内容丰富的图形知识

我国农业和手工业发展得相当早而且成熟。先进的农业和手工业带来了先进的技术，其中不少包含着图形知识。包括测绘工具的制造和使用，图形概念的表现形式，地等平面面积和粮仓等立体体积的计算等。

我国古代数学中的几何知识具有一种内在逻辑，这是以实用材料组织知识体系和以图形的计算作为知识的中心内容。

大禹在治水时，陆行乘车，水行乘舟，泥行乘橇，山行穿着钉子鞋，经风沐雨，非常辛苦。他左手捏着准绳，右手拿着规矩，黄河、长江到处跑，四处调研。

大禹为了治水，走在树梢下，帽子被树枝刮去了，他也不回头顾，鞋子跑丢了，也不回去拣。其实他不是不知道鞋子丢了，他是不肯花时间去捡。

正如有一句鞭策人心的名言：大禹不喜欢一尺长的玉璧，却珍惜一寸长的光阴。

大禹手里拿的“准”、“绳”、“规”、“矩”，就是我国古代的作图工具。

原始作图肯定是徒手的。随着对图形要求的提高，特别是对图形规范化要求的提出，如线要直、弧要圆等，作图工具的创制也就成为必然的了。

“准”的样式有些像现在的丁字尺，从字义上分析，它的作用大概是与绳结合在一起，用于确定大范围内的线的平直。

“规”和“矩”的作用，分别是画图和定直角。这两个字在甲骨文中已有出现，规取自用手执规的样子，矩取自它的实际形状。矩的形状后来有些变化，由含两个直角变成只含一个直角。

规、矩、准、绳的发明，有一个在实践中逐步形成和完善的过程。这些作图工具的产生，有力地推动了与此相关的生产的发展，也极大地充实和发展了人们的图形观念和几何知识。

战国时期已经出现了很好的技术平面图。在一些漆器上所画的船只、兵器、建筑等图形，其画法符合正投影原理。在河北省出土的战国时中山国墓中的一块铜片上有一幅建筑平面图，表现出很高的制图技巧和几何水平。

规、矩等早期的测量工具的发明，对推动我国测量技术的发展有直接的影响。

秦汉时期，测量工具逐趋专门和精细。为量长度，发明了丈杆和测绳，前者用于测量短距离，后者则用于测量长距离。还有用竹篾制成的软尺，全长和卷尺相仿。矩也从无刻度发展成有刻度的直角尺。

另外，还发明了水准仪、水准尺以及定方向的罗盘。测量的方法自然也更趋高明，不仅能测量可以到达的目标，还可以测量不可到达的目标。

秦汉以后测量方法的高明带来了测量后计算的高超，从而丰富了我国数学的内容。

据成书于公元前1世纪的《周髀算经》记载，西周开国时期周公与商高讨论用矩测量的方法，其中商高所说的用矩之道，包括了丰富的数学内容。

商高说：“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远……” 商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度。

商高所说用矩之道，实际就是现在所谓的勾股测量。勾股测量涉及到勾股定理，因此，《周髀算经》中特别举出了勾三、股四、弦五的例子。

秦汉时期以后，有人专门著书立说，详细讨论利用直角三角形的相似原理进行测量的方法。这些著作较著名的有《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《数术记遗》、《数书九章算术》、《四元玉鉴》等，它们组成了我国古代数学独特的测量理论。

图形的观念是在人们接触自然和改造自然的实践中形成的。人类早期是通过直接观察自然，效仿自然来获得图形知识的。

这里所谓的自然，不是作一般解释的自然，而是按照对人类最迫切需要，以食物为主而言的自然。人们从这方面获得有关动物习性和植物性质的知识，并由祈求转而形成崇拜。

几乎所有的崇拜方式都表现了原始艺术的特征，如兽舞戏和壁画。可以相信，我们确实依靠原始生活中的生物学方面，才产生了用图达意的一些技术。这不但是视觉艺术的源泉，也是图形符号、数学和书契的源泉。

随着生活和生产实践的不断深入，图形的观念由于两个主要的原因得到加强和发展。

一是出现了利用图形来表达人们思想感情的专职人员。从旧石器时代末期的葬礼和壁画的证据来看，好像那时已经很讲究幻术，并把图形作为表现幻术内容的一部分。

幻术需要有专职人员施行，他们不仅主持重大的典礼，而且充当画师，这样，通过画师的工作，图形的样式逐渐地由原来直接写真转变为简化了的偶像和符号，有了抽象的意义。

二是生产实践所起的决定性影响。图形几何化的实践基础之一是编织。据考证，编篮的方法在旧石器时代确已被掌握，对它的套用还出现了粗织法。

编织既是技术又是艺术，因此除了一般的技术性规律需要掌握外，还有艺术上的美感需要探索，而这两者都必须先经实践，然后经思考才能实现。这就替几何学和算术奠定了基础。

因为织出的花样的种种形式和所含的经纬线数目，本质上，都属于数学性质，因而引起了对于形和数之间一些关系的更深的认识。

当然，图形几何化的原因不仅在于编织，轮子的使用、砖房的建造、土地的丈量，都直接加深和扩大了人们对几何图形的认识，成为激起古人建立几何的基本课题。

如果说，上述这些生产实践活动使人们产生并深化了图形观念，那么，陶器花纹的绘制则是人们表现这种观念的场合。在各种花纹，特别是几何花纹的绘制中，人们再次发展了空间关系，这就是图形间相互位置关系和大小关系。

考古工作者的考古发现证实，早在新石器时期，我国人已经有了明显的几何图形的观念。在西安半坡遗址构形及出土的陶器上，已出现了斜线、圆、方、三角形、等分正方形等几何图形。

在所画的三角形中，又有直角的、等腰的和等边的不同形状。稍晚期的陶器，更表现出一种发展了的图形观念，如江苏省邳县出土的陶壶上已出现了各种对称图形；磁县下潘汪遗址出土的陶盆的沿口花纹上，表现了等分圆周的花牙。

自然界几乎没有正规的几何形状，然而人们通过编织、制陶等实践活动，造出了或多或少形状正规的物体。这些不断出现且世代相传的制品提供了把它们互相比较的机会，让人们最终找出其中的共同之处，形成抽象意义下的几何图形。

今天我们所具有的各种几何图形的概念，也首先决定于我们看到了人们做出来的具有这些形状的物体，并且我们自己知道怎样来做出它们。其实这也是实践出真知的例证。

我国古代也对角有了一定的认识并能加以应用。据战国时成书的《考工记》记载，那时人们在制造农具、车辆、兵器、乐器等工作中，已经对角的概念有了认识并能加以应用。

《周礼·考工记》中说，当时的工匠制造农具、车辆等，都会遵循“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘，一欘有半谓之柯，一柯有半谓之磬折。”的标准其中，“矩”指直角，即90度。由此推算，“一宣”是45度，一欘是67.5度，一“柯”是101度15分，而一“磬折”该是151度52.5分。

不过这不是十分确切的。因为就在同一本书中，“磬折”的大小也有被说成是“一矩有半”，这样它就该是135度了。

各种角的专用名称的出现，既表现了在手工业技术中对角的认识和应用，也反映了我国古代对角的数学意义的重视。它使我国古代数学以另一种方式来解决实践中所出现的问题。

至于面积和体积计算知识的获得，与古代税收制度的建立和度量衡制度的完善直接有关。

先秦重要典籍《春秋》记载鲁宣公时实行“初税亩”，开始按亩收税，“产十抽一”。《管子》也记载齐桓公时“案田而税”。这些税收制度的实施，首先要弄清楚土地面积，把土地丈量清楚，然后按照亩数的比例来征税。这说明春秋战国时期我国已经就已经有丈量土地和计算面积与体积的方法了。

先秦时期面积和体积的计算方法，后来集中出现在西汉时期的《九章算术》一书中，成为了数学知识的重要内容之一。

另外，从考古工作者在居延汉简中，也可以得到证明。这些成就在数学知识早期积累的时候就已经逐步形成，并成为后来的面积和体积理论的基础。

拓展阅读

据说大禹身高一丈，脚长一尺，这两个度量单位方便了他的治水工作，可以测量土地山川，这也是“丈夫”一词的来历。

由于忙于丈量山川，用腿太多，大禹的膝盖严重风湿变形，走路一颠一颠。后代的道士常常模仿这种步伐进行祷神仪礼。