金钱的效用

16.3.1 金钱的效用

效用理论在经济学中有其根源，而且经济学为效用度量提供了一个明显的候选：金钱（或者更特定的，一个智能体的净资产）。几乎所有种类的货物和服务都具有普遍的金钱可交换性，其可交换性暗示了金钱在人类效用函数中扮演着重要的角色。（事实上，大多数人认为经济学是研究金钱的，然而经济这个词的根源真正所指的是管理，而且经济学当前的重点是对选择的管理。）

如果我们将注意力限制在智能体拥有的只影响金钱数量的行动上，那么通常情况下，智能体偏好更多的金钱而不是更少的金钱，而所有其他东西都被当作同等的。我们称该智能体对于确定数量的金钱显示出单调的偏好。然而，这并不足以保证金钱能表现得如同一个效用函数，因为它并没有任何关于涉及金钱的彩票之间的偏好的论述。

假设在一个电视游戏节目中，你击败了其余竞争者。主持人现在给了你一个选择：要么你可以拿走$1 000 000（一百万美元）的奖金，要么你可以通过掷硬币赌一次。如果硬币正面朝上，你的结局是一无所获，但是如果硬币背面朝上，你最终能得到$3 000 000。如果你像大多数人一样，那么你就会拒绝赌博而拿走这一百万。你是不理性的吗？

假设你相信硬币是均匀的，该赌博的期望货币价值（EMV）是 0.5 ($0)+0.5 ($3,000,000) =$1,500,000，而直接取走原始奖金的EMV当然是$1,000,000，要比打赌的EMV少。但这并不一定意味着接受赌博是一个更好的决策。假设我们用Sn表示拥有总共n美元财产的状态，而你当前的财产是k美元。那么，接受和拒绝赌博的两个行动的期望效用分别是：为了决定该怎么做，我们需要给结果状态分配效用。效用并不直接与货币价值成正比，这是因为你的前一百万的效用——生活方式的积极变化——很高（或者说，大家都是这样告诉我们的），而额外的一百万的效用要小的多。假设你给当前财务状况（Sk）分配一个效用值 5，给状态 Sk+3,000,000分配效用值10，给状态Sk+1,000,000分配效用值8。那么理性的行动将是拒绝赌博，因为接受赌博的期望效用只有7.5（小于拒绝的8）。另一方面，假设你刚好已经在银行里有了$500 000 000（一个假设是参加游戏纯粹为了乐趣）。在这种情况下，你可能会接受赌博。这是因为第 503 个百万的额外好处可能与第 501个百万的好处差不多。

在实际效用函数的先驱研究中，Grayson（1960）发现金钱的效用几乎正好与其数量的对数成比例。（这个观点最早是由贝努利(1738)提出的；参见习题16.3）。图16.2(a)显示了对于某个Beard先生的一条特殊曲线。从Beard先生的偏好中得到的数据与下面这个效用函数在从n = −$150 000到n = $800 000的范围内是一致的：

U(Sk+n)=−263.31+22.09 log(n+150 000)

图16.2 金钱效用。(a)在有限范围内Beard先生的经验数据。(b)整个范围内的典型曲线

我们不应该假设这是对于货币价值的确定的效用函数，但是可能大多数人都有一个对于正财产是凹的效用函数。负债通常被认为是灾难性的，不过对于不同级别债务的偏好能够显示出与正财产相关联的凹度的反转。例如，有一个基于掷一枚均匀硬币的赌博，正面朝上赢$10 000 000，背面朝上输$20 000 000；那么对于已经负债$10 000 000的某人而言，很可能接受这个赌博[29]。这样得到图16.2(b)所示的S形的曲线。

如果我们将注意力限制在曲线的正值部分上，该处的斜率是递减的，那么对于任意彩票 L，面临该彩票的效用小于把彩票的期望货币价值当作确定事物处理的效用：

U(L) < U(SEMV (L))

这就是说，有此形状曲线的智能体是风险规避的：它们偏好比赌博的期望货币价值小的确定收益。另一方面，在图16.2(b)中所示的大数额负财产的“绝望”区域，智能体的行为是风险追求的。一个智能体能接受的替代彩票的价值被称为该彩票的确定等价物。研究表明大部分人将会接受用$400替代一次赌博，赌博的结果是有一半时间给$1000，而另一半时间给$0——也就是说，该彩票的确定等价物是$400。一个彩票的期望货币价值及其确定等价物之间的差别称为保险费。风险规避是保险业的基础，这是因为它意味着保险费是正的。人们宁愿付出少量的保险费，也不愿意以他们的房屋的代价来赌博不会发生火灾的机会。从保险公司的角度来看，房屋的价钱与整个公司的储备金相比是很小的。这意味着保险人的效用曲线在这个小区域内是近似线性的，这个赌博对保险公司而言几乎没有代价。

注意到对于与当前财产有关的财产的小变化，几乎任何曲线都将是近似线性的。一个拥有线性曲线的智能体被称为是风险中立的。因此，对于总和很小的彩票，我们期望其风险中立性。在某种意义上说，这论证了在第十三章中为评估概率和证明概率公理而提出的小规模赌博的简化过程是合理的。