(1/4) 极大线性无关组和向量组的秩
（1）极大线性无关组 在向量组
中，如果存在一个部分组
线性无关，且再添加进组中任意向量
，向量组
，
一定线性相关，则称向量组
是向量组
的一个极大线性无关组。 注：（i）只由一个零向量构成的向量组不存在极大线性无关组，规定它的秩为0，一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组自身。 （ii）一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的，但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大线性无关组所包含的向量的个数都是r，即个数r是由原向量组唯一确定的。 （2）向量组的秩 向量组
的极大线性无关组中所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为r (
) = r。
(2/4) 矩阵的秩
（1）矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r（A）。 （2）矩阵A的秩
A中有r阶子式不为0，
阶子式（如果存在）全为0. （3）矩阵A的秩
A中有r阶子式不为0. （4）矩阵A的秩
A中r阶子式全为0.
(3/4) 矩阵的秩的重要公式
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
； （5）
（6）如A可逆，则
；如B可逆，则
； （7）设A是
矩阵，B是
矩阵，如AB=0，则
； （8）若A
B，则r(B)= r(A)。 （9）若P、Q可逆，则r(PAQ)= r(A)。
(4/4) 向量组的秩与矩阵的秩的关系
（1）r（A）=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩） 注：求向量组的极大线性无关组和向量组的秩的时候，可通过对矩阵的初等变换化为阶梯形矩阵来实现。 （2）经初等变换，向量组的秩均不变。 （3）向量组（I）可由向量组（II）线性表出，则
。特别的，等价的向量组具有相同的秩。 注：秩相同的向量组不一定等价。
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