符号和解释

8.2.2 符号和解释

现在我们转向讨论语言的语法。心急的读者可以从图 8.3 中的一阶逻辑的形式语法中获得一个完整的描述。

一阶逻辑的基本句法元素是代表对象、关系和函数的符号。因此，这些符号以3种类型出现：代表对象的常量符号、代表关系的谓词符号以及代表函数的函数符号。我们按照惯例，这些符号的起始字母都大写。例如，我们可以采用常数符号 Richard 和 John；谓词符号 Brother、OnHead、Person、King和Crown；函数符号LeftLeg。而对于命题符号，名称的选择完全取决于用户自己。每个谓词和函数符号同时还伴随一个确定参数个数的元数。

语义必须把语句和模型联系起来以便判定真值。为此，我们需要一个对分别被常量、谓词和函数符号指代的对象、关系和函数进行详细说明的解释。我们的实例的一个可能解释——我们将称之为预期解释——如下所示：

• Richard指代狮心王理查，John指代邪恶王约翰。

• Brother指代兄弟关系，即公式（8.1）中给出的对象元组集合；OnHead指代在王冠和约翰王之间成立的“在…头上”关系；Person、King和Crown分别指代人、国王和王冠的对象集。

• LeftLeg指代“左腿”函数，即公式（8.2）给出的映射。

图8.3 包括公式的一阶逻辑语法，以巴克斯-瑙鲁范式详细说明。（如果对这一符号系统不熟悉，请参见附录B.1节。）语法对括号的使用有严格的要求；第7.4.1节关于括号和算符优先级的说明同样适用于一阶逻辑

有多种将这些符号和这个特殊模型联系起来的其它可能解释。例如，某个解释可以将 Richard 映射到王冠，而John映射到约翰王的左腿。模型有5个对象，因此仅对常数符号Richard和John就存在25种可能的解释。需要注意的是，不是所有的对象都必须有名称——例如，预期解释并没有对王冠和左腿命名。一个对象可能有多个名称，有一种解释下，Richard和John都指代王冠。如果你发现这一可能性令人困惑，那么回顾命题逻辑，它完全可能有这样的一个模型，在该模型中Cloudy（多云）和Sunny （阳光灿烂）同时为真；排除跟我们的知识不一致的模型是知识库的任务。

任意语句的真值由一个模型和对句子符号的解释来判定。因此，蕴涵、合法性等等都根据所有可能模型和所有可能解释来定义。尤其要注意，每个模型中的域元素的数量可能是无限的——例如，域元素也许是整数或者实数。因此，可能模型的数量是无限的，解释的数量也是无限的。通过枚举所有可能模型以检验蕴涵，在命题逻辑中是可行的，但在一阶逻辑中是不可行的。即使对象的数量是有限的，组合的数量仍然可能非常大。对于我们实例中的符号，一个有5个对象的域大约存在1025个组合（参见习题8.5）。