故障树的结构函数

6.5.1 故障树的结构函数的定义

考察一个由n个单元组成的系统S的故障树。通常，人们取系统故障为故障树的顶事件，记作T。取各单元的故障为底事件，记作xi（i=1，2，…，n）。若故障树具有如下性质：

（1）顶事件和底事件都有只有发生和不发生两种状态。

（2）顶事件发生与否完全由底事件的状态及故障树的结构所决定。

则可用一个二值变量xi（t）来描述该故障树底事件状态：

顶事件的状态可以用下述函数来描述：

ψ[X（t）]=ψ[x1（t），x2（t），…，xn（t）]（6-6）

式中：X是n维向量，X=（x1，x2，…，xn），ψ（X）是n维向量X的二值函数，且

ψ[X（t）]就是故障树的结构函数。

6.5.2 故障树的割集与最小割集

故障树割集，指的是故障树底事件集合中满足下列条件的子集：

设该子集为{xi1，xi2，…，xil|i=1，2，…k}；{xi1，xi2，…，xil}⊆{x1，x2，…，xr}。当xi1=xi2=…=xil=1时，ψ（X）=1，即该子集中所包含的全部底事件都发生时，顶事件T必然发生，则这样的子集即为故障树的割集，k为割集数。

故障树最小割集，指的是满足下述条件的割集：

若将此割集中所包含的底事件去掉任何一个，都将使原割集不再成为割集，则这样的割集即是最小割集，记作Mk（X）。

6.5.3 最小割集与故障树结构函数的关系

图6-38 与门组成的故障树

在讨论故障结构函数与最小割集的关系时，首先讨论单独由与门组成的故障树和单独由或门组成的故障树。

1）由与门组成的故障树的结构函数

考虑如图6- 38所示的故障树，其顶事件发生的条件是，仅当所有底事件xi（t）（i=1，2，…，n）同时发生。

则该故障树的结构函数为

假设所有底事件相互独立，令Qs（t）为顶事件在t时刻发生的概率，则有

2）由或门组成的故障树的结构函数

考虑如图6- 39所示的故障树，其顶事件发生的条件是，仅当所有底事件xi（t）（i=1，2，…，n）至少有一个发生。

则该故障树的结构函数为：

图6-39 或门组成的故障树

假设所有底事件相互独立，令Qs（t）为顶事件在t时刻发生的概率，则有：

6.5.4 相当故障树

对于一般的故障树模型，经过一定的逻辑转换，可以转化为由最小割集组成的两级故障树模型，把这种故障树定义为相当故障树，如图6-40所示。

图6-40 相当故障树

考虑一个具有K个最小割集（M1（X），M2（X）…Mk（X））的故障树。从最小割集的物理意义来看，至少有一个最小割集发生，则顶事件就发生；一个最小割集发生的原因是因为该割集内部所有事件都发生，即每个单元都同时失效。

因此，用最小割集表示的故障树（即相当故障树）的结构函数为：