基尔霍夫热辐射定律与爱因斯坦辐射跃迁理论之理解

物理规律往往需要从多个角度去理解，每次理解的深度可能不同。例如傅里叶变换就可以理解为波粒二象性的数学体现。

有一年我出博士生入学考题，其中有一个题目是：试从物理学角度解释为什么北极熊的皮毛是白色的。

对于这个问题，绝大多数考生是从生存竞争的角度来解释的，说白色是冰天雪地中的自然保护色，但这没有涉及物理，不合题意。此题的正确答案应用到基尔霍夫定律（基尔霍夫热辐射定律），由德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫于1859年提出。它用于描述物体的辐射率与吸收比之间的关系。在同样的温度下，各种不同物体对相同波长的单色辐射出射度与单色吸收比之比值都相等，并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐射出射度。按照此定律，吸收本领差的白色其辐射本领也差，便于北极熊度过严寒漫长的冬天，不至于很快就把体能辐射出去。

基尔霍夫定律是在化学家本生的实验基础上提出的，实验表明火焰光谱中的基尔霍夫吸收线和太阳光谱的相重合，所以能辐射某条光谱线的物质对此条谱线的光吸收本领强。

一个物体的辐射本领和吸收本领的内在联系是什么呢？单凭实验观测已经很难得出正确的结论。基尔霍夫曾用思维性的实验（Gedankenexperiment）来推导其理论。

设C是一个无限平面型物体，它只能辐射和吸收波长为λ的射线，在其对面有一个能辐射和吸收一切波长的同形物体C′，两物体外表面各装上完美的镜面R和r。对于波长λ而言，设E（Emission）、A（Absorption）分别为C的辐射本领和吸收本领，e、a则为C′对应的量。如该系统构成一个恒温系统，在C和C′之间发生的辐射和吸收，使恒温体仍保持不变。于是基尔霍夫从热动平衡过程，计算了C和C′之间发生的无数次辐射和吸收，数学上用到了等比级数的求和，最后导出了属于他的定理。

以下我们简化基尔霍夫的理论推导，我们只用C和C′之间的一次辐射和吸收来推导。

我们隔离C′考虑。

C′的吸收分为两部分：一是来自C，所以仅与E有关，第一次吸收为aE；二是来自C′的自辐射再自吸收，由于C′本身还要辐射波长为λ的射线（仅为全部辐射的一部分），这一部分射线也能为C吸收，其吸收量为Ae。而剩余的e(1－A)被镜面R反射［即把第一种情形的E换为(1－A)e］，C′将由此吸收能量a(1－A)e，可见这部分能量不但与e有关，而且与C的吸收本领A有关，这是C′从自身辐射进行的第一次吸收。

故C′第一次吸收的总量为aE+a(1－A)e。经过这第一次“折腾”后，C′的辐射本领降低为(1－A)e－a(1－A)e=[e(1－A)]。(1－a)，所以根据C′吸收多少等于辐射多少的原则，aE+a(1－A)e=e－e(1－A)(1－a)

导出

表明物体的辐射本领与吸收本领之比相同。鉴于上述推导中波长和恒温体都是任意设定的，可以进一步写下

这里的F(λ，T)代表表面亮度，是一个普适函数。

半个世纪以后，爱因斯坦于1917年将辐射跃迁分为受激吸收、自发辐射和受激辐射三类，这个思想是否受了导出基尔霍夫定律所采用的推理分析的影响，还有待于研究。

爱因斯坦提出的粒子在能级间的跃迁理论中有以下三个过程：自发跃迁、受激辐射和受激吸收。自发跃迁系数A_mk表示在没有辐射场的作用下，粒子在单位时间内由ε_m能级跃迁到ε_k能级的概率；受激辐射系数表示系统在能量密度为ρ(ν)的辐射场中，粒子在单位时间内由ε_m能级跃迁到ε_k能级并释放出能量为ћ的光子的概率为B_mkρ(ν)。受激吸收系数则表示相反的过程，概率为B_kmρ(ν)。在热平衡下，由于原子各个能级的粒子数保持不变，ε_m➝ε_k与ε_k➝ε_m粒子数相等，我们用N_m和N_k表示初始时刻两能级上的粒子数，则有

上式整理得

根据热平衡下，粒子数服从波尔兹曼分布，有

于是

其中ε_m－ε_k=hν，整理得

对比如下的普朗克光谱能量密度公式

我们可以得到

以上是如今大部分教材给出的推导。假如历史上爱因斯坦是从基尔霍夫那里找到灵感的，我们希望还原当时的爱因斯坦是如何把经典的热辐射理论推广到辐射跃迁上去的。

对照基尔霍夫的推理过程，我们以此来类比爱因斯坦辐射跃迁理论。思考流程上几乎是一模一样的，爱因斯坦辐射跃迁理论中有三个参数：自发辐射系数A_mk、受激辐射系数B_mk和受激吸收系数B_km，这里我们不考虑自发辐射系数A_mk（此参数需要利用普朗克公式推导）；我们把受激辐射系数B_mk和受激吸收系数B_km分别类比为上述基尔霍夫模型中C的吸收本领A和C′的吸收本领a，当然这样的类比并不是简单的等价关系，因为爱因斯坦的模型中的吸收辐射系数在物理本质上表示的是能级之间跃迁的概率，而基尔霍夫模型表示的是能量占比，而且爱因斯坦的模型中并没有回弹的过程，当然我们可以考虑这样一个假想实验，类似地引入两个能级ε_m和ε_k，考虑到外界入射的光子先从各个能级上打出一部分粒子，打出粒子的多少对应着基尔霍夫模型中的辐射本领，即对应着基尔霍夫模型中的e和E，这里所谓的“辐射本领”即对应着能级的简并度g_k和g_m，而后这两个能级上的粒子相互跃迁，跟基尔霍夫的模型类似，我们最终也需要达到一个动态平衡的过程，直接套用基尔霍夫模型的结论得到

通过上述推导我们可以体会到两人的思想如出一辙，真所谓英雄所见略同也。我们也能看到纯粹理性思考也能导出正确的物理定律，这是如今的理科生应该借鉴的方法。虽然物理学家玻恩曾说，“在我看来，巧妙的、基本的科学思维是一种天资，那是不能教授的，而且只限于少数人”，但我们以为在大学阶段介绍理论物理的典型思维方法是必要的，也许就对大学生产生了启迪。

（本文与学生吴泽合作）