倍。高新技术产业总产值占全部规模以上工业总产值的比重达到21.3%，较上年提高0.4个百分点，比2006年提高4.3个百分点。2011年末全省拥有规模以上高新技术企业1325户，比2006年增加360户。从业人员75.2万人，同比增长23.1%，是2006年的2.3倍。

2011年甲省高新技术产业人均创造产值约为多少万元？（　　）

A. 40
B. 57
C. 88
D. 100

【解析】2011年甲省高新技术产业人均创造产值为万元，直除首位为8，答案为C选项。