轴上点的光束结构与像差

14.1.1　轴上点的光束结构与像差

由于共轴光学系统对称于光轴，轴上物点发出并通过光学系统的锥形光束中心轴与光轴重合，位于通过光轴的任意截面内的光束结构均与子午面内光束结构相同。因此，可以用子午面内的光束结构及其变换情况来描述整个光束的结构及轴上点的像差情况。图14.1（a）描述了轴上有限远的单色光物点通过凸透镜成像的情况。

1）轴上点球差

由第2章例题2.2光路计算发现，轴上物点通过单折射球面成像时，物点发出的与光轴夹角不同的光线，其像方共轭光线与光轴交点的位置随U角（相应光线入射高度h）的不同而不同；同样对于单色光物点通过凸透镜成像时，其像方共轭光线与光轴的交点到球面顶点的距离L₁＇、…、L₄＇亦随U角的增大而减小。而且U角越大，L＇减小越迅速，如图14.1（b）所示的曲线所示。这种这像方共轭光线与光轴交点的位置随光线入射高度（光束孔径角）而变化的现象即为球差。

图14.1　单色轴上点光束结构与像差

通常用不同入射高的光线与光轴的交点A＇到近轴像点（理想像点）A₀＇的距离δL＇来表示轴上点球差的大小，称之为轴向球差简称球差。表为

δL＇=L＇－l＇　　　　　　　　　　　　　　（14.1）

其符号规则是：以理想像点为原点到实际光线与光轴的交点，向右为正，向左为负。图14.1（a）按符号规则标注了球差。通常将将轴向球差δL＇随入射高度h的变化规律以曲线（δL＇－h）表示，称之为球差曲线，如图14.1（b）所示。球差曲线可以反映整个光束的的球差情况，并代表了系统轴上物点成像质量的优劣。当球差为负时（δL＇＜0）称为球差欠校正；反之，δL＇＞0则称为球差过校正。由于球差的存在使图像变模糊对比度降低，从而降低了系统的分辨率。因此，光学系统的球差通常必须校正。

根据像差理论分析可知，球差的大小取决于光线在入瞳上的高度h，通常以如下幂级数形式表示：

δL＇=a₂h²+a₄h⁴+a₆h⁶+…　　　　　　　　　　（14.2）

式中，a₂、a₄、a₆...称为轴向球差系数，是与光学系统结构参数及物像距有关的系数。其中，首项a₂h²称为初级球差，其余项称高级球差。光学设计时，常用高级球差来平衡初级球差，即高级球差与初级球差取相反符号，使某一个或多个入射高度的光线球差为零，以实现全孔径球差的最佳校正。

球差除了用沿光轴方向的距离即轴向球差δL＇表示外，还可用实际光线与理想像平面的交点K到理想像点A₀＇的距离δy＇表示，如图14.1（a）所示。称δy＇为横向球差或垂轴球差，其符号规则是：以理想像点A₀＇为原点，到K点的距离，向上为正，向下为负。显然，在理想像平上反映垂轴球差的像方出射光线与理想像面交点K的轨迹为一系列半径不同的同心圆（随h不同而不同）。轴上点球差同样可以用垂轴球差与入射高h之间的关系曲线（δy＇－h）即垂轴球差曲线来表示，如图14.2所示。

由图14.1（a）可以看出，垂轴球差δy＇和轴向球差δL＇之间存在以下关系：

　　　　　　　　δy＇=δL＇·tgU＇=δL＇·h/L＇

　　　　　　　　　　 =（a₂h²+a₄h⁴+a₆h⁶+…）h/L＇=A₅h⁵+A₇h⁷+…（14.3）

式中：A₃=a₂/L＇，A₅=a₄/L＇，A₇=a₆/L＇称为垂轴球差系数，同样是与光学系统结构参数及物像距有关的系数。因为初级垂轴球差和h³成比例，所以初级球差又称为三级球差。

一般情况下，正透镜有欠校正的球差，而负透镜有过校正的球差。图14.3为利用一个具有负球差的正透镜和一个具有正球差的负透镜组合校正球差后的剩余球差曲线，从图中可以看出这种正负双胶透镜组合可改善球差的整体状况，使边缘孔径光线球差得到校正，但其他孔径光线还有剩余球差。

图14.2　凸透镜垂轴球差曲线

图14.3　正负透镜组合球差曲线

2）轴向色差

绝大部分光学系统用白光成像，而白光是复合色光即各种不同波长单色光的组合。由于构成透镜的光学玻璃的折射率随着光的波长（颜色）不同而改变，因而当光学系统用白光成像时，不同颜色（波长）光线所成的像面位置将不同。一般玻璃的折射率随波长减小而增大，这将导致短波长的光在透镜表面有更大的折射。图14.4（a）所示为一个正透镜用于对有限远轴上物点的成像情况。轴上点A发出白光，经透镜后，其中红光（C光）因折射率低，像点A_C＇离透镜最远，蓝光（F光）折射率高，像点A_F＇离透镜最近，黄绿光（d光）像点A_d＇居中。如果把一个屏分别置于A_F＇、A_d＇和A_C＇处，将依次形成以蓝、黄绿、红为中心的彩色弥散斑，即像平面在任何位置上都得不到一个清晰的白色像点，从而使整个像面模糊。这种轴上点成像位置因光线颜色（波长）不同而产生的差异，称为轴向色差或位置色差。存在色差的光学系统将使像点不再是一个白色的光点，而成为一个彩色的弥散斑。

轴向色差通常用接收器件光谱响应范围最边缘两种指定波长光线的像平面位置之差表示。目视光学仪器最常用的是波长为486.13nm的F（紫）光和波长为656.28nm的C（红）光，其位置色差定义为

图14.4　有限远轴上白光物点的成像与轴向色差

Δl_FC＇=l_F＇－l_C＇　　　　　　　　　　（14.4）

ΔL_FC＇=L_F＇－L_C＇　　　　　　　　　　（14.5）

上两式中：Δl_FC＇、ΔL_FC＇分别表示横向色差（近轴轴向色差）和色球差（孔径轴向色差）。当对F光和C光进行光路计算后，求得l_F＇、l_C＇或L_F＇、L_C＇，即可由上两式计算轴向色差精确值。

当Δl_FC＇＜0时，说明蓝光像点比红光像点靠近透镜，轴向色差是欠校正的；当Δl_FC＇＞0时，红光像点比蓝光像点靠近光轴，轴向色差是过校正的。通常正单透镜有欠校正的轴向色差，而负单透镜有过校正的轴向色差。若轴向色差为欠校正时（图14.4所示），将一个毛玻璃或白色屏放在像面附近，当由距透镜较近处向较远处（右方）移动时，在F光像面处，将首先看到中心为蓝色，外圈为红色，中间为黄绿色；当移至d光像面时，则中心为黄绿色，外圈为紫色（红蓝光重合）；当移至红光（C）像面时，则中心为红光，外圈为蓝光，中间为黄绿光。

为全面地描述轴上点的成像质量，可用图示法来表示。一般，在系统的有效光谱范围内，选取若干波长的光线（通常取三种）分别计算它们的球差，作出它们的球差曲线。例如对目视光学仪器，通常取C（656.28nm）、d（587.56nm）、F（486.13nm）这三种波长的光线计算球差，每一种波长的光线可以得到一条球差曲线，如图14.5（a）所示。由于存在轴向色差，这三条曲线并不重合，而且曲线的形状也不完全一样，因为不同波长光线的折射率不同，它们的球差也就各不相同。这种不同颜色（波长）光线的球差曲线，既能表示球差，也能表示色差，因此能够全面地反映出轴上点的成像质量。

图14.5　光学系统轴上点的轴向像差曲线

轴向色差对整个像面上成像质量都要产生影响，因此，对于白光成像系统，轴向色差要进行校正。校正的波长范围根据使用情况而定，对目视和一般照相系统，波长范围为从F光到C光。由于不同色光经光学系统后具有各自不同的球差，所以，不同孔径带的白光将有不同的位置色差。类似球差的性质，光学系统也只能对某一个孔径带光线校正色差。一般是对0.707带的光线校正位置色差，即ΔL_FC0.707＇=0称为消色差系统，如图14.5（b）所示。

由图14.5（b）可以看出，轴向色差只在全孔径的0.707处得到校正。在此处C光和F光和光轴的公共交点重合于B点，但该点并不与d光带孔径光线和光轴的交点A重合，习惯上把它们二者的偏差AB称之为二级光谱，以ΔL_FCd＇表示：

ΔL_FCd＇=ΔL_F0.707＇－ΔL_d0.707＇　　　　　　　　（14.6）

二级光谱是一种高级色差，它由光学材料的性质决定，用普通玻璃是很难校正的。对于焦距不长的普通光学系统，二级光谱的值较小，不必刻意校正；但对长焦距望远镜或平行光管物镜则必须采用特种玻璃材料加以校正。