信息表示方式

1.1.2　信息表示方式

电脑是处理信息的工具，而信息既包括数字这样的数值信息，也包括文字符号、图像、声音等非数值信息。一切信息在电脑内部的存放、传输、处理均采用二进制数的形式，所以二进制是电脑中信息表示及处理的基础。

1．进位计数制和二进制

计数方法有多种，在日常生活中我们最常见的是国际上通用的计数方法——十进制计数法。除了十进制外，还有其他计数制，如一天24小时，称为24进制，1小时60分钟，称为60进制，这些统称为进位计数制。在电脑中使用的是二进制。

进位计数制有两个基本要素：基数和位权。

基数是一种进位计数制所使用的数码状态的个数。如十进制是根据“逢十进一”的原则进行计数的，则它的数值是由数码0，1，2，…，8，9来表示的，所以十进制计数制的基数为10。二进制是根据“逢二进一”的原则计数的，它的数值由数码0和1来表示，所以其基数为2。

同样道理，八进制用数码0，1，2，…，7表示，基数为8。十六进制由0，1，2，…，8，9，A，B，C，D，E，F表示，其中A表示十进制数10，B表示十进制数11，依此类推，F表示十进制数15，所以它的基数为16。一般，K进制数有K个数字，所以基数为K，最大数码为K-1。

位权表示一个数码所在的位。数码所处的位不同代表数的大小也不同。如十进制数从右面起第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，…。“个，十，百，千…”就是十进制的“位权”。每一位数码与该位“位权”的乘积表示该位数值的大小。

对于任何一种进位计数制的数字，我们都可以用一个表达式对其进行表示，这个式子如下：

　　S=K_n-1P^n-1+K_n-2P^n-2+K₁P¹+ K₀P⁰+ K_-1P^-1+…+K_-mP^-m

其中：S表示任一数；i表示数的某一位，K_i为第i位的数码；P表示该进位计数制的基数，Pⁱ代表第i位的位权；n为小数点左边位数；m为小数点右边位数，这个式子又叫做进位计数制的按权展开式。例如：

十进制数197.96可表示为：

　　(197.96)₁₀ = 1×10² + 9×10¹ + 7×10⁰ + 9×10^-1 + 6×10^-2

二进制数1101可表示为：

　　(1101)₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰

2．不同进位计数制间的转换

虽然在电脑内部是使用二进制进行工作，但对于用户来说，由于二进制位数过长，读写也比较困难，使用起来很不方便。因此，人们通常用八进制和十六进制作为二进制的缩写方式。这就存在一个不同进制数之间的转换问题。转换的原则是：将整数部分和小数部分分别转换，然后用小数点连接。

（1）二进制数转换为十进制数

将二进制数转换为十进制数一般采用按权展开求和法，即将二进制数写成按权展开形式，再把各项求和，得到十进制数。

例如：求(1101.101)₂的等值十进制数。

　(1101.101)₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2^-1 + 0×2^-2 + 1×2^-3

　　　　　= 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125

　　　　　= (13.625)₁₀

（2）十进制数转换为二进制数

整数转换采用除2取余法：用2多次除被转换的十进制整数，在每次相除之后，若余数为1，则对应的二进制位为1；若余数为0，则对应的二进制位为0。首次除法得到的余数为二进制数的最低位。最后一次除法得到的余数为二进制数的最高位。从低位到高位逐次进行，直到商为0为止。

小数部分的转换采用乘2取整法：即用2多次乘被转换的十进制整数，每次相乘后，所得乘积的整数部分为对应的二进制位的数。第一次乘积所得整数部分就是二进制数小数部分的最高低，其次为次高位，最后一次是最低位。

例如：把(13.625)₁₀转换为二进制数。

第一步：用除2取余法进行整数部分转换。

所以 (13)₁₀ = (1101)₂

第二步：用乘2取整法进行小数部分转换。

　　0.625×2 = 1.250……1

　　0.250×2 = 0.500……0

　　0.500×2 = 1.000……1

所以(0.625)₁₀ = (0.101)₂

得出(13.625)₁₀ = (1101.101)₂

需要注意的是，在进行小数转换时，有些十进制小数不能转换为有限位的二进制小数，则只有用近似值表示。

例如：(0.57)₁₀不能用有限位二进制表示，如果求6位小数近似值，则得

　　(0.57)₁₀ ≈(0.100100)₂

（3）二进制数与八进制数、十六进制数的相互转换

由于2³ = 8，所以每三位二进制数恰好对应一位八进制数。

把二进制数转换为八进制数时，只需将整数部分自右向左和小数部分自左向右每三位为一组分配，若不足三位时用0补齐，然后将每三位二进制数转换为一位八进制数，即可完成转换。

例如：把(1101001.1011)₂转换为八进制数。

　　(1101001.1011)₂ = (001) (101) (001) . (101) (100) = (151.54)₈

把八进制数转换为二进制数时，只需把每位八进制数用对应的三位二进制数表示即可。

二进制和十六进制数的转换与二进制数和八进制数的转换相似，只是由于2⁴ = 16，所以按四位进行分组。

例如：把(5D.7A4)₁₆转换为二进制数。

　　(5D.7A4)₁₆ = (0101) (1101).(0111) (1010) (0100)

　　　　　　　= (1011101.0111101001)₂

3．计算机中数的表示

在普通数字中，用“+”或“-”符号加在数的绝对值之前来区分数的正负。在计算机中如何表示有符号数呢？

在计算机中有符号数包含三种表示方法：原码、反码和补码。

（1）原码表示法

用机器数的最高位代表符号位，其余各位是数的绝对值。符号位若为0，则表示正数，若为1，则表示负数。

例如：X = +1001010　　　　　　　　　Y = -1001010

则　[X]_原= 01001010　　　　　　　　 [Y]_原= 11001010

（2）反码表示法

正数的反码和原码相同，负数的反码是对原码除符号位外各位取反。

例如：[X]_反= 01001010　　　　　　　 [Y]_反= 10110101

（3）补码表示法

正数的补码和原码相同，负数的补码是该数的反码加1。

例如：[X]_补= 01001010　　　　　　　 [Y]_补= 10110110

需要说明的是：引入补码的概念后，加减法运算都可以用加法来实现。而且符号位也和数字一样对待，且两数的补码之“和”等于两数“和”的补码。这为加减法运算带来很多方便。另外，计算机中的“乘”、“除”也可以转换成“加”、“减”进行运算。所以，在计算机中只设计一个简单的加法器就可以执行各种算术运算，从而大大简化了电路设计。因此，在近代计算机中，“加”、“减”多采用补码运算。

4．计算机中的字符编码

目前在微机中最普遍采用的字符编码是ASCII码，即美国标准信息交换码。它是用七位二进制数进行编码的，可以表示128个字符，其中包括0～9十个数码，以及大小写英文字母和一些其他字符，如字母“A”的ASCII码为“1100001”，“！”的ASCII码为“1000001”。

实际上，一个字符的ASCII码占8个二进制位，即一个字节，最高位用作奇偶检验位。