计算机中的信息表示

1．二进制数字世界

人们在日常生活中最熟悉的是十进制数，计算机进行数据处理时，数据在计算机内部都是以二进制代码形式流通与处理的，处理结束后，处理结果仍将以人们熟悉的形式输出。在与计算机打交道时，不仅会接触到二进制，而且还会接触八进制、十六进制等。但无论哪种数制，其共同之处都是进位计数制。

二进制数由0和1两个数码组成，每位计满2，就向高位进1，即逢二进一。十进制数“2”用二进制数表示为“10”。为了表示区别，二进制数常用下标“2”或在数字的后面加上一个英文字母“B”来表示，如（10）₂或10B。

2．R进制转换成十进制

十进制展开方法：（256.47）₁₀＝2×10²＋5×10¹＋6×10⁰＋4×10^-1＋7×10^-2

二进制数若转换成十进制数，可以参考十进制数的展开，从小数点向左依次为1（2⁰）、2（2¹）、4（2²）、8（2³）、16（2⁴）、32（2⁵）、64（2⁶）、128（2⁷）、256（2⁸）、512（2⁹）、1024（2¹⁰）……从小数点向右依次为0.5（2^-1）、0.25（2^-2）、0.125（2^-3）……。例如，

如果数制只采用R个基本符号，则成为基R进制，R称为数制的基数，而数制中每一个固定位置对应的单位值为权。如十进制的基数R等于10，而10¹、10²、10³……就是十进制的权，同样二进制的基数R等于2，而2⁰、2¹、2²……就是二进制的权。

基数为R的数字，只要将各位数字与它的权相乘，其积相加，和数就是十进制数。如八进制数：

（3506.2）₈＝3×8³＋5×8²＋0×8¹＋6×8⁰＋2×8^-1＝1862.25

从上面几个例子可以看出，当从R进制转换到十进制时，可以把小数点作为起点，分别向左、右两边进行，即对其整数部分和小数部分分别转换。对于二进制来说，只要把数位是1的那些位的权值相加，其和就是等效的十进制数。因此，二、十转换是最简便的，也是最常用的一种。

3．十进制转换成R进制

将十进制数转换为基数为R的等效表示时，可将此数分成整数与小数两部分分别转换，然后再拼接起来即可实现。

十进制整数转换成R进制的整数，可用十进制数连续地除以R，其余数即为R进制的各位系数。此方法称之除R取余法。

例如，将（57）₁₀转换为二进制数

57÷2＝28……1

28÷2＝14……0

14÷2＝7……0

7÷2＝3……1

3÷2＝1……1

1÷2＝0……1

最后得到的余数1是最高位，最早得到的余数是整数最低位，所以（57）₁₀＝（111001）₂。

十进制小数转换成R进制时，可连续地乘以R，直到小数部分为0，或达到所要求的精度为止（小数部分可能永不为零），得到的整数即组成R进制的小数部分，此法称为“乘R取整”。

例如，将（0.3125）₁₀转换成二进制数。

0.3125×2＝0.625……整数部分为0

0.625×2＝1.25……整数部分为1

0.25×2＝0.5……整数部分为0

0.5×2＝1.0……整数部分为1

第一次得到的整数部分数值是小数点后第一位，后面得到的依次往后排，所以（0.3125）₁₀＝（0.0101）₂

要注意的是，十进制小数常常不能准确地换算为等值的二进制小数（或其他R进制数），有换算误差存在。

例如，将（0.5627）₁₀转换成二进制数。

0.5627×2＝1.1254……其中整数部分为1

0.1254×2＝0.2508……其中整数部分为0

0.2508×2＝0.5016……其中整数部分为0

0.5016×2＝1.0032……其中整数部分为1

0.0032×2＝0.0064……其中整数部分为0

0.0064×2＝0.0128……其中整数部分为0

此过程会不断进行下去（小数位达不到0），因此只能取到一定精度：（0.5627）₁₀＝（0.100100）₂。

若将十进制数57.3125转换成二进制数，可分别进行整数部分和小数部分的转换，然后再拼在一起：（57.3125）₁₀＝（111001.0101）₂。

4．二、八、十六进制的相互转换

十六进制数是以16为基数的计数制，数码有0、1、2、……9、A、B、C、D、E、F共16个，这里，A、B、C、D、E、F分别对应于十进制数中的10、11、12、13、14、15。十六进制数在运算时是“逢十六进一、借一当十六”。十六进制数的各位值转换成十进制数时，基数R为16，即1（16⁰）、16（16¹）、256（16²）、4096（16³）……

例如，（3AB）₁₆＝3×16²＋A×16¹＋B×16⁰＝3×256＋10×16＋11×1＝（939）₁₀。

二、八、十六进制的相互转换在应用中占有重要的地位。由于这三种数制的权之间有内在的联系，即2³＝8，2⁴＝16，因而它们之间的转换比较容易，即每位八进制数相当于三位二进制数，每位十六进制数相当于四位二进制数。在转换时，位组划分是以小数点为中心向左、右两边延伸，中间的0不能省略，两头不够时可以补0。

【例2-1】将（1011010.10）₂转换成八进制和十六进制。

001　　011　　010.　　100

　1　　　3　　　2.　　　4

所以（1011010.10）₂＝（132.4）₈。

0101　1010.　1000

　5　　　A.　　8

所以（1011010.10）₂＝（5A.8）₁₆。

【例2-2】要将（F7.28）₁₆变为二进制数。

F　　　7.　　　　2　　　8

1111　0111.　　0010　1000

所以（F7.28）₁₆＝（11110111.00101）₂。

【例3-3】要将八进制数25.63转换为二进制数。

2　　5.　　6　　3

10　101.　110　011

所以（25.63）₈＝（10101.110011）₂。

5．数字间的逻辑运算

二进制数的逻辑运算按位进行，逻辑加法（或运算）通常用符号“＋”或“∨”表示，规则为0∨0＝0，0∨1＝1，1∨0＝1，1∨1＝1。当逻辑变量有一个为1，或两个都为1，其逻辑加的结果为1；只有逻辑变量同时为0时，结果才为0。

逻辑乘法（与运算）通常用符号“*”或“∧”或“·”表示，规则为0∧0＝0，0∧1＝0，1∧0＝0，1∧1＝1。逻辑乘法有“与”的意义，它表示仅当A和B同时为1时，其逻辑乘积才为1，其他情况都为0。

逻辑非运算通常用符号“┐”表示，它是单目运算符，只对一个数值进行求反操作，比如┐0＝1，┐1＝0。

还有等价、异或、同或等逻辑运算，读者有兴趣可查阅相关资料。