二元一次方程组及其解法（复习课）

◎课例31：二元一次方程组及其解法（复习课）

|　课堂撷段　|

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师：同学们，今天这节课，我们一起来复习二元一次方程组及其解法这一章的内容。昨天我让大家把二元一次方程组这部分知识进行归类、整理。现在哪位同学把你对这部分知识归类整理的情况给大家展示一下。

生1：我是按教材的编写顺序整理的。

师：不错，哪位同学还有不同的整理方法？

生2：我是从二元一次方程组的整体结构进行整理的，我分为四部分：

1．二元一次方程（组）的有关概念。

2．二元一次方程组的解法有加减消元法、代入消元法、图像法三种。

3．二元一次方程组与一次函数之间的关系。一个二元一次方程的图像是一条直线。因此，二元一次方程组解的情况就可由平面上方程组对应的两条直线的位置关系确定。两条直线平行时方程组无解；两条直线相交时方程组有一个解；两条直线重合时，方程组有无穷多组解。反过来也成立。

4．二元一次方程组的应用：求待定字母的值；解应用问题等。

师：两位同学从不同的角度对本章知识进行了归类整理，都很不错。

师：第一位同学是按教材的顺序进行整理的，这对于初学整理的同学也是一种常用的方法，但是第二位同学的整理把握住了这章知识的整体结构，她对每一种情况还举例给予了说明，理解得更加深刻。

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【课中赏析】

先由学生自己对该部分知识进行归纳总结，在课堂上展示后再通过师生的共同评价修正，从而帮助学生建立整体性的认知机制，学生的主动性和积极性得到了充分的发挥，比只由教师总结讲解学得更主动，理解也更深刻。

师：现在我们来看下面这个例子。

例：解由方程（x+y）/2+（x-y）/3=7，（x+y）/2-（x-y）/3=3联立的方程组，大家先自己求解，要求尽量用多种解法，得出解答后先在学习小组内交流，比较哪种解法好，然后各组推出最好的解法在全班交流。

（学生解题，小组内交流、讨论，教师巡视、指导。）

师：我看大家都已得出了该题的解答，有些组还得出了老师都还未想到的好解法，现在请各组展示你们的优秀成果。要求在展示时要与别人的解法不相同。

生3：先用去分母把方程组化简整理后用加减消元法求解。

生4：化简整理后用的是代入消元法求解。

生5：换元法，令x+y=m，x-y=n，然后求解。

生6：我们没有换元，而是把（x+y）/2和（x-y）/3看成一个整体，通过心算就可得到（x+y）/2=5，（x-y）/3=2。由此得x+y=10，x-y=6，再通过心算即得方程组的解。

（全班自发地鼓掌）

师：太棒了！还有没有其他解法？

（学生都积极思考。）

生7：把原方程组化简后用图像法解。

生8：换元后用图像法解。

师：同学们的解法都很好，把老师想要讲的都说了。现在大家对四个组得出的四种不同解法进行一个评价，看哪个组的解法最好。

【课中赏析】

生8的发言显然是受到了生7的启发。学生之间的相互交流、讨论，激发思维的灵感、创造的火花。把评价纳入学生的学习过程之中，用评价来激发学生的学习兴趣，从而使评价成为促进学生主动学习的一部分。同时通过对几种不同解法优劣的比较和鉴别，可培养学生思维的批判性和养成解题后反思的良好习惯。

生8：我认为，一组和三组的解法很好，因为，这是解二元一次方程组的常用方法。我们组也都是用的这两种解法。

生9：我认为，四组的解法更好。虽然一组和三组的解法是常用的解法，但计算较繁。四组的解法通过换元，使形式更简单了，便于计算，且不易出错。

生10：虽然换元后形式要简单一些，但要解两次方程组，增加了解方程组的次数，并不一定就简单！

生6：我认为，我们组的解法最简单、最好。我们在解该题时，根据该题的特点，利用了换元的想法但没有换元，而是把（x+y）/2和（x-y）/3看成一个整体进行求解，整个解的过程基本上没有动笔就得出了答案，并且不易出错。

生5：我也认为二组的解法比我们组的好。

生11：我赞同生6的意见。我还想说一点，本题除了最好的解法以外，我认为，用图像法解是本题最不好的解法。因为，当你画好图像时，我已经解出答案了。用图像法解不但费时，而且如果画的图像不准确，那么得出的解也只是一个近似解而不是准确值。

师：同学们分析得很好。通过比较、分析，大家是否都认为第二组的解法最好？

全体学生：第二组的解法最好。

师：我赞同大家的意见。其实，各组的解法有各自的特点，他们分别从不同的角度进行思考。第二组同学的解法是在认真审题、仔细观察题目特征的基础上，运用了两种数学思想方法从而快速、准确地得出了问题的解答。这两种数学思想方法是“换元的思想”和“整体的思想”。第二组同学的解答给我们一个很好的启示：在解题时，一定要认真审题，仔细观察题目的特征，灵活选用解题的方法，并恰当地运用数学思想方法来指导解题。若长期这样进行下去，可形成良好的数学思维策略，迅速提高解题能力。

【课后随笔】

数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括。利用数学思想方法来指导学生学习和解题，往往能提高学生的数学学习效率，达到事半功倍的效果。但数学思想方法不是游离于数学知识之外的，而是渗透在数学知识的发生、发展和运用的过程之中的。这就要求教师要有目的地及时总结提炼，将数学思想方法的学习有机地融入学生的数学学习过程之中。教师原先的设计只是想通过比较评出最优秀的解法，而学生不但评出了最优解法，而且对每种解法的优劣还进行了相互比较评价，完全超出了教师的设想。实际上学生的评价才是全面、公正和最有价值的。课例中，教师把自己置于一个参与者的身份，参与学生的讨论，并将学生讨论中出现的数学思想方法及时地进行总结提炼，使学生认识到数学思想方法在数学学习中的重要价值和作用，从而将数学思想方法的学习有机地渗透其中，使整个讨论和学生的认知水平上升到一个新的高度。