顾客到达和服务的时间分布

1.顾客到达时间和服务时间的Poisson分布

(1)Poisson流(Poisson过程)

在概率论中,我们已经知道随机变量的Poisson分布。设随机变量X服从Poisson分布,则:

　　P[X=n]=　(λkengdiegt;0,λ=0,1,2,…)

　　如果一个随机变量,概率分布与时间t有关,则称这个随机变量为一随机过程,排队系统中顾客到达的个数就是一个随机过程。

满足以下四个条件的输入流称为Poisson流(Poisson过程)。

①平稳性:在时间区间[t, t+Δt)内到达k个顾客的概率与t无关,只与Δt有关。记为p_k(Δt)。

②无后效性:不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。

③普通性:设在[t,t+Δt]内到达多于一个顾客的概率为q(Δt),则

　　q(Δt)=O(Δt)

即=0

④有限性:任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。即

　　p_k(Δt)=1

　　(2)Poisson流的概率密度函数

对于一个参数为λ的Poisson流,在[0,t)内到达k个顾客的概率为

　　p_k(t)=e^-λt　k=0,1,2,…　λkengdiegt;0

即服从以λ为参数的Poisson分布。

(3)参数λ的实际意义

设N(t)表示在[0,t)内到达的顾客数的期望值

　　N(t)=kp_k(t)=ke^-λt

=(λt)e^-λt=(λt)e^λte^-λt=λt

由此得到

　　λ=

即λ的实际意义为单位时间内到达的顾客数的期望值,或称平均到达速率。

2.顾客到达时间和服务时间的负指数分布

(1)负指数分布的定义

由概率论可知,如果随机变量T服从负指数分布,则其分布函数为

　　F_T(t)=1-e^-μt　t≥0　μ≥0

　　密度函数为

　　f_T(t)=μe^-μt　t≥0　μ≥0

　　T的期望值为

　　E(T)=tf_T(t)dt=tμe^-μtdt=

　　T的方差为

　　D(T)=

　　(2)负指数分布的性质

负指数分布具有以下重要性质:在排队系统中,如果到达的顾客数服从以λt为参数的Poisson分布,则顾客相继到达的时间间隔服从以λ为参数的负指数分布。

可以看出,“到达的顾客数是一个以λ为参数的Poisson流”与“顾客相继到达的时间间隔服从以λ为参数的负指数分布”两个事实是等价的。

3.k阶Erlang分布

设v₁,v₂,…,v_k是k个互相独立的,具有相同参数μ的负指数分布随机变量,则随机变量为:

　　S=v₁+v₂+…+v_k

服从k阶Erlang分布,S的密度函数为

　　f(t)=e^-μt　tkengdiegt;0