图形的翻折

【本节解读】

图形的翻折，是图形运动的又一种基本形式．广泛应用于我们的日常生活，它是我们认识物体的形状和位置关系的必要手段，而且也是我们解决现实生活中的具体问题，进行数学交流的重要工具与平移和旋转一样是“空间与图形”领域的一个重要内容．在本节中我们主要探究轴对称图形和图形关于轴对称．

【基础知识详解及要点点拨】

1．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．

2．轴对称图形是对一个图形来说的，是指一个图形的两个部分之间的关系．轴对称图形的对称轴在一个图形上．

3．简单的轴对称图形：

（1）线段：对称轴是线段的垂直平分线所在的直线．

（2）角：对称轴是角的平分线所在的直线．

4．画对称轴：如果一个图形关于某一条直线对称，那么联结对称点的线段垂直平分线就是该图的对称轴．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　从轴对称的角度看，图11-27中哪些图形与其他图形不一样．

图11-27

解题策略：“从轴对称角度”要抓住“轴对称图形”和“对称轴”这两个要点．

解：④不是轴对称图形，其余都是轴对称图形，但⑤的对称轴有无数条．①②都只有两条对称轴．

例2　如图11-28所示，把一正方形对折三次后沿虚线剪下，则所得的图形是（　　）

图11-28

解题策略：在解答图形折叠问题时，一般先作出折叠前后的图形形状及位置，然后利用轴对称变换的性质解题．

解：选C．

例3　如图11-29所示的四个图形中的轴对称图形是（　　）

图11-29

解题策略：本题主要考查轴对称图形的折叠思想．①、③无论怎样折叠两部分总不能重合．

解：②④．

【知识联系与拓展】

例4　如图11-30所示，∠1＝∠2，若∠3＝40°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1为（　　）

A．40°

B．60°

C．80°

D．50°

图11-30

分析：由对称性知，要掌握白球击中白球必须使∠1＝∠2，∠2＋∠3＝90°，所以∠2＝50°，即∠1＝50°．

解：选D．

例5　纸上画出4个点，任意3个点组成的三角形都是等腰三角形，问这4个点该怎么放？画出你认为可能的几种情况．

分析：任意3点组成等腰三角形，说明这4点中，任意3点不共线，且组成的三角形是轴对称图形．因此要求这4个点组成的图形是轴对称图形．

解：如图11-31所示．

图11-31

【基础知识详解及要点点拨】

1．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．

2．两个图形关于某一条直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

3．如果一个图形关于某一条直线对称，那么联结对称点的线段垂直平分线就是该图的对称轴．

4．画轴对称图形：画出图形中的特殊点（如线段的端点，角的顶点）的对称点，然后联结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．

5．轴对称图形和轴对称的区别和联系：轴对称图形研究的是一个图形左右两个部分的关系，而轴对称研究的是两个图形的关系．如果把一个轴对称图形左右两个部分看作是两个图形，那么这两个图形关于某条直线轴对称；把两个关于某条直线轴对称的图形看作是一个整体，那么这个图形是轴对称图形．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　如图11-32所示，点A和点B关于某条直线成轴对称，画出这条直线．

图11-32

解题策略：只要联结A、B两点，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴．

例2　如图11-33所示，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l对称的图形．

图11-33

解题策略：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，联结这些对称点，就能得到要作的图形．

例3　如图11-34所示，实线构成的图形为已知图形，虚线为对称轴．请画出已知图形的轴对称图形．

图11-34

解题策略：此题关键还是作出实线部分关于虚线的轴对称图形，只是在这里直接根据点格来作．

【知识联系与拓展】

例4　如图11-35所示，四边形ABCD，直线l，画出四边形A′B′C′D′关于直线l对称的图形．

图11-35

分析：画某图形的对称图形时，只要画出图形中的对称点，然后联结对称点即可．

例5　如图11-36所示，画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁和关于O点对称的图形△A₂B₂C₂．

图11-36

分析：只要先找到已知图形中的对应点，描出并联结这些点即可得到相对应的图形．