关系及其表示

定义4．1 由n个具有给定次序的个体a1，a2，…，an组成的序列，叫作有序n元组，记作（a1，a2，…，an）。其中ai（i＝1，2，…，n）叫作该有序n元组的第i个坐标。

定义4．2 设（a1，a2，…，an）和（b1，b2，…，bn）两个有序n元组，如果ai＝bi（i＝1，2，…， n），则称这两个有序n元组相等，记为（a1，a2，…，an）＝（b1，b2，…，bn）。

定义4．3 设A1，A2，…，An是任意集合，则称集合

｛（a1，a2，…，an）｜ai∈Ai，i＝1，2，…，n｝

为集合A1，A2，…，An的笛卡尔积，记为A1×A2×…×An。

定理4．1 设A，B为任意两个有限集，则：

｜A×B｜＝｜A｜·｜B｜

推论4．1 设A1，A2，…，An为任意n个有限集，则：

｜A1×A2×…×An｜＝｜A1｜·｜A2｜·…·｜An｜

定理4．2 设A，B，C，D为任意四个非空集合，则：

（1）A×B⊆C×D当且仅当A⊆C，B⊆D；

（2）A×B＝C×D当且仅当A＝C，B＝D。

定理4．3 设A，B，C为任意三个集合，则：

（1）A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）

（2）（A∪B）×C＝（A×C）∪（B×C）

（3）A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C）

（4）（A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）

（5）A×（B－C）＝（A×B）－（A×C）

（6）（A－B）×C＝（A×C）－（B×C）

定义4．4 设n∈Z＋，A1，A2，…，An为任意n个集合，ρ⊆A1×A2×…×An，则：

（1）称ρ为A1，A2，…，An间的n元关系；

（2）若n＝2，则称ρ为从A1到A2的二元关系；

（3）若ρ＝∅，则称ρ为空关系；

（4）若ρ＝A1×A2×…×An，则称ρ为普遍关系；

（5）若A1＝A2＝…＝An＝A，则称ρ为A上的n元关系；

（6）若ρ＝｛（x，x）｜x∈A｝，则称ρ为A上的恒等关系。

若ρ是由A到B的一个关系，且（a，b）∈ρ，则a对b有关系ρ，记作aρb。

定义4．5 设ρ是从集合A到B的关系，令

domρ＝｛x｜x∈A且有y∈B使（x，y）∈ρ｝

ranρ＝｛y｜y∈B且有x∈A使（x，y）∈ρ｝

则称domρ为ρ的定义域；ranρ为ρ的值域。

从定义可以看出，ρ的定义域实际上是由ρ中所有序偶的第一坐标构成的集合，ρ的值域是由ρ中所有序偶的第二坐标构成的集合。

定义4．6 设m，n∈Z＋，A＝｛x1，x2，…，xm｝，B＝｛y1，y2，…，yn｝，ρ是从A到B的关系，令

定义4．7 设A和B是任意的非空有限集，ρ是一个从A到B的关系，以A∪B中的每个元素为一个结点，对每个（x，y）∈ρ，画一条从x到y的有向边，得到一个有向图Gρ，称其为ρ的关系图。