数值信息的表示

1．5．3　数值信息的表示

计算机中的数值信息分为整数和实数两大类，表示方法也有很大的区别。

1）整数

整数不带有小数点，或者说其小数点始终隐含在个位数的后面，故也称之为“定点数”（fixed point integer）。计算机中的整数又可以分为正整数（unsigned integer，即不带符号的整数）和整数（signed integer，即带符号的整数）两类，它们可以用8位、16位、32位甚至更多位数来表示。

8个二进制位表示的正整数的取值范围是0～255（2⁸－1），16个二进制位表示的正整数的取值范围是0～65 535（2¹⁶－1），32个二进制位表示的正整数的取值范围是0～4 294 967 296（2³²－1）。

而带符号的整数必须使用一个二进位来作为符号位，一般总是使用最高位（即最左边的一位），使用“0”表示“＋”（正数），使用“1”表示“－”（负数）。例如，使用8个二进制位表示整数＋56和－56分别如下：

（＋56）₁₀＝（00111000）₂　　　　　　（－56）₁₀＝（10111000）₂

由此可见，8个二进制位表示的整数的取值范围是－127～＋127（－2⁷＋1～＋2⁷－1），16个二进制位表示的整数的取值范围是－32 767～＋32 767（－2¹⁵＋1～＋2¹⁵－1），若使用n个二进制位表示整数，则其取值范围是－2^n－1＋1～＋2^n－1－1。

上面介绍的表示方法称为“原码”表示法，使用统一加减运算规则，方便计算机运算，但数值为负的整数在计算机内部实际上是采用“补码”来表示的。

负整数补码求解的步骤为：先将负整数转换成“原码”的形式，最高位即符号位肯定为“1”，将绝对值的每一位取反，得到称为“反码”的表示形式，最后将“反码”的最低位（末位）加“1”，即可得到“补码”的表示形式。例如，

（－56）_原＝1011，1000

（－56）_反＝1100，0111

（－56）_补＝1100，1000

由于二进制编码的位数较多，故采用每4位用“逗号”隔开的书写格式。

注意，只有负整数才需要通过上面的步骤计算“补码”，而正整数的“反码”和“补码”与“原码”相同。

下面以8个二进制位表示一个整数为例，考察两个非常有趣的数字“0”和“－128”。若将“0”分别看作“＋0”和“－0”，则它们的“原码”和“补码”的表示形式如下：

（＋0）_原＝0000，0000　　　　（－0）_原＝1000，0000

（＋0）_补＝0000，0000　　　　（－0）_补＝0000，0000

可见，当“0”采用“原码”的表示形式时，“0”有两个编码，而采用“补码”来表示后，“＋0”和“－0”的编码统一成了“0000，0000”。

下面考察数字“－128”。可以求得“－128”的绝对值是“1000，0000”，显然使用8个二进制位已无法表示。在此，暂“借”1位即使用9个二进制位来表示，最高位仍为符号位，如下：

（－128）_原＝1，1000，0000

（－128）_反＝1，0111，1111

（－128）_补＝1，1000，0000

最后将“借”得的1位“归还”，可得（－128）_补＝1000，0000。这种情况称为“溢出”。引入“补码”后，8个二进制位表示的整数的取值范围扩大成－128～＋127（－2⁷～＋2⁷－1），16个二进制位表示的整数的取值范围扩大成－32 768～＋32 767（－2¹⁵～＋2¹⁵－1），n个二进制位表示的整数的取值范围是－2^n－1～＋2^n－1－1。n位二进制补码可表示的个数要比n位原码多一个（即补码“1000．．．00”被用来表示整数－2^n－1）。

2）实数

实数通常带有小数点，整数和纯小数都是实数的特例。由于实数的小数点的位置不确定，故也称之为“浮点数”（floating point integer）。

任意一个十进制实数都可以看成是一个10的幂次和一个十进制纯小数之积。例如：

309．46＝10³×（0．30946）

－0．001784＝10^－2×（－0．1784）

同理，任意一个二进制实数也可以看成是一个2的幂次和一个二进制纯小数之积。注意，2的幂次也同样是用二进制表示的。例如：

11010．101＝2¹⁰¹×（0．11010101）

－0．0001011＝2^－11×（－0．1011）

由此可以看出，任意一个二进制实数在计算机内部都可以表达成指数（称为“阶码”）和纯小数（称为“尾数”）两部分。

由于阶码可采用原码、补码等不同的编码，尾数的格式及小数点的位置的规定也各不相同，故早期不同计算机对浮点数的表示方法互不兼容。为此，美国电气与电子工程师协会（IEEE）制订了相关的工业标准，现已被绝大多数处理器所采用。