爱因斯坦时空与引力的理论

引力定律是非常、非常严格的，只不过是我们为了自己的利益，一直在歪曲它们。

比利·布拉格（Billy Bragg）

艾克的保时捷和GPS

伊卡洛斯·拉什莫尔三世（艾克）迫不及待地要向迪特尔展示他的新保时捷，但是，虽说这新车很值得他骄傲，可更令他兴奋的是他最近自行设计安装的全球定位系统（GPS）。

艾克想让他的朋友迪特尔佩服一下，于是，他说服迪特尔一起驾车到当地的赛车场。他们上了车，艾克将目的地输入程序，两人就出发了。可让艾克大失所望的是，他们最终停错了地方——GPS系统根本不像他预计的那么管用。迪特尔的第一反应是，艾克一定犯了什么可笑的错误，比如说把米和英尺弄混了。但艾克坚信自己不会犯这么低级的错误，他向迪特尔保证，问题肯定不在这儿。

第二天，艾克和迪特尔摆弄了几下。可令人沮丧的是，他们在兜风时发现GPS比以前表现得更糟了。艾克和迪特尔继续找问题，终于，在困惑了一周之后，迪特尔忽然灵感闪现：他快速地计算了一下，吃惊地发现，如果不考虑广义相对论，艾克的GPS系统累积的误差每天会达到16公里。艾克没想到他的保时捷会快到需要考虑相对性计算，但迪特尔解释说，车本身没有那么快，可GPS信号是以光速传播的。迪特尔修改了软件，将GPS信号必须穿过的引力场的变化也计算在内，这次，艾克的GPS系统终于能像市面上买到的一样正常运行了。

艾克和迪特尔长舒一口气，开始计划他们的下一次兜风。

20世纪初，英国物理学家开尔文爵士说：“现在，物理学家已经没什么新东西可以发现了，剩下的就是让计算越来越精确。”开尔文爵士的错误从此可是出了名：就在他讲过这番话后不久，相对论和量子力学彻底改变了物理学，而且出现了当今人们研究的各个不同的物理领域。但是，开尔文爵士的另一句更为深刻的话却千真万确，“科学财富的积累是遵循复利定律的”，以它来形容这些革命性的进步尤为恰当。

本章将探讨引力科学，看它如何从牛顿定律的伟大成就演进到爱因斯坦引力论的革命性进步。牛顿定律是经典的物理定律，几个世纪以来科学家们一直使用它计算机械运动，包括由引力促进的运动。牛顿定律非常伟大，它使我们对于各种运动的预言异常精确，精确到足以将人类送上月球，将卫星送入轨道，让欧洲的高速列车在转弯时不致脱轨，激发人们在发现天王星轨道异常时去寻找第八颗行星——海王星；但是可惜它不足以让GPS系统精确无误。

我们现在应用的GPS系统，正是因为爱因斯坦的广义相对论才使精确度达到了1米之内，这实在令人难以置信；更让人不可思议的是，目前为了确定火星上积雪深度的变化，我们使用的是来自绕火星运转的宇宙飞船的激光扫描数据，如果将广义相对论计算在内，产生的数值精确度可在10厘米之内。当然，在相对论创建初期，任何人——甚至包括爱因斯坦自己都没有料到，这样一个抽象的理论会得到如此实际的应用。

本章将探索爱因斯坦的相对论，这个在众多领域得到广泛应用的、异常精确的理论。我们将首先简要回顾牛顿的引力论，它在我们日常见到的能量和速度中还是颇为有效的；然后，我们将转到它失效的极限，即极高速（接近光速）和极大质量或极高能量的区域。在这些极限区域里，牛顿引力被爱因斯坦的广义相对论所超越。有了爱因斯坦的广义相对论，空间（以及时空）由一个静止的舞台演变成了一个能够移动和弯曲的、有着自己丰富生命的动态实体。我们将探讨这一理论，介绍它的起源，以及让科学家们相信它的实验验证。

牛顿的万有引力王国

引力就是让我们站在地面上的力，也是你把球抛向空中时使它加速返回的那种力。16世纪末，伽利略证明，这种加速对于地球表面的所有物体（无论其质量大小）都是同等的。

但这种加速取决于物体离地球核心有多远。通常来讲，引力强度取决于两物质之间的距离——两物体相隔越远，其间的引力就越弱。而且如果产生引力吸引的不是地球，而是其他物体，那么引力强度就要取决于那个物体的质量。

牛顿创建了万有引力定律，此定律总结了引力对质量和距离的依赖关系。

牛顿定律认为，两个物体之间的引力与它们各自的质量成正比，这两个物体可以是任何东西：如地球和月球，太阳与木星，篮球和足球，或你喜欢的任何东西。物体质量越大，两者之间的引力作用越强。

牛顿的万有引力定律还指出，引力取决于两个物体之间的距离：两个物体之间的引力与其距离的平方成反比。这种平方反比定律正是源于那个著名的苹果，因为苹果就在地球表面，牛顿能够推算出苹果由于地球引力而产生的加速度，然后将它与月球被吸引产生的加速度相比。月球离地球中心的距离，要比地球表面离中心的距离远60倍，因此，月亮由于地球引力作用而得到的加速度是苹果的加速度的1/3 600（3 600是60的平方），这种引力的减弱符合离地球中心的距离的平方。

然而，即使知道了引力强度取决于质量和距离，我们仍需要一个信息才能确定总的引力强度。这一缺失的信息是一个数值，被称作牛顿万有引力常数，也就是计算经典引力时的一个因子，引力作用与它成正比。引力非常微弱，这在牛顿常数的极小值上也得到了反映。

地球引力或太阳与行星之间的引力，看起来似乎非常大，这只不过是因为地球、太阳和行星的质量非常庞大。因为牛顿常数很小，在基本粒子之间的引力也就极其微弱。引力为何极其微弱，这本身就是一个极大的谜题。

尽管牛顿定律正确，可直到20年以后的1687年，他才将它发表，他试图找到理由来证明自己理论里的一个关键假设：地球施加引力的方式好像是将其庞大的质量全部集中在地球核心上。而就在牛顿致力于发展微积分以解决这一问题时，约翰尼斯·开普勒经测量发现，行星的运行轨道是椭圆的，埃德蒙·哈雷、克里斯托弗·雷恩（Christopher Wren）、罗伯特·胡克以及牛顿自己通过分析行星的运动，都取得了重大进展，从而确立了万有引力定律。

这些人对行星运动问题都作出了重大贡献，而牛顿则因平方反比定律集盛誉于一身。这是因为，牛顿最终证明了只有在平方反比定律成立时，作为一个核心力量（太阳引力）的结果，才会产生椭圆轨道；而他还以微积分证实，球体的质量似乎真的是集中在其核心。但是，牛顿还是对其他人的重要贡献表示了感谢：“如果说我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”（但也有传闻说，牛顿之所以这样说，是因为他很反感身材矮小的胡克。）

在高中物理课上，我们学到了牛顿定律，并对这种有趣系统的活动做了计算。可我的老师鲍梅尔先生却告诉我们，刚学的万有引力定律是错误的。我仍记得当时有多么生气：为什么明知它错误还要教给我们？以我在高中时代对这世界的观点，科学的最大优点就在于它总是正确可信的，并能作出准确和现实的预言。

兴许鲍梅尔先生是为了追求轰动效果吧，他显然将对于万有引力定律的结论简单化了。牛顿定律没有错，只不过它是一种近似，一种在大多数场合效果很好的近似。对于大量的参数而言（如速度、距离、质量等等），它非常正确地预言了引力。更为精确的基本理论是相对论，而只有当你在处理极高速度、极大质量或极大能量时，相对论才会作出可以观测的不同预言。牛顿定律对一个小球运动的预言精确得令人钦佩，这是因为它不受以上条件的约束。而使用相对论去预言一个小球的运动，则纯属自找麻烦。事实上，爱因斯坦自己最初以为狭义相对论不过是牛顿定律的改进，而没想到会是彻底颠覆科学范式。当然，他也过分低估了他工作的终极意义。

狭义相对论，颠覆时空观念

物理定律最为合理的一点就是，对于任何人它都是适用的，如果人们在不同国度，或坐在以不同速度行驶的列车上，或正乘飞机旅行，却体验到了不同的物理定律，那么肯定没有人会因此责备我们质疑物理定律有效性和实用性的做法。物理定律应是基本的，而且对所有观察者都成立。计算的任何差异都应因环境而异，而不是因物理定律所导致。事实上，如果一个普适的物理定律要依赖于某个特定事物，倒是非常奇怪的。你要测量的特定量也许会依赖于你的参照系，但制约这些量的定律是不会改变的。爱因斯坦对狭义相对论的阐释便证实了这一点。

爱因斯坦对引力的研究最终被称作“相对的理论”，实际上，这确实有点儿讽刺意味。促使狭义相对论和广义相对论产生的根本原因是，物理定律对所有人都是适用的，无论他处于何种参照系。事实上，爱因斯坦倒是喜欢“不变性理论”这一术语。一个记者曾建议他重新考虑它的名称，在给这个记者的回信里，他承认“相对论”这个词的确很不幸，但那时，这个名称早已深深烙在了他的大脑里。

爱因斯坦最早关于参照系和相对性的见解来自他对电磁学的思考。电磁学理论自19世纪就已被人们所熟悉，其基础是麦克斯韦定律，该理论描述了电场、磁场的活动和电磁波，给出了正确结果，但最初所有人都以“以太”的运动来错误地解释预言。

以太

以太是一种假想的不可见物质，电磁波被当作它的振动。爱因斯坦意识到，如果有一个以太，那就也应该有一个更有利的观察角度或参照系，这是因为以太在这个参照系中是静止的。

以太是一种假想的不可见物质，电磁波被当作它的振动。爱因斯坦意识到，如果有一个以太，那就也应有一个更有利的观察角度或参照系，这是因为以太在这个参照系中是静止的。他的理由是，同样的物理定律对匀速[9]运动的人都应是适用的，匀速可以是相对于彼此的运动，也可以是相对于静止的人——即在一个被物理学称为惯性系的参照系里。为了要求所有物理定律（包括电磁学理论）对所有惯性参照系内的观察者都成立，爱因斯坦放弃了以太的观点，而最终创立了狭义相对论。

爱因斯坦的狭义相对论彻底改变了传统的时空观念，是一次巨大的理论飞跃。物理学家、科学史学家彼特·加里森（Peter Galison）提到，将爱因斯坦推上正确轨道的，不仅仅是以太理论，还有爱因斯坦当时的工作。加里森之所以这样说的理由是，生长于德国，而当时在瑞士伯尔尼一家专利局工作的爱因斯坦，对时间和时间协调一定有着很强的观念。所有去过欧洲旅行的人都知道，那些国家，如瑞士和德国，都非常看重精准，这让在那里旅行的乘客有着非常愉快的体验——他们完全不用担心火车会延误。在1902—1905年间，爱因斯坦在这家专利局工作，那时乘火车旅行已变得越来越频繁，而协调时间则成了尖端的新技术。20世纪早期，爱因斯坦很可能想到了现实世界的问题，例如该怎样协调在这一车站与下一车站之间的时间。

当然，爱因斯坦没必要为了解决现实的时间协调问题而发明相对论，（对于已经习惯了火车常常误点的美国人来说，协调时间无论怎样听上去都还有点新奇[10]）。但协调时间引出了有趣的问题：时间协调对相对行驶的火车来说，可不是一件容易的事。如果我要与一个人对表，而这个人正在一列行驶的火车上，那我就需要考虑信号在我们之间传递所延误的时间，因为光速是一定的，而与静止坐在我身边的一个人对表和与远处的一个人对表又是不同的。[11]

将爱因斯坦引向狭义相对论的一个关键发现是，我们必须重建时间概念。根据爱因斯坦的理论，时间和空间不应再被人们孤立地来看待，虽然它们不是一回事——时间和空间显然是不同的，但你测量的量却依赖于你的旅行速度，狭义相对论就是这一见解的结果。虽然很离奇，但人们可以由两个假设得出爱因斯坦狭义相对论的所有新奇结果。要陈述它们，我们需要懂得惯性系（参照系的一个特定类型）的含义。首先，我们选择匀速（速度和方向）运动的任一参照系，一个静止的就很好。惯性参照系就是指相对于第一个参照系以固定速度移动的参照系，比如一个以恒定速度从旁边跑过或驾车驶过的人。

爱因斯坦的假设指出：

●物理定律在所有惯性系都是不变的；

●光速在所有惯性系都是不变的。

这两个假设告诉我们：牛顿定律是不完善的。一旦接受了爱因斯坦的假设，我们就别无选择，只能以符合这些规则的、更新的物理定律来取代牛顿定律。随后的狭义相对论导致了所有你可能听说过的令人瞠目的结果，如时间膨胀、观察者对同时性的依赖、移动物体的洛仑兹收缩。当在以相对光速很慢的速度运行的物体上应用时，新的定律看上去与旧的经典定律非常相像，但当在高速（以光速或接近光速）运行的物体上应用时，牛顿定律和狭义相对论的解释是有很明显的差异的。例如，在牛顿力学中，速度只是简单相加。在高速路上一辆迎面向你驶来的车，驶近你的速度就是你们两车速度之和。同样的道理，如果你在行驶的火车上，一个人从站台上向你扔一个球，那么那个球的速度应该是球本身的速度加上火车的速度（我以前的一个学生维泰克·斯奇巴可以证实这一点：有人向正在靠近的列车投了一个球，车上的维泰克恰巧被球打中，他差点没被击昏过去）。

根据牛顿定律，你在一列行驶的火车上，所看到的迎面向你射来的一束光的速度，应该是光速与火车行驶的速度之和。但如果像爱因斯坦第二条假设所说的那样，光速不变，这就不对了。如果光速总保持不变，那么，你在行驶的火车上时一束向你射来的光的速度，与你静静地站在地面上时一束向你射来的光的速度都是一样的。虽然这与你的直觉有些相悖，因为你的直觉都是来自日常生活中所遇见的低速，但光速的确是不变的，而且，在狭义相对论里，速度不像在牛顿定律中那样只是简单地相加，相反，速度的相加需要遵循由爱因斯坦假设所得出的相对论公式。

狭义相对论的许多含义并不符合我们习惯的时间和空间观念。狭义相对论与以前牛顿力学对时间和空间的看法是不同的，正因如此，才产生了许多有悖于直觉的结果。时空的测量要取决于速度，而且在相对于彼此运动的系统里融合在一起。但是，尽管它们让人惊讶，可一旦你接受了这两个假设，那么不同的时空观念就是其必然结果。

我们来看为什么会这样：假设有两艘相同的船，有着相同的桅杆，一艘船停泊在岸边，另一艘正在驶离。再假设两位船长在第一艘船启航时已对好了表。

现在假设两位船长要做一件非常奇怪的事：两人同时决定在他们各自的船上测量时间。他们在船的桅杆顶部和底部各放置一面镜子，然后将光由底部的镜子照向顶部的镜子，以此测量光在两面镜子之间往返的次数。当然，从现实角度来讲，这确实有点荒谬，因为光往返的频率实在是太快了，根本无法计量。但是，请耐住性子，就让我们假设两位船长的计数非常快，因为我要用这个有点缺乏真实性的例子来说明，时间在行驶的船上被拉长了。

如果两位船长都知道光往返一次要花多少时间，那么，用光往返一次的时间乘以光在两面镜子之间往返的次数，就能算出时间的长度。但是，现在假设停泊船只的船长不用他自己静止的镜子钟，而是以行驶船只上光在桅杆两端镜子之间往返的次数来测量时间。

从行驶船只船长的角度来看，光只是上下穿梭；而从停泊船只船长的角度来看，光就必须旅行得更远一些（才能走完行驶船只走过的距离，见图5-1）。但光速是不变的——这正是有悖于直觉的地方，无论是射向停泊船只的桅杆顶部，还是射向行驶船只的桅杆顶部，光速都是一样的。那么，行驶的镜子钟则必须“滴答”得慢一些，以此来弥补行驶船只上光旅行的更长的距离。

这个与直觉相悖的结论（行驶船只与静止船只上的钟必须以不同的速率“滴答”）所遵循的事实是：在一个移动参照系里的光速和静止参照系里的光速是相同的。尽管以这种方法测量时间很可笑，但无论以何种方式测量，同样的结论——移动的钟表走得要慢一些都会成立。如果船长戴着表，他们会观察到同样的事实（再次提请注意，对通常速度来说，这种效应非常微小）。

图5-1　光束在静止船只上和行驶船只上从桅杆顶部反射下来的路径。在静止的观察者（在岸边停泊的船上或是在灯塔里）看来，行驶船只上光束走过的路径会更长。

尽管上面的例子不真实，但所描述的现象真正产生了可测量的结果。例如，狭义相对论使快速运动的物体经历了不同的时间，这种现象叫作时间膨胀。

物理学家在研究对撞机或大气产生的基本粒子时，测量了时间膨胀。这些粒子以相对论速度（接近光速穿行），例如，称作μ子的基本粒子与电子有相同的电荷，但它更重，而且会衰变（即它会转变为其他更轻的粒子）。

μ子的寿命，即在其衰变之前的时间，只有2微秒。如果一个运动的μ子与一个静止的μ子有着同样长的寿命，那么在它消失之前，就只能穿行600米。但μ子却成功穿过了大气，在对撞机里，直达大型探测仪的边缘。因为它接近光速的高速运动，使其寿命在我们看来要长许多。在大气中，μ子穿行的距离比在基于牛顿定律的宇宙里穿行的距离至少要远10倍。我们能看到μ子，这一事实本身就证实了时间膨胀（及狭义相对论）产生了真切的物理效应。

狭义相对论之所以重要，既因为它与经典物理学有着巨大差异，也因为它是广义相对论和量子场论发展的基础，而这两者在最近的研究进展中都发挥了重要作用。因为我在后面探讨粒子物理学和额外维度模型时，不会用到狭义相对论预言，所以，我只好遏制自己的欲望，不再去细讲狭义相对论出神入化的结果，例如为什么同时性要取决于观察者是否运动，以及运动物体的大小与它们静止时有什么不同。相反，我将细述另一重大进展，即广义相对论，这在我们以后讨论弦理论和额外维度时是非常关键的。

等效原理，广义相对论的开始

1905年，爱因斯坦完成了他的狭义相对论。1907年，当他打算写一篇论文总结他关于这一课题的最新研究时发现，自己已经在质疑这一理论是否适用于所有场合了。他注意到两处重要的疏忽，其中一处是，物理定律只在某些特定的惯性参照系里才是同样的，这些参照系以固定速度相对于彼此运动。

在狭义相对论里，这些惯性系占据了一个优势地位，该理论没有考虑任何正在加速的参照系。开车时，如果你踩了油门，那么，你所处的参照系将不再是狭义相对论所适用的特定参照系。这就是狭义相对论的“狭义”之处：“狭义”的惯性系只是所有可能参照系的一小部分。对那些相信没有特定参照系的人来说，该理论只突出惯性参照系问题就表现了出来。

爱因斯坦的第二处疑虑与引力有关。虽然他指出了物体在某些场合是怎样回应引力的，但他起初并没有想出确定引力场的公式。在某些简单场合，引力场定律已被熟知，但爱因斯坦还不能够对所有可能的物质分布导出引力场。

1905—1915年，经过一番艰苦卓绝的探索，爱因斯坦解答了这一问题，其结果便是广义相对论。

新的理论围绕着等效原理展开。等效原理指出，加速度的作用与引力的作用是不可区分的。所有物理定律在一个正在加速的观察者和一个处在引力场中静止的观察者看来都应该是相同的：引力场使所有在静止参照系内的物体加速，与原来的观察者的加速度相等，只不过方向相反。换句话说，你没有办法辨别你是正在稳定地加速还是静止地站在引力场中。根据等效原理，没有办法能够将这两种场合区分开来，观察者也永远无从知道自己是处于哪种场合。

等效原理源自惯性质量和引力质量的相等。原则上讲，这本应是两个互不相同的量。惯性质量决定一个物体如何对外力作出回应，即如果施以外力，物体会如何加速。惯性质量的作用在牛顿第二定律里也有总结：F=ma，即如果你对一个质量为m的物体施以作用力F，产生的加速度则为a。牛顿第二定律告诉我们，同样的力如果施加在一个更大质量的物体上，则会产生更小的加速度。这在经验上是我们非常熟悉的：如果你以同样的力去推一个小板凳和一架钢琴，小板凳肯定会被推出去更远，且滑得更快。注意，这一定律适用于任何作用力，如电磁力。在任何与地球引力无关的场合，它都是适用的。

等效原理

等效原理指出，加速度的作用与引力的作用是不可区分的。等效原理源自惯性质量和引力质量的相等。原则上讲，这本应是两个互不相同的量。

而另一方面，引力质量遵循引力定律，并决定引力强度。正如我们所看到的，牛顿引力的强度与相互吸引的两个物体的质量成正比，这些质量即引力质量。引力质量与惯性质量同时遵循牛顿第二定律，结果殊途同归，也因此，我们给了它们同样的名称：质量。但从原则上讲，它们应是不同的，我们应称其中一个为“质量”，而另一个为“重量”。好在我们不必这么做。

两种质量相同这一神秘事实有着深刻的含义，它促使爱因斯坦去辨认、去开发。

引力定律指出引力强度与质量成正比；而牛顿定律又告诉我们用这种（或其他）力会产生多大的加速度。因为引力强度与质量成正比，而这质量还决定其加速度，那么这两个定律合在一起就告诉我们，即便根据公式F=ma，力要取决于质量，而由引力导致的加速度则完全可以不考虑正在加速的质量。

对于距一个物体同等距离的所有物体或人来说，它们所经受的引力加速度必然是一样的。这正是伽利略所证实的断言，从比萨斜塔上坠落的两个物体，地球引力对其产生的加速度都是相同的，与它们的质量无关。加速度的大小与被加速的物体质量无关，这一事实是引力所独有的特征，因为除引力外，所有其他力都要依赖于质量。因为引力定律和牛顿定律以同样的方式依赖质量，所以计算加速度时，质量就被抵消了，因此，加速度也就与质量无关了。

这一推理相对比较简单，但其含义却颇为深刻。因为在同样不变的引力场中，所有的物体都有着相同的加速度，如果这唯一的加速度能够被抵消，那么引力的证据也就被同时抵消了。一个自由落体恰恰正是这样：它的加速度恰好抵消了重力。

等效原理告诉我们，如果你和周围的物体一同自由落下，那么，你根本意识不到还有一个引力场，你的加速度会抵消引力场对静止时的你产生的重力加速度。从在轨道中运行的宇宙飞船图片里，我们已熟悉了这种失重状态。在宇宙飞船中，宇航员和他周围的物体都感受不到重力。

教科书里常常用一幅图来说明引力失效的后果（从一个自由落体的观察者角度来看，见图5-2）。图中画的是，一个人在一部自由下落的电梯里抛掷小球。在图中，你看到的是人和球同时下落，电梯里的人看见球总是在离电梯地面的相同高度，他看不到球的下落。

在物理课本中所呈现的自由下落的电梯，好像是这世界上再自然不过的一件事：里面的观察者静静地看着并不下落的球，镇定自若，丝毫不担心自己的个人安危。而在电影里电梯缆绳若被割断，演员坠向地面，我们看到的则是一幅惊悚的场景，这形成了鲜明的对比。为什么会有如此截然不同的反应？如果所有东西都在自由下落，原也没有什么可惊恐的：这情形就和所有东西都是静止的没有什么区别，只不过是在一个零引力的环境里。但是，如果像在电影里那样，一个人在自由下落，而下面的土地却仍是坚挺不动的，那他被吓呆便是理所当然的了。如果一个人在一个自由下落的电梯里，而下面等待这降落的是坚实的地面，那么，在他的自由落体运动终结时，他肯定会意识到引力是多么好（见图5-2最后一幅所示）。

爱因斯坦的结论看上去是如此地令人惊讶和离奇，这是因为，我们生长在地球上，脚下就是静静的大地，这让我们的直觉产生了谬误。当地球引力让我们静止于地面时，我们能注意到引力的作用，是因为我们不会沿着重力的方向被直接吸进地核中去。在地球上，我们已习惯了这种使物体坠落的引力，但“坠落”真正的意思是“相对于我们的坠落”。如果我们与一只下落的球同时坠落，就像我们在自由下落的电梯里那样，球也并不会比我们下降得更快，因此我们也就看不到它的下落。

图5-2　一个人在自由下落的电梯里抛掷小球。在电梯里，观察者虽然松开了球，但他看到的球并不下落。但是，当自由落下的电梯撞到静止的地面时，里面的观察者可就不会太高兴了。

在这一自由落体的参照系里，所有的物理定律都会与你和周遭的一切都静止时所遵循的物理定律完全一致。自由落下的观察者观察到的运动，应以狭义相对论里的方程来描述，即对在惯性的、不加速的参照系里的观察者适用同样的方程。1907年，爱因斯坦在回顾相对论的一篇论文里解释了引力场的存在为何是相对的：“因为对于一个从屋顶自由坠落的观察者来说，至少在其邻近的周围，是不存在引力场的。”这就是爱因斯坦的重要见解。

自由下落的观察者的运动方程也就是惯性系里观察者的运动方程，自由下落的观察者感觉不到重力——只有那些非自由下落的物体才会受重力影响。

在日常生活中，我们通常并不会遇上自由下落的东西或人。当自由落体发生时，常常都是惊悚、危险的，但正如在参观爱尔兰的莫赫尔悬崖时，一个爱尔兰人对物理学家拉斐尔·布索（Raphael Bousso）所说的：“杀死你的并非下落，而是你下落终止时的碰撞！”有一次，我在攀岩中摔折了几根骨头，被迫缺席了我组织的一场会议。这时，就有很多人来取笑我，说我是在验证引力理论，而我可以信心十足地宣布，引力加速度与预言是完全一致的。

两大实验，验证广义相对论

广义相对论还有很多内容，很快我们会讨论到其他部分——它们耗费了科学家更长的时间。可是，仅等效原理就解释了广义相对论的许多结果。一旦爱因斯坦认识到在加速参照系里引力可以被排除，他便可以通过假设一个加速系统等同于一个有引力的系统而算出引力的作用。这使得他能够计算一些有趣系统里的引力作用，而别人则以这些系统来检验他的结论。现在，我们来探讨几个最为重要的实验验证。

第一个是光的引力红移，红移使我们探测的光波频率低于其发出的频率。你可能遇到过类似的效应，比如，当一辆摩托车从你身边呼啸而过时，你听到的声音先是升高，而后降低。

有很多方法可以帮助我们理解引力红移的起因，但最简单的可能还是打比方。设想你向空中抛一个球，球上升的速度会因重力的作用减慢下来，但是，尽管球速减慢了，球的能量并未损失，它已转化为势能，然后，当球下落时，作为动能被释放出来。

同样的推理也适用于光的粒子——光子。就如一个球被抛向空中失去了冲力一样，当光子由引力场逃逸时也会失去动力。这意味着光子和球一样，在挣脱引力场时失去了动能但获得了势能，但是光子不会像球那样慢下来，因为光速是不变的。抢先说一下，下一章我们会看到量子力学的一个结果，光子的频率下降时，其能量就会下降。一个穿过变化的引力场的光子所经历的正是这样：为了降低其能量，光子必须降低频率。这种频率的降低就是引力的红移。

反过来说，一个正朝着引力源方向运动的光子，其频率就会增加。1965年，加拿大物理学家罗伯特·庞德（Robert Pound）和他的学生格伦·雷布卡（Glen Rebka）通过研究由伽马射线辐射源放射出的伽马射线测量了这种效应。他们把这个伽马射线辐射装置放在哈佛大学杰弗逊物理实验室的“塔”顶上，现在我就在这里工作（尽管它是整座建筑的一部分，但杰弗逊实验室高耸的阁楼连同它下面的几层被统称为“塔”）。

塔顶和塔底的引力场会有轻微的差异，因为塔顶离地球中心会稍远一些。测量这种差别最好是能找个高塔，那样会使伽马射线的发射（塔顶部）和探测（地下室）之间的高度差达到最大。但即使塔只有三层，加一个尖顶，再加上塔尖上往下俯瞰的窗户，一共22.5米高，庞德和雷布卡还是测量出了被放射和吸收的光子之间的频率差异，精确得令人难以置信：一千万亿分之五而已。他们因此确认，广义相对论对引力红移的预言可达到1%的精度。

等效原理第二个实验观察结果是光的偏折。引力既能吸引能量也能吸引质量，毕竟，著名的E=mc2公式意味着能量与质量是密切相关的：如果质量经受引力，那么能量也一样。太阳的引力影响质量，同样也会影响光的轨迹。爱因斯坦的理论预言，光在太阳的影响下会产生偏折，并产生一定的偏折。这一预言在1919年的日全食时得到了验证。

英国科学家阿瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）组织了两支探险队，一支到西非海岸的普林西比岛，一支到巴西的索布拉尔——那是观测日食的最佳地点。他们的目的是拍摄太阳周围的恒星，以检验看似离太阳很近的恒星相对于它们通常的位置而言是否会产生偏移。如果恒星看上去真的移动了，那就意味着光是沿着弯曲的轨迹运行的（科学家们需要在日全食时进行测量，这样就不会因为太阳过强的光芒掩盖了黯淡的星光）。可以肯定的是，恒星恰好出现在那个“错误的”位置上，测到的正确的偏折角度提供了支持爱因斯坦广义相对论强有力的证据。

令人难以置信的是，光的偏折已被明确确立并理解，现在已成了人们的探索工具，用于探索宇宙的质量分布，并在一些已燃烧殆尽、不再发光的小恒星里寻找暗物质，这些物质就像是黑夜里的黑猫，是很难被发现的。观测它们唯一的方式就是通过引力作用。

引力透镜是天文学家了解暗物质的一种方式。暗物质与所有其他东西一样，通过引力相互作用。尽管燃尽的恒星自身已不发光，但在它们身后（从我们的角度来看）可能会有亮的物质，它们发出的光是我们能够看到的。如果光的路途中没有暗恒星，那么光就会直射过来，但是，一颗明亮恒星发出的光如果要经过暗恒星，就会发生偏折。由左侧经过的光线会比从右侧经过的光线更明显地折向相反方向；而从顶部经过的光线会比从底部经过的光线更明显地向对侧偏折。这样，在暗物质后面的一个明亮星体就会产生一个多重影像，这种作用就被称作引力透镜。图5-3描绘出的是，当恒星发出的光线因中间经过的大质量物体而向不同方向偏折时，所产生的多重影像。

引力透镜

引力透镜是天文学家了解暗物质的一种方式。暗物质与所有其他东西一样，通过引力相互作用。尽管燃尽的恒星自身已不发光，但在它们身后（从我们的角度来看）可能会有亮的物质，它们发出的光是我们能够看到的。

图5-3　类星体的多重影像。一个遥远、明亮的类星体在经过中间一个大质量星云时，光线会折向不同方向，从而形成“爱因斯坦十字”的多重影像。

一切源于宇宙的弯曲

根据等效原理，引力与恒定加速度是不可区分的。很高兴你已明白这一点，因为我必须承认，我将其简化了。毕竟，这两者并非完全不可区分，那么，区别在哪儿呢？如果引力等于加速度，那么，在地球相对的两个半球上的人就不可能同时落向地球了。地球毕竟不可能同时向两个方向加速。比如，处在中国和美国两个不同方向上的人感受到的地球引力，不可能被看作一个加速度。

解决这一矛盾的方法是等效原理所主张的——引力只能够由同一地点的加速度取代。在空间的不同位置上，可以根据等效原理取代引力的加速度通常也应处在不同方向上。关于中国和美国关系问题的答案就是：与美国引力相等的加速度和能产生中国引力的那个加速度的方向是不同的

这一重要见解使爱因斯坦对引力论又进行了一次完整的、全新的阐释。爱因斯坦不再将引力看作直接作用于一个物体的力，相反，他把它描述成是时空几何的弯曲，反映了在不同地点抵消引力所要求的不同加速度。时空不再是一个事件发生的空白背景，而是一个主动的参与者。有了爱因斯坦的广义相对论，引力就被理解成时空的弯曲结构，反过来，它又由物质和能量所决定。现在，我们来探讨时空弯曲的概念，爱因斯坦的革命性理论正是立足于此。

弯曲的时空

数学理论必须是内部连贯一致的，但不同于科学理论的是，它不必对外部现实作出回应。当然，数学家们的灵感常常来自对周围世界的观察，立方体、自然数等数学对象也确实能在现实世界里找到对应。但是，数学家们会将这些关于熟悉概念的假设推广为物理现实不那么确定的对象，如超正方体（在四维空间的超立方体）和四元数（一个新奇的数字体系）等。

公元前3世纪，欧几里得写下了有关几何学的5个基本公理，由这些公理产生了一个优美的逻辑结构，在中学时代你可能对此有过简单的涉猎。但后来数学家们发现第五公理（即著名的平行线公理）很麻烦。这一公理说的是，过线外一点，有且只有一条直线与原直线平行。

欧几里得提出他的公理后两千年来，数学家们一直争论不休，这第五公理究竟是独立于其他四个而存在，还是只是另外四个公理的逻辑延伸？会不会有一种几何体系除了最后一个外其他都成立？如果不存在这样的几何体系，那么第五公理就不是独立的，因此也就无关紧要了。

直到19世纪，数学家们才给第五公理找到了恰当的位置。伟大的德国数学家卡尔·弗雷德里克·高斯（Carl Friedrich Gauss）发现，第五公理正如欧几里得断言的那样，可以被另一公理取代。他继续研究并取代了它，由此发现了另外的几何体系，并证明第五公理是独立的。在此基础之上，非欧几何诞生了。

俄国数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）也发展了非欧几何。可是，当他将自己的研究寄给高斯时却失望地发现，这位老数学家早在50年前就想到了同样的观点，只不过这位德国人因为怕被同事嘲笑，一直隐藏着自己的研究，所以，无论是罗巴切夫斯基还是任何其他人都不曾知道高斯的结果。

高斯原本不必这么担忧的，很显然，欧几里得的第五公理并非总能成立，因为我们都知道还会有其他可能。例如，虽然经线在赤道是平行的，但它们在南、北极点会相交。球体上的几何就是非欧几何的一个例子。如果古人是在球体上写字，而不是在羊皮纸上，那么，这点对他们也会是显而易见的。

但是，非欧几何还有许多例子，与球体不同，它们是不能在三维世界里直观地实现的。高斯、罗巴切夫斯基和匈牙利数学家雅诺什·鲍耶（János Bolyai）[12]等人最初的非欧几何，研究的正是这样一些根本不可描绘的几何理论，也难怪他们花了这么久时间才发现它们。

有几个例子可以说明是什么使得弯曲几何与这页上面的平面几何有所不同：图5-4显示了三个二维平面。第一个是球体表面，有稳定的正弯曲；第二个是平面的一部分，零弯曲；第三个是双曲抛物面，有稳定的负弯曲，马鞍的形状、两座山峰之间的地形和一片品客薯片的形状都是负弯曲表面的例子。

图5-4　正弯曲、零弯曲和负弯曲的表面。

很多测试方法可以让我们知道，某个特定的几何空间属于这三种可能形状的哪一种。例如，你可以在这三种形状的每个表面上画一个三角形：在平坦表面上，三角形的内角之和总是180°。而如果三角形的顶点在北极，另外两点在赤道上，间距1/4赤道长度，这样一个在球体表面的三角形会是什么样？这个三角形的每个角都是90°直角，因此，它的内角之和是270°。这在一个平坦表面上是永远也不会发生的，但在一个正弯曲的表面上，因为表面突出，三角形的内角之和必然大于180°。

同样道理，画在双曲抛物面上的三角形内角之和必然小于180°，这是其负弯曲的反映。这不太容易见到：在靠近马鞍两边顶部的位置各画一点，另一点向下，沿着双曲抛物面延伸至底部，如果你骑在马上，就是你一只脚踩的地方。最后这一角比起它在平面上要小，因此三个角加起来小于180°。

一旦内在一致地确立了非欧几何，即它的假设不会有任何矛盾和悖论，德国数学家乔治·伯恩哈德·黎曼（Georg Bernhard Riemann）便研究出了一个丰富的体系来描述它们。一张纸不能被卷成一个球体，但可以被卷成一个圆筒；如果不碎裂，不向后折叠，你无法将马鞍摊平。在高斯研究的基础上，黎曼创建了又一数学形式，将这些事实囊括在内。1854年，针对如何通过它们的内禀性质来刻画所有几何，他发现了一个一般性的解决方法。他的研究奠定了现代数学领域微分几何的基础，这一数学分支专门研究曲面和几何。

因为从现在起，我将几乎总是把空间和时间放在一起考虑，所以我们会发现时空的概念比空间更为有用。时空要比空间多一维：除了“上下”“左右”“前后”之外，它还包括时间。1908年，数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）使用几何概念发展了这一时空结构的绝对观念。爱因斯坦研究时空所用的时间和空间坐标要依赖于一个参照系，而闵可夫斯基则明确指出一个独立于观察者的时空结构，任何一个给定的物理情境都可以由它表现出来。

在本书其余部分，除非特别说明，我说维度时都指时空维度数。例如，我们看周围时，看到的就是我以后所指的维宇宙。偶尔我会把时间单列出来，说“三维加一维”的宇宙，或三维空间。但请记住，所有这些术语指的都是同一场景——即有三个空间维度和一个时间维度。

时空结构是一个很重要的概念，它简明地表现了一个时空几何的特征，这一时空几何与由特定能量和物质分布所产生的引力场密切呼应。但起初，爱因斯坦并不喜欢这一观念，要对自己已经解释过的物理再作重新阐述，在他看来，这未免太过分了。但他最终还是认识到，这一时空结构对于完整、概括地描述引力和计算引力场是非常重要的。从记录来看，闵可夫斯基在最初认识爱因斯坦时对他也没有什么好印象：根据以往爱因斯坦学生时代在他微积分课上的表现，闵可夫斯基给爱因斯坦的评价是“一条懒狗”。

拒绝非欧几何的不仅仅是爱因斯坦一个，他的朋友、瑞士数学家马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann）也觉得它太复杂了，劝爱因斯坦不要用它。但他们最终一致认为，解释引力唯一可行的方法就是用非欧几何来表现时空结构，直到此时，爱因斯坦才得以诠释和计算弯曲的时空，它与引力相等，而这也成为完成广义相对论的关键。在格罗斯曼承认失误之后，他们两人携手，共同致力于研究错综复杂的微分几何，以简化他们高度复杂的早期尝试，来明确诠释引力理论。终于，他们完成了广义相对论并对引力本身有了一个更为深入的理解。

爱因斯坦的广义相对论

广义相对论提出了一个全新的引力概念：现在我们知道，引力（这种力让我们站在地球上，也让我们的星系和宇宙联系在一起）并非直接作用于物体，而只是时空几何弯曲的结果。这一概念使爱因斯坦有关时空一体的概念形成了一个合理的理论结果。

广义相对论利用了惯性质量和引力质量的深层联系，单纯以时空几何诠释了引力的作用。任何形式的物质和能量分布都会弯曲时空，时空里的弯曲路径决定着引力的运动，而宇宙里的物质和能量又引起时空本身膨胀、波动或是收缩。

在平坦空间里，两点之间的最近距离，即大地线（地球椭球面上连接两点的最短程曲线），是一条直线。在弯曲空间里，我们仍可以把大地线定义为两点间的最短距离，但这条路径看上去未必是直的。比如，飞机沿着地球大圆飞过的航线就是大地线（一个大圆是绕过地球最粗部分的任一圆，如赤道或一条经线）。虽然这些路径不是直的，但除非你凿穿地球，它们就是地球上两点间的最短距离。

在弯曲的四维时空里，我们仍然可以定义大地线。对于被时间隔开的两件事，大地线就是时空中把一件事与另一件事联系起来的自然路径。爱因斯坦意识到，自由落体就是沿时空的大地线运动，因为这是阻力最小的路径。他由此得出结论：在没有外力的情况下，下落物体会沿着大地线落下，就像一个人在自由下落的电梯里那样，他感觉不到重力，也看不到小球的下落。

但是，即使事物是在沿着大地线穿越时空，且没有外力，但引力还是有其明显作用。我们已经看到了，引力与加速度在同一地方是等效的这一重要见解，导致爱因斯坦发展了一种有关引力的全新的思考方式。他推断出，因为由引力导致的加速度对于同一地方的所有质量相同的物体都是相同的，所以，引力必然是时空本身的一种属性。

这就是为什么自由落体在不同地方意味着不同的事情，而只有在当地，引力才可以由唯一的一个加速度所取代。我和对应的一个在中国的人，即使我们两人都是在当地一个爱因斯坦意义的电梯里，我们仍是在以不同的方向下落。自由落体的方向并非处处都是一样的，这是因为受到了弯曲时空的影响——一个单一的加速度不可能抵消地球上所有地方的引力作用。在弯曲的时空里，不同观察者的大地线是各不相同的，因此，引力在全球范围里都会产生可见的作用。

广义相对论要比牛顿引力深入得多，因为无论能量和质量以何种形式分布，它们所引致的相对性引力场都能够被计算出来。而且，时空几何与引力作用内在联系的发现，使爱因斯坦得以弥补他最初对引力诠释的一大空白。尽管当时物理学家都知道物体会对引力作出何种反应，但他们都不知道引力是什么。现在，他们知道了引力场是由物质和能量引起的时空的弯曲，这一弯曲遍布宇宙各处，或者，还如我们很快将会看到的，延伸至一个可能包含膜的更高维度的时空里。所有这些情形中更为复杂的引力作用，都会体现在时空表面的褶皱和弯曲里。

图画能最好地描绘物质和能量怎样使时空结构弯曲，以产生引力场。图5-5所示的是一个位于空间里的球体。球体周围的空间被扭曲了：这个球使空间表面陷落，陷落的深度反映出球的质量和能量。另一个球从旁边滚过，它会滚向中心的陷落处，也就是质量集中的地方。根据广义相对论，时空就是以这样一种类似的方式弯曲。同时，从旁边滚过的另一球会加速滚向这球的中心。在这种情况下，其结果正好符合牛顿定律的预言。但它们对运动的诠释和计算却极为不同。根据广义相对论，小球是随着时空表面的波动，由此表现出由引力场导致的运动。

图5-5　一个位于空间的球体。一个有质量的物体使周围空间产生弯曲，由此产生了引力场。

图5-5可能会让人产生误解，因此我要提醒大家注意几件事：

第一，图中球周围的空间是两维的，而实际上，被弯曲的是整个三维空间和整个四维时空，时间也会弯曲，因为从狭义相对论和广义相对论的视角看，它也是一维。例如，狭义相对论告诉我们，在不同地方时钟会以不同速率“滴答”，这就是时间的弯曲。第二，在弯曲几何里，绕着第一个球滚动的第二个球同样会影响时空的几何形状，我们假设它的质量相比第一个大球太小，因而忽略这一微弱作用。第三，使时空产生弯曲的物体可以是任何维度的。以后，在这类图画里，我们会以一个膜来代替这个球体的作用。

但是，在所有情况下，物质决定时空如何弯曲，而时空决定物质如何运动；在没有外力的情况下，弯曲时空确定了大地线，物体将沿着它行进；引力是体现在时空的几何形状里的。爱因斯坦花费了近10年时间推出这一时空和引力的精确关系，并将引力场的作用也涵盖其中——毕竟，引力场也有能量，因此也会使时空弯曲。爱因斯坦的付出是英勇的、伟大的。

爱因斯坦在他的著名方程里明确了怎样找到宇宙的引力场。尽管他最为著名的方程是E=mc2，但物理学家称作“爱因斯坦方程”的却是他确定引力场的方程。这一方程的背后是艰苦卓绝的付出，它告诉我们怎样通过一个已知的物质分布确定一个时空度规。你计算的度规决定了时空几何的形状，它会告诉你怎样把一些与任意尺度相关联的数转化成确定几何的物理距离和形状。

随着广义相对论的最终建立，物理学家可以确定引力场并计算它的作用。与使用以前的引力公式一样，物理学家使用这些方程算出物质在一个已知引力场中是怎样运动的。例如，把地球或太阳等庞大球体的质量与位置代入方程，就可以计算出著名的牛顿的万有引力。在这个特殊例子中，结果没有改变，但意义大不相同。物质和能量弯曲了时空，而这种弯曲产生了引力。但广义相对论更大的优势在于：它的物质和能量分布包含了所有形式的能量——包括引力场自身的能量。即使在某些场合，引力本身是最为主要的能量，广义相对论仍然非常有用。

爱因斯坦方程适用于任何形式的能量分布，因此改变了宇宙学家，即宇宙历史学家的看法。现在，科学家如果知道了宇宙的物质和能量分布，就能计算出宇宙的演变。在一个空白空间里，空间是完全平坦的，没有任何褶皱和波纹——没有任何弯曲。然而，如果宇宙充满了能量和物质，那么它们就会弯曲时空，演化出各种有趣的、可能的宇宙结构和行为。

我们生活的宇宙绝非静止不变：正如我们很快会看到的：我们还可能生活在一个弯曲的五维宇宙里。值得庆幸的是，广义相对论告诉了我们怎样计算它们的结果。就像我们二维几何的例子里有正、负、零弯曲一样，四维时空几何结构也有正、负、零弯曲，它们是物质和能量恰当分布的结果。以后我们探讨宇宙学和额外维度里的膜时，由物质和能量引起的时空弯曲非常重要。这些物质和能量既存在于我们的可见宇宙中，也存在于膜上和体里。我们会看到三种类型的时空弯曲（正、零、负）在更高的维度上同样能够实现。

广义相对论的许多结果是牛顿引力所计算不出的，除了其他众多的优点之外，广义相对论还消除了牛顿引力让人心烦的超距作用（action-at-a-distance）：物体一出现或运动，它所产生的引力作用便处处都能感觉到。而用广义相对论，我们知道时空先弯曲，然后才有引力。这一过程并非立即产生的，它需要时间。引力波是以光速穿行的，只有在一个信号花费一定时间、到达某一地点并使时空产生弯曲之后，引力才会在这一给定位置产生作用。这怎么也不可能比光到达那里发生得更早，因为光速是我们已知的最快速度。比如，你接收到一个无线电信号或是手机信号的时间，怎么也不会早过一束光到达你那里的时间。

而且，物理学家还能以爱因斯坦方程探索其他类型的引力场。可以用广义相对论描述和研究黑洞，当质量高度集中于一个很小的体积时，就形成了这种吸引人的、谜一样的物质。在黑洞里，空间几何被极度弯曲，以至于进入黑洞的任何东西都被困在里面，即使光也不能逃逸。尽管在广义相对论创建之后，德国数学家、天文学家卡尔·史瓦西几乎立刻便算出了爱因斯坦方程的解，从而发现了黑洞[13]，但直到20世纪60年代，物理学家才真正开始重视这一观点——黑洞有可能是我们宇宙里真实的东西。如今，黑洞已在天文物理领域被广泛接受，事实上，似乎在每个星系的中心，包括我们自己的星系，都存在一个超大质量黑洞。而且，如果存在隐藏的宇宙维度，那就一定存在更高维度的黑洞，如果它们很大，就像天文学家观察到的四维黑洞一模一样。

奇迹总发生在最不可能的地方

让我们总结一下GPS系统的故事：如果我们计算的位置要精确至1米之内，那么，对时间的测量必须精确至1/1013。要达到这一精度，唯一可能的办法是使用原子钟。

但是，即使我们有了完美的时钟，时间膨胀还会使它们以1/1010的速度减慢。这一误差如果得不到纠正，到我们理想的GPS系统就会放大1 000倍。我们还必须考虑引力蓝移，这也是广义相对论的作用，由光子穿越变化的引力场引起，它所产生的误差至少也是这么大。这一作用加上其他的广义相对论偏差，累积产生的误差，如果被忽略，最终会达到每天误差16公里。艾克（以及现下的GPS系统）必须纠正这些相对论作用的误差。

尽管相对论现在已得到了验证，还产生了现代实用仪器必须考虑在内的效应，但在我看来，最初竟有人听信爱因斯坦，也实在令人惊讶。他没有一点儿名气，因为找不到更好的工作才在伯尔尼一家专利局做小职员。他就是在这样一个最不可能的地方，提出了一个有悖于当时所有物理学家信念的理论。

哈佛大学的科学史学家杰拉尔德·霍尔顿（Gerald Holton）告诉我，德国物理学家马克斯·普朗克是爱因斯坦的第一个支持者，如果不是普朗克当即认识到爱因斯坦研究的伟大成就，它可能要等更长的时间才会被认识和接受。普朗克之后，紧接着是其他一些著名的物理学家对它逐渐了解、认识、给予关注，很快，全世界都关注了起来。

●光速是不变的，它不依赖于观察者的速度。

●相对论改变了我们有关时间和空间的观念，它告诉我们可以把它们看作单一的时空结构。

●狭义相对论列出了能量、动量（即一个物体遇到外力时会作出何种反应）和质量的关系。例如，E=mc2，其中E是能量，m是质量，c是光速。

●质量和能量使时空产生弯曲，由此，你就可以把弯曲的时空当作引力场的来源。