辗转在欧罗巴的土地上

中学的最后一年，老冯·诺伊曼开始为儿子的前途操心。他征询了包括冯·卡门在内的许多朋友的意见，决定让儿子学化学工程。小冯·诺伊曼要去柏林大学和苏黎世联邦工业大学学习化学工程，但他真正感兴趣的却是数学，而数学家在匈牙利的前景并不被看好。结果，他一边在柏林和苏黎世学化工，一边在布达佩斯大学注册成为数学博士候选人。也就是说，尚不满18岁的年轻人要在相距遥远的三座城市兼读跨专业的本科生和研究生。由此可见，冯·诺伊曼是多么自信和坚毅。

1921年秋天，冯·诺伊曼来到德国首都柏林。原来他是想要拜犹太化学家哈伯为师。这个哈伯在1915年发明了毒气，极大地帮助了“一战”时期四面受敌的德国。1918年德意志战败，当年哈伯却因另一项发明—用氢和氮合成氨—获得诺贝尔化学奖（物理学奖的得主也是德国人、量子力学的开创者普朗克）。这一点足以说明，瑞典确实保持了中立国的立场。可是，冯·诺伊曼到柏林以后，却意外地“失踪了两年”。

事实上，那时他的主要兴趣在集合论方面，虽然在大学听过爱因斯坦的讲座，但更多地受到数学老师施密特的影响。施密特是希尔伯特早年的学生，也是策梅罗（Z）的朋友。后者为消除罗素悖论率先提出了一个公理化的集合论，可惜在明确性方面存在歧义。几年以后，另一位德国数学家弗兰克尔（F）提出了替代公理，这个集合论被称为ZF系统。1931年当哥德尔证明了不完备性定理以后，ZF系统成为康托尔连续统假设成立的唯一希望。直到1963年，这一希望才被美国数学家柯恩摧毁，后者因此获得了菲尔兹奖。

1923年，冯·诺伊曼终于完成了他的长篇论文，投给德国《数学杂志》，编辑交给弗兰克尔审阅。弗兰克尔读后深感震惊，随即邀请20岁的冯·诺伊曼到德国中西部的马伯里作客，最后建议他以“集合论的一种公理化”为题发表。冯·诺伊曼所建立的公理体系后经瑞士数学家贝尔纳斯（B）和奥地利数学家哥德尔（G）的完善，形成了集合论中一个新的系统—NBG系统，至今它仍是集合论最值得信赖的基础之一。

多年以后，已经移居以色列的弗兰克尔回忆往事，引用了18世纪瑞士数学家贝努利读到牛顿论文时说的一句话：“从爪印判断，这是一头狮子。”这篇论文尚未发表，已经在重量级人物中间传阅，从那时起，化学系本科生冯·诺伊曼便时常受邀到哥廷根，成为数学大师希尔伯特家的常客。相差40多岁的一老一少常在书房或花园里一待就是几个小时，弄得哥廷根一些教授心里不是滋味。有趣的是，也是在那两年里，现代主义文学的代表作艾略特的《荒原》和乔伊斯的《尤利西斯》得以问世。

现在，让我们把目光转向苏黎世。冯·诺伊曼在柏林的两年，只是修了一些化学的基础课程，拿学位却要到苏黎世。1923年秋天，他在苏黎世联邦工业大学开始了第二阶段的学习。虽然功课全优，但摔破的实验室玻璃容器难以计数。其时，他早已经与这所大学两位最好的数学家—外尔和波利亚建立了密切的关系。外尔去外地讲学开会的时候，化学系本科生冯·诺伊曼会代课。波利亚说过最怕哥德尔提问，有一次他在课上提起一个悬而未决的数学问题，下课时已经被冯·诺伊曼解决了。

1925年夏天，冯·诺伊曼在苏黎世获得化学工程学士学位。次年春天，他在布达佩斯通过数学博士论文答辩，年仅22岁。在希尔伯特的安排下，他来到哥廷根做访问学者，此时他已经被量子力学迷住了。那以后，他被柏林大学聘为无薪讲师。这是19世纪以来德国为那些有意走学术之路的年轻人设置的岗位，也是取得教授席位的必由之路。没有编制和薪水，所得酬劳来自修课学生的学费，这迫使年轻人发愤图强。

冯·诺伊曼在柏林大学待了两年以后，又转到了汉堡大学。在担任无薪讲师期间，他在集合论、代数学和量子理论方面取得了一系列重要的研究成果，受到了数学界的瞩目。例如，在测度论方面，冯·诺伊曼发表了《一般的测度理论》，把测度问题从欧氏空间推广到一般的非阿贝尔群，证明了所有可解群都是可测度的。在算子理论方面，冯·诺伊曼首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，从中建立起了自己的谱理论，这是泛函分析诞生的必要条件。

迄今为止，牛顿力学仍统治着这个世界的大部分领域，适用于我们肉眼所能看见的一切事物。当物体运动速度太快时，爱因斯坦相对论的某些定律才开始起作用。量子力学是理论物理学和现代技术的基础，它直接导致了电子革命和原子弹的诞生。量子力学的一个基本点是原子状态的数学描述，冯·诺伊曼证明了：原子的状态可用希尔伯特空间中的单位向量来表示，这使得量子力学的两种表示方式，即海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学相互统一。