平面图形的认识与测量

（一）三角形的认识

1.三角形的定义

通常在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接，所组成的封闭图形叫作三角形。

三角形也叫三边形。如图5-19所示，组成三角形的3条线段AB、BC、AC叫三角形的3条边；三角形每两条边的交点叫作三角形的顶点，图中点A、B、C就是这个三角形的顶点；三角形相邻两边所成的角，叫三角形的内角或叫三角形的角，图中∠A、∠B和∠C就是三角形的3个内角（或角），三角形3个内角和是180度。

图5-19

三角形可以用符号“△”来表示，如上图所示，这个三角形ABC，可记作△ABC。

2.三角形的底和高

从三角形任一顶点向它的对边或对边的延长线作垂线，从顶点到垂足之间的线段被叫作三角形的高。这个顶点所对的边叫三角形的底（见图5-19）。切记，任何三角形都有3条高。

3.三角形的面积

面积=底×高÷2

4.三角形的稳定性

只要三角形3条边的长度被确定了，这个三角形的形状和大小就可以确定了，三角形的这个性质，被称为三角形的稳定性。三角形的这种特性，在生活中被广泛地应用。

5.三角形的分类

（1）按不同的角分，可以分成

（2）按边长分，可以分成

图5-20

6.等腰三角形和等边三角形的特征

等腰三角形中相等的那两条边叫作三角形的腰，另一条边叫作三角形的底。两腰的夹角叫作顶角，底边和两腰所夹的两个角叫作底角。等腰三角形的两个底角相等（图5-21）。

图5-21

在等边三角形中，三个角都相等，并且每个角都是60度（图5-22）。

图5-22

7.三角形的中位线

三角形两边中点的连线称为三角形的中位线，它平行于第三边，且等于第三边的一半。

例1：一个三角形各内角度数比为1:2：3，请问这是个（）三角形。

A.锐角

B.钝角

C.直角

分析：本题考查三角形按角分类情况，与比例知识综合。根据三角形内角和为180°，及按比例分配知识，分别求出三个内角，再来判断，即180°÷（1+2+3）=30°，30°×2=60°，180°-（30°+60°）=90°，得出这个结论可知，有一个角是直角，显然是直角三角形。

解：选C。

例2：图5-23中直角三角形的高h是（）。

图5-23

分析：计算直角三角形的面积的方法有两种，一是用两条直角边的乘积除以2；二是用斜边乘对应的高再除以2。由此得到等量关系：

12×16÷2=20×h÷2

h=12×16÷2×2÷20=9.6

例3：数一数在图5-24中一共有多少个三角形？

分析：根据三角形的概念，想要不重复、无遗漏地找出所有三角形，应按照某种顺序去找。

由单个图形构成的三角形有△BEF，△BCF，△CDF，共3个.

图5-24

由两个图形构成的三角形有△ABD，△EBC，△BCD，△CAE，共4个。

由四个图形构成的三角形有△ABC，共1个。

解：一共有8个三角形，分别为△EBC，△DBC，△FBC，△ABC，△DAB，△EAC，△EFB，△CDF

例4：小涛的玩具模型上有一个三角形，已知三角形的底是7.6厘米，高是4厘米。这个三角形的面积是多少平方厘米？

分析：知道了三角形的底和高，直接代入三角形的面积公式底×高÷2即可得出面积是多少。

解：7.6×4÷2=15.2（平方厘米）

评注：注意面积单位是平方厘米，另外还要牢记三角形面积公式即面积=底×高÷2。

例5：如图5-25所示，已知∠1=65°，∠2=30°，∠3=52°，求∠5=？

分析：根据三角形内角形和是180°，可知∠2+∠3+∠6=180°，而∠6+∠4=180°，所以可得出∠4=∠2+∠3，再进一步利用∠1十∠4+∠5=180°，便求出了∠5的度数。

解：因为∠2+∠3+∠6=180°

而∠4+∠6=180°，所以∠4=∠2+∠3=30°+52°=82°

图5-25

又因为∠1+∠4+∠5=180°

所以∠5=180°-∠1-∠4°

=180°-65°-82°

=33°

答：∠5=33°。

例6：如图5-26，已知三角形的面积是40厘米，底是10厘米，求三角形的高。

分析：这是一道考查三角形面积公式应用的问题。三角形的面积S=底a×高h÷2，代入已知数，即可求得高。

图5-26

解：S=12/a·h

40=1/2×10×h

h=8（厘米）

例7：一个等腰三角形，已知一条边是5厘米，另一条边是12厘米，求这个等腰三角形的周长是多少厘米？

分析：三角形边与边之间的关系是三角形知识中的重要内容，往往在解题中容易被忽视。此题看似简单：等腰三角形的两腰相等，那么腰长可能是5厘米，也可能是12厘米，再将三条边长度相加就是周长，容易产生此题有两种答案的错误想法，但事实上正确答案只有一个。

解：若5厘米长的一边是腰，则另一条腰也是5厘米，此时5+5=10（厘米）＜12厘米，两边之和小于第三边，不符合题意。

若12厘米长的一边是腰，另一条腰也是12厘米，此时任意两边之和均大于第三边。由此可知这个等腰三角形的周长是：

5+12+12=29（厘米）

注意：三角形两边之和大于第三边，它跟三角形的内角和是180°等内容都是日后进一步研究三角形的重要基础，不仅要牢记，更应该注意在实践中的运用。

例8：等腰三角形腰上的高与底边夹角为45°，则这个三角形是（）。

A.锐角三角形（非等边三角形）B.等边三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

分析：等腰三角形两个底角相等。根据题意，等腰三角形的底角为180°-90°-45°=45°

所以顶角为：180°-45°-45°=90°

所以该三角形为等腰直角三角形。

例9：如图5-27所示，图中D、E分别是AB、AC的中点，F是BC上的任意一点，共形成了6个三角形，这6个三角形的面积加起来等于80平方厘米，求三角形ABC的面积是平方厘米。

图5-27

解：如图所示，△ADE的底和高都等于△ABC的一半，S△ADE=1/4S△ABC

80=S△ADO+S△AOE+S△ADE+S△ABF+S△AFC+S△ABC

=2S△ADE+2S△ABC

=2×1/4S△ABC+2S△ABC=5/2S△ABC

所以S△ABC=80÷5=32（平方厘米）。

例10：如图5-28所示，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，点A是线段CD的三等分点，如果△ABC的面积是72平方厘米，求△DEC的面积是平方厘米。

图5-28

解：如图（2）所示，图中所有小三角形的面积都相等，△ABC中有8个小三角形，△DEC中有9个小三角形，所以S△DEC=72÷8×9=81（平方厘米）。

图5-29

例11：如图5-29所示，∠1=40°，∠2=30°，求∠4的度数。

分析：∠1、∠3和∠4是三角形ABC的三个内角，在三角形ABC中已知∠1的度数，要求∠4的度数，必须先求出∠3的度数。在直角三角形BDE中，已知∠2=30°，于是可以求出∠3=90°-30°=60°或180°-90°-30°=60°，知道了∠3的度数，就可以根据三角形内角和公式求出∠4的度数。

解：∠3=90°-30°=60°，∠4=180°-（40°+60°）=80°。

例12：如图5-30所示，CZ=1/2 YZ, AX=13 XZ, BY=14 XY，求

△ABC与△XYZ的面积之比。

解：连结AY、CX，设△XYZ的面积为a，则由CZ=1 YZ知

S△CZX=1/2S△XYZ=1/2a（两个三角形高，面积的比等于底边的比）

图5-30

例13：如图5-31所示，由面积分别为2，3，5，7的四个三角形拼成了一个大三角形，已知：

图5-31

（二）四边形的认识

1.四边形的定义

在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾相接而组成的封闭图形叫作四边形。

2.平行四边形

（1）平行四边形的定义及特征

两组对边分别平行的四边形，就叫作平行四边形。这两组对边分别平行，并且长度相等。图5-32就是一个平行四边形。图中AB平行于CD.AD平行于BC.AB=DC.AD=BC。

图5-32

（2）平行四边形的底和高

从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段就叫作平行四边形的高，这条对边叫平行四边形的底。平行四边形可以有无数条高（图5-32）。

3.长方形

有一个角是直角的平行四边形，就叫作长方形。长方形也称为矩形。长方形的对角线相等。长方形的面积=长×宽。

4.正方形

四条边都相等并且四个角都是直角的四边形，叫作正方形。正方形的对角线互相垂直且相等。正方形的面积=边长×边长。

5.梯形

（1）梯形定义

只有一组对边平行的四边形叫作梯形（图5-33）。

（2）梯形的各部分名称

①上底和下底：在一个梯形中互相平行的一组对边，分别叫梯形的上底和下底。

②梯形的腰：梯形中不平行的一组对边就叫作梯形的腰。

③梯形的高：梯形上下底之间的距离，叫梯形的高。如图5-34所示，AE⊥DC，那么AE是梯形ABCD的高。

图5-33

④梯形的面积：梯形的面积等于它的上底、下底的和的一半与高的积。

即：梯形面积=（上底+下底）×高÷2

图5-34

若梯形的两底分别用A.b表示，高为h，面积为S，则梯形面积用字母表示为

S=（a+b）×h÷2或S=1/2（a+b）h

⑤梯形的分类（见图5-35）：

图5-35

6.菱形

有一组邻边相等的平行四边形就叫作菱形，如图5-36所示。

菱形的性质：

（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直、平分。

（4）菱形是一个轴对称图形。

图5-36

菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。

7.四边形的计算

例1：一个长方形的公园，已知长660米，宽比长的一半多54米，如果在它的四周种一圈荆树带，问荆树带长多少米？

解：长方形的宽：660÷2+54=330+54=384（米）

长方形的周长：（660+384）×2=1044×2=2088（米）

答：荆树带长2088米。

例2：由两个完全相同的长方形拼成的一个正方形的周长是24厘米，求这个长方形原来的长和宽各是多少？周长是多少？

解：两个相同的长方形能拼成一个正方形，可以得知长方形的长一定是宽的2倍，而拼成的正方形的边长也是长方形的长（或宽的2倍），因为正方形的周长是24厘米，所以正方形的边长即原长方形的长是24÷4=6（厘米）

宽是6÷2=3（厘米）

周长是（6+3）×2=18（厘米）

答：原来长方形的长是6厘米，宽是3厘米，周长是18厘米。

例3：如图5-37所示，阴影部分是正方形，求图中最大的长方形的周长（单位：厘米）。

图5-37

解：观察图，可知7+5的和是最大的长方形的长与正方形的边长的和，正方形的边长又等于长方形的宽，所以7+5的和就是最大长方形的长与宽的和，所以最大的长方形的周长是（7+5）×2=24（厘米）。

例4：图5-38是五个相同的小长方形拼成的一个大长方形，已知这个大长方形的周长是88厘米，求每一个小长方形的面积是（）平方厘米。

图5-38

分析：从图中和已给条件可知，2个长等于3个宽，即长是宽的1.5倍，于是设小长方形的宽为b厘米，则长是1.5b厘米。大长方形的长是（1.5b+1.5b）厘米，宽是（b+1.5b）厘米，根据“大长方形的周长是88厘米”可以列出方程。

[（1. 5b+1.5b）+（b+1.5b）]×2=88

b=8

一个小长方形的面积是：8×1.5×8=96（平方厘米）。

例5：判断图5-39中的图形哪些是平行四边形？

图5-39

解：（2）、（4）、（6）都是平行四边形。（1）不是，因为它是一个五边形；（3）是一个梯形；（5）是一个六边形

例6：如图5-40所示，四个同样的长方形和一个小正方形拼成了一个面积为64平方厘米的大正方形，已知小正方形是9平方厘米，求长方形的宽是多少厘米？

分析：在解答带图的几何图形题时，应注意一些信息都隐藏在图形当中，所以根据数形结合的思想，观察已给出的图形，不难看出：这个大正方形的边长就是长方形的长加上宽；小正方形的边长就是长方形的长、宽之差。

图5-40

解：8×8=64，由此得到大正形边长是8厘米；

3×3=9因此小正方形边长是3厘米.

长方形的宽是：（8-3）÷2=2.5（厘米）

答：长方形的宽是2.5厘米。

例7：明明家的客厅长8米、宽6米，他妈妈想用长25厘米、宽12厘米的长方形瓷砖铺地，已知瓷砖的每块单价0.3元，那么，请帮明明妈妈计算一下铺这间客厅的瓷砖共需多少元？

分析：瓷砖的总价由瓷砖的块数决定，而瓷砖的块数等于客厅的面积和一块瓷砖的面积之比，算出瓷砖块数后，由单价便可以求出总价。

解：客厅面积：8×6=48（平方米）

瓷砖面积：0.25×0.12=0.03（平方米）

用瓷砖块数：48÷0.03=1600（块）

共需多少元：0.3×1600=480（元）

综合算式：0.3×[8×6÷（0.25×0×12）]=0×3×1600=480（元）

答：铺这间客厅的瓷砖共需480元.

例8：彤彤奶奶家用篱笆围一块梯形菜地，一面靠墙（如图5-41所示）。已知篱笆全长48米，如果每平方米可以收白菜9.5千克，问这块地一共可以收白菜多少千克？

分析：本题关键是求梯形菜地面积。题中篱笆全长是指梯形三条边的长，即上底+下底+高，这样可以求出上底与下底的和（在这里不必分别求出上、下底的长度），再利用公式解决问题。

图5-41

解：梯形上下底的和：48-15=33（米）

梯形面积：33×15÷2×9.5=2351.25（千克）

答：这块地共可以收白菜2351.25千克。

例9：如图5-42所示，已知一个平行四边形的周长为36厘米，两条高分别是5厘米和4厘米。求平行四边形的面积是多少？

分析：给出周长为36厘米，则可以知道相邻的两底的长度之和为18厘米，而任意一组与它对应的高的积都是平行四边形的面积，因此可以根据面积相等列方程解答。

图5-42

解：设长为4厘米的高对应的底为x，则长为5厘米的高对应的底为（36÷2-x）厘米，即（18-x）厘米，根据面积相等列方程为：

4x=（18-x）×5

x=10

10×4=40（平方厘米）

例10：有一块梯形稻田，已知高与上底的比是2:3，上底是下底的9/11，上、下底和高共长130米，如果每公亩收稻谷90千克，那么这块地可收稻谷多少千克？

分析：解决这道应用题的关键，其实就是求梯形的面积，而梯形面积的求解必须先知道梯形的上、下底和高，所以根据已知条件，只要求梯形的上底、下底和高，问题就解决了。同时还要注意一下题目中的单位是公亩，1公亩=100平方米。

解：上底是下底的9/11，即上底：下底等于9:11，又由高与上底的比是2:3，再将两个比化成连比，即高：上底：下底=6:9：11

上底：130×9/6+9+11=45（米）

下底：130×9/6+9+11=55（米）

高：130-45-55=30（米）

梯形面积：45+55/2×30=1500（平方米）=15（公亩）

稻谷产量：90×15=1350（千克）

答：这块地可收稻谷1350千克。

例11：数学老师在黑板上画了一个梯形，如图5-43所示，上底是5厘米，下底是8厘米。

（1）在梯形中画一条线段，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。

图5-43

（2）已知分割成的平行四边形的面积是20平方厘米，求分割成的三角形的面积是多少。

分析：此题综合考查同学们对图形特征、面积计算的熟练掌握情况，以及观察、想象的能力。

（1）分割出一个平行四边形，因为图中已经有一组对边平行，所以我们只需画出一条线与梯形的一条腰平行如图5-44所示。

（2）平行四边形、三角形、梯形的高都相同，由平行四边形的面积和底先求出平行四边形的高。梯形的高=20÷5=4（厘米）

因为平行四边形的对边相等，所以三角形的底是8-5=3（厘米）。三角形面积=1×3×4=6（厘米）

图5-44

答案：（1）所分的平行四边形和三角形如图5-44所示。（2）三角形面积为6平方厘米。

例12：图5-45是由两个完全一样的直角三角形叠在一起而形成的，图中已经给出三角形的边长，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

解：阴影部分是个梯形，但梯形的上底、下底和高都不知道，不能直接求出来。仔细观察图形可以看出：阴影部分的面积+三角形FEC的面积=大三角形的面积，梯形ABEF的面积+三角形FEC的面积=大三角形的面积。因此，可知阴影部分的面积与梯形ABEF的面积相等。

图5-45

解：FE的长为：8-3=5（厘米）

阴影部分的面积为：（8+5）×5÷2=32.5（平方厘米）

答：阴影部分的面积为32.5平方厘米。

例13：有一个梯形，如果它的上底增加2米，下底和高都不变，它的面积就增加了4.8平方米；如果上底和下底都不变，高增加2米，它的面积就增加了8.5平方米，求原来梯形的面积。

分析：根据题中讲的第一种情况（如图5-46所示），阴影部分的三角形面积是4.8平方米，底边是2米，从而可以求出高h（即梯形的高）。

梯形的面积=12（a+b）h，当梯形的上底和下底不变时，12（a+b）也不变。高增加2米，面积增加8.5平方米，根据增加的面积=1/2（a+b）×增加的高度，就可以求出12（a+b）的值，然后再依据1（1+b）和h的值求出原梯形的面积。

图5-46

解：原梯形的高为：h=4.8×2÷2=4.8（米）

原梯形上底、下底的和的1/2为：

1/2（a+b）=8.5÷2=4.25（米）

原梯形的面积为：4.25×4.8=20.4（平方米）

答：原梯形的面积是20.4平方米。

例14：图5-47是红红家附近公园里的一块长方形草地，长方形的长为16米，宽为10米，但是草地的中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，请算一下有草部分（阴影部分）的面积有多大？

图5-47

分析：此题是考查利用割补法和平移法解题的能力。如果按照常规的解法，计算过程会很烦琐，如果用割补法、平移法则会比较简单。把左边沿路这一块割下补在右边变成一个平形四边形，然后两条路平移到边上（见图5-48），就容易解答了。

图5-48

解：有草的面积为：

（16-2）×（10-2）=14×8=112（平方米）

答：有草部分的面积是112平方米。

例15：如图5-49所示，已知ABCD和CEFG均为正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，求图中阴影部分（三角形BFD）的面积是多少？

分析：此题是考查对几何图形面积算法的综合运用能力。按常规方法解题，不容易入手。所以换一种思路才易于解答。因为梯形CEFD的面积是（FE+DC）×FG÷2，△BEF的面积是（BC+CE）×EF÷2=（DC+FE）×FG÷2，所以梯形CEFD的面积和△BEF的面积相等，那么△DHF的面积和△BCH的面积相等。图中的阴影部分的面积就和△BCD的面积相等。

图5-49

解：因为△BEF的面积和梯形CEFD的面积相等，所以△DHF和△BCH的面积相等，所以△BFD的面积=△BCD的面积=BC×DC÷2=50（平方厘米）。

（三）圆的认识

1.圆

（1）概念

当一条线段绕着它固定的一端在平面内旋转一周，它的另一端会在平面内画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线就叫作圆。

（2）圆心

画圆时，线段的固定的一个端点，叫作圆心（用圆规画圆，圆规固定的一点就是圆心）。圆用符号“⊙”表示，圆心用字母“O”表示，圆心为O的圆记作⊙O，读作圆O。

（3）半径

连接圆心和圆上任意一点的线段叫作圆的半径，半径常用R或r表示。

在一个圆中，有无数条半径，而且所有的半径都相等。

（4）直径

通过圆心，并且两端在圆上的线段，叫作圆的直径，直径一般用D或d来表示。

在一个圆中，有无数条直径，而且所有的直径都相等，直径等于半径的2倍，用字母表示为d=2r。

（5）圆的性质

①同圆或等圆的半径相等。

②圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴。

③圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。

（6）圆周率

圆周长和直径的比值是一个常数，这个常数叫作圆周率，用字母π（读pài）来表示。π=3.1415926……，并且π是个无限不循环小数。在计算时，可根据需要取得近似值，在小学阶段的学习中一般只取两位小数，π≈3.14。

（7）圆的画法

根据圆心到圆上任意一点的距离（半径）都相等，我们可以利用工具圆规来画圆，如图5-50所示。方法如下：

①把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即定所要画的圆的半径）。

②把有针尖的一端固定在一点上（即定圆心）。

③把装有笔尖的一端旋转一周，就画出一个圆。

（8）圆的其它相关知识

①弦、弧：连接圆上任意两点的线段叫作弦。圆上任意两点之间的部分叫作圆弧，简称弧。

图5-50

②半圆：在一个圆中，任意一条直径的两个端点可以把圆分成两条相等的弧，其中的每一条弧都叫作半圆。

③等圆与同心圆：半径相等的圆叫作等圆。圆心重合，半径不等的两个圆，叫作同心圆。

④圆心角：顶点在圆心的角，叫作圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。

⑤圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，这样的角叫作圆周角。

2.扇形

由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。扇形是轴对称图形，圆心到弧上中点的半径所在的直线是它的对称轴，它只有1条对称轴。

3.圆环

介于两个同心圆之间的部分，叫作圆环，也叫作环形。如图5-51中阴影部分就是圆环。

图5-51

4.圆周率的由来和发展

轮子是古代的一项重要的发明，它给人们的生产和

生活带来了极大的方便。由于轮子的普遍使用，人们很自然地想到这样一个问题：一个轮子转一圈可以走多远的距离？很显然，轮子越大，走过的距离越长，那么转动的距离与轮子的直径之间有什么关系呢？

人们最早用测量的方法来解决这个问题，经过许多的人多次测量后，人们发现了圆的周长总是其直径的3倍多一些。在我国，现存的圆周率的最早记载要追溯到2000多年前的《周髀算经》。

用测量的方法计算圆周率，圆周率的精确程度就取决于测量的精确程度，但是，许多实际的困难往往会限制了测量的精度。

公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德在一次研究中发现：当一个正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆。这一发现提供了计算圆周率的新途径。阿基米德用圆内接正多边形和圆外切正多边形两个方向上同时逐步逼近圆的方法，经过不懈的努力，他终于获得了圆周率的值介于223/71和22/7之间的结论。

我国古代著名数学家祖冲之也作出了许多杰出的贡献。1500多年前，南北朝时期的祖冲之计算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，并且得出了两个用分数表示的近似值：约率为22/7，密率为355/113。祖冲之的这一成就，后来经验证，竟领先了西方约1000年。

5.圆的周长和面积

（1）周长

一般来说，围成一个圆的曲线的长度，就叫作圆的周长。

如果用d表示圆的直径，用r表示圆的半径，用C表示圆的周长，

则圆周长的公式是：C=πd或C=2πr。

（2）圆的面积

如果圆面积用S表示，半径用r表示，直径用d表示，那么圆面积的计算公式为S=πr2。

（3）圆的计算

例1：把一个半径为r的圆16等分后，可以拼成一个近似的等腰梯形。其面积怎么计算？

解：如图5-52所示，梯形上底与下底的和就是圆周长的一半，高等于圆半径的2倍，所

图5-52

例2：以正方形ABCD的顶点A为圆心，以边长为半径画一个圆（见图5-53）。已知正方形的面积是24平方厘米，求图中阴影部分的面积。

解：阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去1/4圆的面积，要求圆的面积首先要知道圆的半径，此圆的半径正好是正方形的边长。已知正方形的面积是平方24厘米，假设边长为r，则r2=24，根据公式可以求得圆的面积是：

图5-53

3.14×24==πr2=75.36（平方厘米）

阴影部分的面积是：24-75.36×1/4=5.16（平方厘米）

所以阴影部分的面积是5.16平方厘米。

例3：（1）请你画一个长4厘米、宽2厘米的长方形。

（2）再在这个长方形内画一个最大的圆，并求出这个圆的周长和面积。

分析：本题从画与算这两个角度来考查学生对平面几何的学习，画长方形利用垂直与平行知识进行，在这个长方形内画最大的圆，首先要考虑圆心，即在长方形内，关键是首先要确定圆的半径，它应为长或宽的一半，显然，选择半径为宽的一半即为1厘米，再求圆的周长与面积。

图5-54

解：（1）画长方形与圆，见图5-54。

（2）圆的周长：3.14×2=6.28（厘米）

圆的面积：3.14×1/2=3.14（平方厘米）

例4：图5-55是一种工具手柄的横截图。已知圆的周长是62.8厘米，长方形面积和圆面积相等，求这个工具手柄的横截面积（阴影部分）。

分析：通过图形观察可知，工具手柄的横截面积是用长方形面积减去圆面积的14，长方形面积等于圆面积，所以工具手柄的横截面积就是用圆面积减去圆面积的14，即圆面积的（1-14）。

图5-55

解：阴影面积=3.14×（62.8÷3.14÷2）2×（1-1/4）=235.5

（平方厘米）。

例5：洋洋所在的高中有个大操场，如图5-56所示。已知中间长方形的面积是4000平方米，求操场的周长是多少米？

图5-56

分析：由题意可知：操场的周长是圆的周长与长

方形两个长的和，圆的直径是长方形的宽，可以根据长方形的面积和长求出操场的周长。

解：长方形的宽：4000÷100=40（米）

圆周长：40π=125.6（米）

操场的周长：125.6+100×2=125.6+200=325.6（米）

答：操场的周长是325.6米。

例6：求图5-57图形的周长（单位：厘米）。

分析：本题主要是考查我们对“圆的一半”和“半圆”的理解，通常半圆的周长包含一个圆的半周长和一条直径。

解：图形的周长：3.14×4÷2+4=10.28（厘米）

答：图形的周长是10.28厘米。

例7：小海的摩托车轮胎的外直径约是70厘米。如果它平均每分钟能转100周，那么小

图5-57

海驾驶它通过一座1100米长的大桥，大概需要几分钟？

分析：要求“通过一座1100米长的大桥，大概需要几分钟”的关键是需要知道摩托车每分钟行多少米。

（1）摩托车轮胎一周长多少米？

70厘米=0.7（米）

0.7×3.14=2.198（米）

（2）摩托车每分钟行多少米？

2.198×100=219.8（米）

（3）通过大桥约需要几分钟？

1100÷219.8≈5（分钟）

答：通过大桥约需5分钟。

例8：一个工具的横截面如图5-58所示（单位：米），中间是长方形。求这个工具的周长是多少米？面积是多少平方米？

图5-58

分析：（1）这个工具的周长是由两个半圆即一个圆的周长和两条长方形的长共同组成的。

解：40×3.14+80×2=125.6+160=285.6（米）

分析：（2）这个工具的横截面的面积由两个半圆即一个圆的面积和一个长方形的面积组成。

长方形的面积：40×80=3200（平方米）

工具横截面的面积：1256+3200=4456（平方米）解：

（40/2）2×3.14+40×80

=1256+3200

=4456（平方米）

答：这个工具的周长是285.6米，横截面的面积是4456平方米。例9：图5-59中小正方形的边长是1米，如果把它的四边撑开，就变成了一个圆面。求圆面的面积。

图5-59

分析：常规思维要求圆面积先要知道半径，但是这道题里并没有给出半径，通过观察两个图例可以发现：这个正方形的面积等于圆的面积。所以圆的面积等于1。

例10：已知一个半圆的周长是10.28，求这个半圆的面积。

解：根据C半=πr+2r=（π+2）r

可得10.28=5.14r

r=10.28÷5.14=2

S半=πr2÷2=3.14x2/2÷2=6.28

答：这个半圆的面积是6.28

例11：如图5-60所示（单位：厘米），求阴影部分的周长和面积各是多少？

分析：图形的周长包括大圆周长的一半和一个小圆周长。小圆半径是大圆半径的一半，所以小圆周长等于大圆周长的一半，所以这个图形的周长就是大圆的周长。

图5-60

解：10×2×3.14=62.8（厘米）

分析：这个图形的面积：进行相应的割补后，可以看出就是大圆面积的一半。

解：12×10×10×3.14=157（平方厘米）

答：阴影部分的周长是62.8厘米，面积是157平方厘米。

图5-61

例12：如图5-61所示，将一块面积为36平方厘米的圆形纸片进行剪裁，可裁出七个同样大小的圆纸片。问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

分析：从图中可以分析出，大圆直径是小圆直径的3倍，因此，大圆半径是小圆半径的3倍。

已知一个小圆面积是36×1/9=4（平方厘米），所以七个小圆的面积是4×7=28（平方厘米）。

故所余边角料总面积是36-28=8（平方厘米）。

答：余下边角料总面积是8平方厘米。

例13：以O为圆心，依次画半径为1，2，3……10的同心圆，把最小圆的内部染成红色，其他环形区域交替地染上绿色、红色，使得相邻两区域的颜色不同，求所有绿色区域面积之和与最大圆的面积之比。

解：绿色区域面积之和为

[（22-12）+（42-32）+（62-52）+……+（102-92）]π

=[（2+1）+（4+3）+（6+5）+……+（100+9）]π

=1/2×10×11π

答：绿色区域面积与最大圆的面积之比为11/20。

例14：如图5-62所示，一个“月牙”形屏幕擦在屏幕上随意平行移动（假设不许发生转动也不越过屏幕边界），已知线段AB是月牙外半圆弧的直径，长为2厘米。刚开始，A、B两点在矩形屏幕的一条边上。屏幕的长和宽分别为30厘米和20厘米。求屏幕上“月牙”擦不到的部分的面积是多少平方厘米？（π=3.14）

图5-62

分析：由于“月牙”形屏幕擦只在屏幕上平行移动，不会发生转动也不越过屏幕边界，所以它擦不到的地方只是屏幕的右上角和右下角两部分。如果将这两部分移到一起，则擦不到的部分就是图（2）中外半圆与长方形之间的两块阴影的曲边三角形，可以计算出它的面积为

答：擦不到的面积为0.43平方厘米。

例15：如图5-63所示，大圆的半径为6，求其阴影部分的面积为。

图5-63

分析：如图（2）所示，四个小圆在正方形ABCD外面部分的面积等于图1中四个小圆内部空白部分的面积，所以所求阴影部分面积等于在求正方形ABCD的面积，即

S阴影=S□ABCD=A.2=6/2+6/2=72

答：阴影部分的面积为72。

图5-64

（4）扇形面积：由圆心角的两条边（即两条半径）和圆心角所对的弧所围成的图形就叫作扇形（图5-64中阴影部分）。扇形可看做是圆的一部分，一般来说，当半径确定时，一个扇形面积的大小是由圆心角的大小决定的，扇形的圆心角是多少度，其面积就是同半径面积的三百六十分之几，即S扇形=n360×πr2

（5）圆环面积：圆环的面积=外圆面积-内圆面积（见图5-65），如果用R表示外圆的半径，用r表示内圆半径，用S表示圆环面积，则它的字母公式是：S=πR2-πr2=π（R2-r2）。

图5-65

例1：图5-66以一个三角形的三个顶点为圆心，画直径为4厘米的三个扇形，求这三个阴影部分面积的和是多少？

分析：三个阴影部分拼在一起，正好可以拼成一个半圆（三角形的三个内角的和是180°），所以这道题实际上是求直径4厘米的圆面积的一半。

图5-66

答：三个阴影部分面积的和是6.28平方厘米。

例2：如图5-67已知小圆的半径为2厘米，大圆直径是小圆直径的3倍，空白部分甲比空白部分乙的面积大多少平方厘米？

分析：阴影部分既是大圆的一部分，也是小圆的一部分，所以求甲空白比乙空白大多少平方厘米，就是大圆、小圆同时去掉相等的一部分之后面积的差，所以我们可以直接用大圆面积减去小圆面积即可。

图5-67

解：3.14×（2×3）2-3.14×22

=3.14×36-3.14×4

=100.48（平方厘米）

答：空甲比空乙面积大100.48平方厘米。