困难和优点

困难和优点

满足上面几条要求的定义，最简单的就是认为无限就只有一种，所有的无限集合都一样大，而它们都大于有限集合。这其实是康托尔创立集合论以前数学家的看法，所以康托尔把无限分成许多类的革命性做法使得数学家们大吃了一惊。但是这样的定义未免太粗糙了一点，只不过是把“无限集合比有限集合大”换了种方法说罢了，我们看不出这有什么用处。没有用的定义不要也罢——再说在这种定义中，自然数和正偶数也一样多，因为所对应的集合都是无限集合。

如果我们在上面几条要求中，再加上“整体大于部分”这条要求会怎么样呢？

我们想像平面上有条射线，射线的一端是原点，然后在上面我们每隔一厘米画一个点，并在每个点旁边标上1、2、3……等，这样就有无穷个点。那么这个点集和自然数集合比较大小的结果应该如何？按照我们前面的要求，任何两个集合都应该可以比较大小的。我们很容易想像到，这其实是一条数轴的正半轴，上面的点就是代表自然数的那些点，所以这些点的个数应该和自然数的个数相同。而且，按照“整体大于部分”的规定，那些标有10、20、30……的点的集合比所有点的集合要小。但是“一厘米”实在是非常人为的规定，如果我们一开始就每隔一分米画一个点，顺着上面的思路，这些点的个数也该和自然数一样多，但是这恰好是按一厘米间隔画点时标有10、20、30……的点啊！那些点始终是一样的，所以它们的个数不应该取决于在它们的旁边标记的是“1、2、3……”还是“10、20、30……”。

再举一个例子。假设给你一个大口袋，里面有无限多个小口袋，上面按照自然数标了号1、2、3……。在1号口袋中有1粒豆子，2号口袋中有2粒豆子，……依次类推。现在当着你的面拿掉1号小口袋，那么剩下的小口袋数和原来的相比如何？如果按照“整体大于部分”的观点，应该是少了，少一条。但是如果有人当初就背着你拿掉1号口袋，然后从其他每个小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的号码改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋给你，你显然不会知道我做了手脚，因为这时大口袋里的东西和原来没有任何区别，所以小口袋的数量和原来一样多。这就和“少一条”矛盾了，从小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的标号不应该改变口袋的数量。大家明白这只是打了一个比方，大口袋就是一个集合。按照上面的要求，集合的大小只应该取决于集合本身，而不应该取决于集合的表示方法或构造方法，也就是得到集合的过程。你拿到了大口袋，也就是就应该知道里面小口袋的数量，而不用知道有人是否做过手脚。

这样的例子可以举很多。我们发现，如果坚持“整体大于部分”的话，固然可以使得某些集合和自己的子集相比较时，比如比较自然数和正偶数的个数时，符合“直观”和“常识”。但是更多的非常直观的东西和常识却都会变成错误的。比如说，x＇＝x＋1这样一个数轴上的坐标平移，会将坐标上的点集｛1，2，3……｝变为｛2，3，4……｝，一个坐标平移居然可以变动点集中元素的个数！“元素可以一一对应的两个集合大小相同”这条原理的失效，会使得我们在比较两个元素很不相同的集合时无所适从：怎样不使用一一对应的方法来比较自然数和数轴上（0，1）区间中点的个数？

在上面的两个例子中我们会有这样的感觉，对于无限集合来说，从部分中似乎可以“产生”出整体来。比如射线上的每隔一厘米画一个点的例子，如果我们把不是10的倍数的点去掉，然后将平面“收缩”到原来尺度的十分之一，我们就重新得到了原来的那个点集。在装豆子的口袋的例子中，只要从去掉1号口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我们就又得到了原来的那个大口袋。这暗示了无限集合的一个重要特点：从某种意义上来说，它和自己的一部分相似。事实上，无限集合的一个定义就是“能和自己的一部分一一对应的集合”。所以在无限集合大小的比较中，违反了“整体大于部分”的原则并不奇怪，因为这恰好就是无限集合的特征。

如果使用一一对应的比较方法，我们发现它满足所有前文中提出的关于集合大小定义的要求。而且除了“整体大于部分”这个我们已经解释过的不适用的原则外，不违反其他的直觉和常识。事实上用一一对应的方法来比较两个集合的大小，也是非常符合直观的。如果有两盒火柴，我们想比较哪盒中的火柴数量更多，我们大可不必去数出每盒中火柴的数量，那样很容易出错。其实只要从不断地从两盒火柴中拿掉相同数量的火柴，最后如果同时两盒都不剩下火柴，那么就说明数量一样多，否则就是还剩有火柴的那盒比较多。

而更重要的是，这样的定义非常有用。康托尔在提出他关于集合的基数理论后，非常简洁地证明了“几乎所有实数都是超越数”，而那个时候数学家连一个超越数的实例都还没有找到！引起第三次数学革命的罗素悖论也是从基数理论中产生出来的。虽然集合的基数理论现在已经为一般的数学系读者和许多数学爱好者所熟悉，数学家们还是能从中找到非常有趣和深奥的课题，比如说“超大集合理论”，这是关于一些基数大得匪夷所思的集合的理论。我们知道对于任何一个集合A，它的幂集P（A）（也就是它所有子集构成的集合）一定比它本身大，所以我们可以构造一系列的集合A，P（A），P（P（A））……一个比一个大，所以没有最大的集合。而“超大集合理论”声称，存在一个集合B，比前面这一系列集合中的每个都要大！

所以说，使用一一对应原则来定义集合大小，是数学家迫不得已和最佳的选择。