单个理想小晶体散射强度

理想小晶体实质是有限尺寸的单晶体。在讨论晶胞散射的基础上，下面将推导理想小晶体的散射强度公式。这里，引入了两个重要的概念，即干涉函数和衍射畴。

9.2.1 干涉函数

理想小晶体是由有限个晶胞在三维方向上规律地重复排列而成的。每个晶胞看成是一个散射源，小晶体的散射振幅Ab是各晶胞散射振幅Ac=AeF的叠加，得到

式中，N1，N2及N3分别是晶体在a，b及c方向的晶胞数，m，n及p分别是三方向的晶胞坐标，mnp为（m，n，p）坐标的晶胞与原点晶胞散射波之间的位相差，显然

将上式代入式（9-12），得到小晶体散射振幅Ab与一个电子散射振幅Ae的关系，即

小晶体散射强度Ib与一个电子散射强度Ic之间的关系为

式中，｜G（ghkl）｜2称为干涉函数，由指数函数的性质可得到

由于N1，N2，N3和h，k，l均为整数，则式（9-17）属于0／0型的极限函数，用洛比达法则求解，得到｜G（ghkl）｜2=（N1）2（N2）2（N3）2=N2，式中N=N1N2N3为晶体中的总晶胞数。

在严格符合布拉格方程的方向时，理想小晶体（hkl）晶面的最大散射强度为

Ib=Ie｜Fhkl｜2N2（9-18）

如果散射方向与布拉格方程发生微小偏离，例如h发生微小偏离ε1，而k和l不发生偏离，仍为整数，则式（9-17）变为

式（9-19）表明，当ε1=0时干涉函数即衍射强度为最大。在稍偏离布拉格角方向（ε1≠0）时，干涉函数并不立即为零，只有当ε1=±1／N1，±2／N1，…时干涉函数才为零，即强度消失。同理，其他方向，当ε2=±1／N2，±2／N2，…和ε3=±1／N3，±2／N3，…时强度也消失。

图9-5示出了干涉函数随ε的变化情况。从图中可见，除了布拉格角上的主峰外，还存在一系列干涉函数的副峰，但由于这些副峰强度极低，常规X射线衍射是不易发现的。在主峰周围形成一定的ε值范围，即-1／N≤ε≤1／N，当晶胞数量N无限大时这个范围为零，此时散射强度都集中在布拉格角上。

图9-5 干涉函数

9.2.2 衍射畴

根据以上讨论，当理想小晶体沿三个晶轴的晶胞数N1，N2或N3减小到一定的程度时，则在每个晶面倒易阵点附近存在一个干涉函数不为零（｜G（ghkl）｜2≠0）的区域。在此情况下，倒易阵点由一个几何点扩大至倒易空间的一个范围，只要反射球与之相交即发生衍射现象，故该区域被称为衍射畴。（hkl）晶面在倒易空间中衍射畴的大小和形状，是由干涉函数分布状态所决定的，它与晶体形状及尺寸成倒易关系。

图9-6为各种形状晶体所对应的衍射畴形状。当晶体各个方向尺寸都很大即N1，N2及N3都很大时，则衍射畴在三维方向上都很小，直至缩小为倒易空间中的几何点。当晶体各个方向尺寸都很小即N1，N2及N3都很小时，倒易阵点漫散成为较大的衍射畴。当N1及N2很大而N3很小（薄片状晶体）时，衍射畴为沿N3方向伸长的棒状即倒易杆。当N3很大而N1及N2很小（晶体为针状）时，则衍射畴为沿N1及N2方向伸展的片状。

严格地讲，晶体的N1，N2及N3都不是无穷大或无穷小，它们的倒易空间总是由一个个取决于晶体形状及尺寸的衍射畴构成，只要衍射畴与反射球相交即发生衍射，只不过在偏离布拉格角的情况下，其衍射强度远低于主峰最高强度罢了。

图9-6 衍 射 畴