向量组的秩

从4.2节定理4可以看出，向量组的线性相关性与矩阵的秩有密切的联系. 为使讨论进一步深入，我们引入向量组的秩的概念，并给出向量组的秩和矩阵的秩之间的关系.

定义5　给定向量组A，若在A中能选出一个含r个向量的部分组A0:a1，a2，…，ar，满足：

（i）向量组A0线性无关；

（ii）向量组A中任意r+l个向量（如果A中有r+l个向量的话）都线性相关，则称向量组A0为向量组A的一个最大线性无关组，简称为最大无关组. 最大无关组A0中所含向量个数：称为向量组A的秩. 向量组A:a1，a2，…，am的秩，记作RA或R（a1，a2，…，am）.

只含有零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.

由定义可知：

（1）若向量组A线性无关，则A的最大无关组就是A本身，它的秩就等于它所含向量的个数；

（2）向量组A线性相关的充分必要条件是向量组A的秩小于所含向量的个数；

（3）向量组A与它的最大无关组A0等价. 因为A0是A的一个部分组，故A0总能由A线性表示；在A中任取一向量a，则有al，a2，…，ar，a这r+1个向量线性相关，而a1.a2，…，ar，线性无关，由4.2节定理5可知a能由a1，a2，…，ar线性表示，即A能由A0线性表示.

对于只含有限个向量的向量组A:al，a2，…，am，它可以构成矩阵A=（a1，a2，…，am），把定义5与第3章矩阵的秩的定义作比较，容易想到向量组A的秩就等于矩阵A的秩，即有

定理6　矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

证　设A=（a1，a2，…，am），R（A）＝r，并设某个r阶子式Dr≠0.根据定理4，由Dr≠0。可知Dr所在的r列线性无关：而A中所有r+l阶子式均为零，知A中任意r+l个列向量都线性相关. 因此Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组，所以A的列向量组的秩等于r.

同理可证矩阵A的行向量组的秩也等于R（A）.

定理6表明，含有限个向量的向量组的秩就等于该向量组所构成矩阵的秩. 据此，向量组A:a1，a2，…，am的秩也可记作R（A）.

由上述证明可知，A中最高阶非零子式Dr所在的r列，即为A的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行，即为A的行向量组的一个最大无关组.

向量组的最大无关组一般不是唯一的. 如例4

由R（a1，a2）=2知a1，a2线性无关，由R（a1，a2，a3）=2知a1，a2，a3线性相关，因此a1，a2是向量组a1，a2，a3的一个最大无关组. 此外，由R（a1，a3）=2及R（a2，a3）=2可知al，a3和a2，a3。都是向量组a1，a2，a3的最大无关组.

根据4.2节定理5的第三个结论，定义5有如下等价定义：

最大无关组的等价定义　设向量组A0》:a1，a2，…，ar是向量组A的一个部分组，且满足

（i）向量组A0线性无关；

（ii）向量组A中任一向量都能由向量组A0线性表示，则向量组A0为向量组A的一个最大无关组.

由于向量组的秩与其构成矩阵的秩相等，故本章介绍的定理1，2，3，4中出现的矩阵的秩都可以改成向量组的秩来表示. 且以上有关向量组的定理都是建立在有限个向量基础上，利用最大无关组作过渡，可将这些定理推广到无限个向量的情形.

例4.6　已知向量组A:

求向量组A的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示.

解　设A=（a1，a2，a3，a4，a5），对矩阵A施行初等行变换，化成行最简形矩阵（参看第3章3.4节例3.9）:

可知R（A）=3，故向量组A的最大无关组中含3个向量. 而3个非零行的第一个非零元在第1，2，4三列，且因为

所以R（a1，a2，a4）=3，故a1，a2，a4为向量组A的一个最大无关组.

由于方程组Ax=0与Bx=0同解，即方程组

x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0

与

x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0（令B=（b1，b2，b3，b4，b5））

同解，因此向量组a1，a2，a3，a4，a5，与向量组bl，b2，b3，b4，b5，之间有相同的线性关系，

由于

因此

a3＝-a1-a2，

a5=4a1+3a1-3a4.