动态系统的研究内容

控制系统的设计任务是将开环系统转换成闭环系统，通过系统建模进行系统表达，完成系统性能分析，并通过校正提高系统性能。

自动控制的本质是负反馈的闭环控制。负反馈的检偏纠偏过程是一个动态过程，整个控制系统便成为一个动态系统。因此控制原理、自动控制等各类名称的课程、技术都是指对动态系统的分析以及对动态系统的控制。

动态系统含有随时间变化的量，即存在某阶导数不为零的变量，因此动态系统首先可以以微分方程或微分方程组的方式呈现。当对微分方程引入多级微分变量定义，可形成以一阶微分方程组形式的状态空间表达。对于线性定常系统，通过拉氏变换和傅里叶变换可以将微分算子转变为代数算子，形成传递函数、频率特性的表达。

如图1-6所示的机械平移系统，忽略摩擦力，由牛顿第二定理可知由力f（t）引起的位移x（t）

图1-6 机械平移系统

式中：M为质量；K为弹簧系数；B为阻尼器系数。

按输入输出分列等号两边可得到二阶的微分动力学方程

取y1＝x、y2＝则有一阶微分方程组

零初始条件下对式（11）进行拉氏变换，取X、F为x、f的拉氏变换，得到代数方程

Ms2X＋Bs X＋KX＝F

由传递函数的定义得到

以s＝jω代入式（14）则得到频率特性

并由此确定此动态系统的固有频率

式（11）、式（12）、式（13）和式（14）都是图1-6中的机械平移系统的数学模型。

当系统的动态过程以微分方程的形式表达后，不同领域如电气电路、机械平动、机械转动成为具有相同微分方程表达的系统，其动态变化过程是相同的，其后续的分析和处理便可以脱离具体学科领域的限制，这些系统即相似系统。同理相同的传递函数、频率特性、状态空间表达式也表示相似系统的相同系统性能。

系统性能包括系统的稳定性、精度、反应时间、鲁棒性（抗干扰）。自动控制系统的基本要求有：

（1）系统始终稳定，且稳定性与外界无关。

（2）控制输入（即要求达到的量值或变化规律）发生变化时，系统输出会跟踪其变化。

（3）系统输出能尽量避免外部干扰输入的影响。

（4）系统本身模型不完全精确或系统自身参数随时间或环境变化时，依然能达到前3条。

其中系统稳定是系统正常工作的基础。通过负反馈可以提高系统的稳定，改变响应特性，增强对外部干扰和内部不确定性的鲁棒性。一个倒置的单摆是不稳定的，但通过施加控制则可能成为一个稳定的系统。当然如果设计或处理不合理，反而会引起不稳定，如平衡／前庭异常的人员，行走中的视觉反馈往往使他们摔倒，而一旦蒙上眼睛，却不会摔倒。

在性能研究分析中采用典型测试信号以进行性能参数的对比，测试信号常采用工程中常见的正弦、阶跃、脉冲、斜坡、抛物线信号形式。

时域方法用微分方程和传递函数来描述系统，能够在时域和s域分析动态系统的性能。但对于比较复杂的系统，如微分方程的阶数越高工作量也就越大；当方程已经解出而系统的响应不能满足技术要求时，不容易看出和决定如何调整系统结构、参数来获得预期结果。从动态系统的校正角度，无论是实践应用还是理论研究，都希望能够不求解微分方程就得出系统的性能，并给出如何调整以达到性能指标。

动态系统分析或者说控制理论的发展已历经一个多世纪，已有多种方法及理论在各个领域被提出、发展，各有特点。本书将分别就基于传递函数、根轨迹、频率特性、状态空间进行系统性能分析和校正进行展开。其他更多的方法和理论将在高级课程中涉及。

频域特性从其定义上看为正弦信号输入时系统的稳态响应，但其图形表达，即Bode图、Nyquist图能很好地表达系统性能，特别是各个环节的作用，因此动态系统的校正常常在频域进行。

根轨迹法在s域将系统的设计参数与性能建立联系，从而为性能的提高提供方向。

状态空间更多地反映时域特性，扩大后的状态空间提供了进行系统极点配置的可能，是当代控制中使用较多的方法。

上述方法有些具有一定的时代特点，各种问题的提出来源于各个时期的应用需求，与工程界需求的发展密不可分。而数学、计算机科学的发展则极大地推动动态系统分析和校正的各个方面。本书建模、分析、校正过程将用到微分运算、拉普拉斯变换、傅里叶变换、矩阵运算等数学工具，其基本知识、定理、规则请参看相应数学书籍。本书正文中将采用MATLAB作为计算机软件工具，附录Ⅳ是它的入门知识及本书用到的函数的简介，更详细的内容请参考专门的MATLAB书籍或软件帮助。