分数和百分数

1.分数的意义

把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，叫作分数。

在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫作分数的分母；表示取了多少份的数叫作分数的分子；表示其中的一份的数叫作分数单位。

分母不同的分数，它们的分数单位也不同。一般来说，一个分数a/b

（A.b为非零自然数）的分数单位就是1/b。

分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数，分数的值相当于除法中的商。0不能作除数，也就是说分数的分母不能为0。

例如：1/4的意义是把单位“1”平均分成4份，表示这样的一份，叫作1/4。3/10千克的意义是把1千克平均分成10份，表示这样的3份，或把3千克平均分成10份，表示这样的1份是3/10千克。

例：把5米长的木材平均截成9段，每段长（）（）米，每段占全长的（）（），5段占全长的（）（）。

分析：这是一道考查对分数意义理解的题目，第一个问题求每段长多少米可以按以前的除法问题来做，只是结果是用分数来表示而已。跟分数意义关系不大。第二和第三个问题才是分数问题，把全长看作单位“1”，平均截成9段，每段占全长的1/9，5段占全长的5/9。虽然第一个括号和第三个括号都是5/9，但它们的意义完全不同，第一个括号里的5/9是把5米平均分成9份，取其中的1份，而第三个括号里的5/9是把1平均分成9份，取其中的5份。

解答：把5米长的木材平均截成9段，每段长（5）（9）米，每段占全长的（1）（9），5段占全长的（5）（9）。

2.分数的分类

（1）分类

分数可分为真分数和假分数，其分类图如下：

①真分数：分子比分母小的数，叫作真分数。真分数比1小。例如：2/3，4/7，100/101。

②假分数：分子比分母大的数或者分子与分母相同的数，叫作假分数。假分数大于或等于1。例如：7/9，3/3。

③带分数：在分数中，由一个整数和一个真分数合成的数，叫作带分数。带分数大于1。例如1 1/2，2 2/3。

（2）假分数与整数或带分数的互化

①假分数化成整数或带分数的方法（表1-2）

②整数或带分数化成假分数的方法（表1-3）

例1：分数单位是1/8的最大真分数是（），最小假分数是（），最小带分数是（）。

分析：本题考查同学们对真分数、假分数、带分数概念的理解。真分数分子比分母小，最大是7/8；假分数分子大于或等于分母，最小是8/8；带分数有整数部分，最小是1 1/8。

例2：a、b、c是三个不等于0的自然数，且a＜b＜c，它们组成b/A.a/B.a/C.c/A.c/B.b/c这6个分数，其中最大的分数是（），最小的分数是（），真分数有（），假分数有（）。

分析：本题考查的目的是除了要了解真分数和假分数的含义外，还要了解分数的分母和分子的大小和数值大小之间的关系。因为a＜b＜c，所以b/A.c/A.c/b都是分子大于分母的分数，都是假分数，其中c/a分子最大，分母最小；a/B.a/C.b/c都是分子小于分母的分数，都是真分数，其中a/c分子最小，分母最大。这个例题考查的是同学们对分数的综合运用，你做对了吗？

解答：最大的分数是（c/a），最小的分数是（a/c），真分数有（a/B.a/C.b/c），假分数有（b/A.c/A.c/b）。

3.分数的基本性质

（1）分数的性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

（2）倒数：乘积是1的两个分数互为倒数。求一个分数（零除外）的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置即可。

注意：1的倒数是1，0没有倒数。

（3）约分和通分：约分和通分的依据是分数的基本性质。

①约分：把一个分数简化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。约分通常要约到最简分数。

②通分：把异分母的分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。

例1：（1）a是b的倒数，b扩大10倍后是50，a是（）。

（2）把2/5的分子加上4，要使分数大小不变，分母应加上（）。

分析：第（1）题结合考查倒数、小数点移动的知识，由b扩大10倍是50，可知b是5，由此推出a为1/5；第（2）题考查分数基本性质的运用。分子加4，观察分子变化，扩大3倍，因此分母也扩大3倍为15，因此增加15-5=10。

解答：（1）a是1/5，（2）分母应加上10。

例2：1 2/9的分数单位是（），它再增加（）个这样的单位就等于最小的质数。

解答：1 2/9的分数单位是（1/9），它再增加（7）个这样的单位就等于最小的质数。

4.分数的大小比较

（1）同分母分数大小比较：分母相同时，分子大的分数比较大。

（2）同分子分数大小比较：分子相同时，分母小的分数比较大。

（3）分子、分母都不相同的分数大小比较：分子、分母都不相同的分数在比较大小时，一般先通分再比较，也可以把分数分别化成小数再比较。

（4）比较分数大小的几种特殊方法：

①交叉相乘比较法。将要比较大小的两个分数的分子、分母交叉相乘，然后比较积的大小的方法，称为交叉相乘比较法。例如：

②用1比较法。当两个分数都比较接近1，却难以确定它们的大小时，我们可以先分别求出它们与1的差，差较小的分数就大，差较大的分数就小。这种比较分数大小的方法，称为用1比较法。

③用1/2比较法。当两个或几个要比较大小的分数，它们的值都接近1/2时，我们就可以用1/2作为标准来比较它们的大小。这种比较分数大小的方法，称为用1/2比较法。这样比较，往往可快速地发现两个或几个分数的大小关系。

④两分数相除比较法。将两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，这样能快速地比较出一些分数的大小。这种比较分数大小的方法，可称为“两分数相除法”。

⑤化相同分子法。把分子不相同的分数，化成同分子分数比较它们的大小，这种比较分数大小的方法，称为化相同分子法。在某些情况下化相同分子法比先通分再比较大小的方法还简便、快速。

（5）综合运用：

例：用不同的方法比较13/14和15/16的大小

分析：这是一道开放性题目，因此可以有不同思路的解题方法。在解答过程中要灵活运用分数的意义、基本性质。方法有：化成同分母分数进行比较；化成同分子分数进行比较；还可以与1进行比较；用倒数进行比较；用整数进行比较；用小数进行比较。

解答：方法一：化成同分母分数比较：

注意：解题方法虽然有很多，但一定要选择最佳的方法来解题。

5.百分数的意义

（1）表示一个数占另一个数的百分之几的数，叫作百分数。在这里应该指出的是，对于什么是百分数有两种不同的解释：一种是从百分数的形式上说“分母为100的分数叫作百分数”；另一种是从百分数的实际应用方面说“表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数”。

百分数之所以重要，是因为它的应用很广泛，在生产、工作和生活中，进行调查统计、分析比较时，经常要用到百分数。而它的应用特点就在于用它来表示两个数的比，所以，百分数也叫百分率或百分比。百分数的单位是1%。

例如：①二年级三好学生人数占总人数的20%。

②山东大枣的产量今年比去年增长15%。

③海尔冰箱经检验合格率为98%。

例：请你来做小法官：

（1）一根绳子93%米，用去了它的20%。（）

（2）最小的百分数是1%。（）

（3）在5的后面添上“%”，那么这个数就缩小了100倍。（）

（4）15/100是百分数。（）

分析：本题考查的是对百分数含义的理解，因为百分数只表示份数，不能表示数量，所以第（1）题是错误的；百分数的分子可以是小数，所以第（2）题也是错误的；添上“%”就是将5除以100，肯定要缩小100倍，所以第（3）题是对的；百分数有特殊的写法，所以第（4）题也是错误的。

解答：（1）一根绳子93%米，用去了它的20%。（×）

（2）最小的百分数是1%。（×）

（3）在5的后面添上“%”，那么这个数就缩小了100倍。（√）

（4）15/100是百分数。（×）

6.百分数的读法和写法

（1）百分数的读法

百分数的读法与分数的读法相同，先读分母，再读分子。在读百分数时，百分号“%”前面的数是几，我们就把这个百分数读作百分之几。

例如：22%读作：百分之二十二

5%读作：百分之五

125%读作：百分之一百二十五

89.2%读作：百分之八十九点二

300%读作：百分之三百。

（2）百分数的写法

百分数通常不写成分数形式，“%”表示百分号，“百分之”后面的数就是分子，按整数、小数的方法书写。

例如：百分之五十六，写作：56%

百分之二百三十点四，写作230.4%

7.百分数与小数、分数的互化

（1）小数化成百分数

可以把小数化成分母是100的分数后再把它写成百分数，也可以把小数的小数点向右移动两位，位数不够时用“0”补足，同时在后面加上百分号。

例如：0.34=34%，0.7=70/100=70%

（2）百分数化成小数

可以把百分数写成分母是100的分数后再把分数化成小数，也可以把小数点向左移动两位的同时去掉百分号，位数不够时用“0”补足。

例如：47%=47/100=0.47，140%=1.4

（3）分数化成百分数

通常先把分数化成小数（遇到除不尽的情况，通常要保留三位小数），再把小数化成百分数。

例如：1=0.25=25%，1≈0.333=33.3%。

还可以先把分数化成分母是100的分数，然后再去掉分母，并在分

子后面添上百分号。例如：8/5=160/100=160%，34=75100=75%。

（4）百分数化成分数

把百分数改写成分数时，能约分的要约成最简分数。例如：60%=60/100=3/5，25%=25/100=1/4。

把百分数化成分数，如果分子部分是小数，就先把百分数的分子、分母同时扩大相应的倍数，使分子变成整数，然后再约成最简分数。例如：2.5%=2.5/100=25/1000=1/40，16.2%=16.2/100=162/1000=81/500。

例：将无限循环小数0.181818……化成分数。

分析：循环小数0.181818……的小数数位是无限的，两位一循环，可把扩大100倍（如三位一循环，则扩大1000倍，依次类推）后的18.1818……减去0.181818……，就会得到18，并不是无限小数，18.1818……比0.181818……多出（100-1）倍正好是18，因此0.181818……相当于1倍数18÷（100-1）。

解：0.181818……

=（0.181818……×100-0.181818）÷（100-1）

=18÷99=18/99=2/11

8.百分数的应用

（1）税率

税率是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率（百分数）把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫作应纳税额，应纳税额与收入（销售额、营业额……）的比率就叫作税率。

（2）利率

存入银行的钱叫作本金；取款时银行多付给客户的钱叫作利息；利息与本金的比值叫作利率。利率常用百分数来表示。利息的计算公式是：

利息=本金×利率×时间

（3）成数和折扣：成表示十分之一，几成就表示十分之几，三成就是十分之三，其实折扣就是打折，打几折就是按原价的百分之几十出售，例如：打七五折就是按原价的75%出售。

例1：小明爸爸一年收入28000元，把收入的35%存入银行，定期一年，年利率2.25%，到期后扣除5%的利息税，一年后，小明爸爸一次性可以从银行拿到多少钱？

分析：解题的关键是首先我们得明白本金有多少，计算利息后，还要交5%的利息税，就是得利息的95%，再加上本金，就是小明爸爸可以拿到的钱了。

解：28000×35%×2.25%×1=220.5（元）

220.5×（1-5%）+28000×35%

=209.475+9800

=10009.475（元）

≈10009.48（元）

答：小明爸爸一次性可以从银行拿到10009.48元钱。

例2：王校长编写了一本书，获得稿费4200元，按规定，一次获得的稿费超过800元的部分应按14%的税率纳税，王校长应缴纳税款多少元？

分析：解题时需要注意两点，一是超过800元的部分才缴税；二是税率是指缴税金额占应缴税金额的百分之几，这里是14%。

解：（4200-800）×14%==476（元）

答：王校长应缴纳税款476元。

例3：某商场出售一批夏季服装，每件成本84元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售，每天销售量提高到原来的3.5倍，照这样计算，每天利润比原来增加多少元？

分析：要解答本题，首先要知道现在和原来的利润各是多少元。根据题意，每件服装成本84元，每件利润为成本的25%，则每件可获利润84×25%元，每天售出100件的获利是84×25%×100元。每件服装原售价为84×（1+25%）=105（元），后来按定价90%出售，售价为105×90%=94.5（元），每卖出一件可获利润94.5-84=10.5（元），销售量提高100只的3.5倍，可获利润为10.5×100×3.5元；现在与原来每天的获利相比较，即可求出利润的增加数。

解：[84×（1+25%）×90%-84]×（100×3.5）-84×25%×100

=10.5×350-2100

=1575（元）

答：每天利润比原来增加1575元。