三角形的心

我曾经教过一段时间的初中数学竞赛课，下面这些内容来源于我在初三数学竞赛课的一份讲义。这节课的主题本是四点共圆，但由此引出了三角形中很多漂亮的性质，让人深感平面几何之美。不管你是否喜爱数学，你都会被这些奇妙的结论所震撼。

三角形的奇迹首先表现在各个“心”上：三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点（见图 1）。3 条角平分线交于一点，这个点就叫做三角形的“内心”，它是三角形内切圆的圆心；3条边的中垂线交于一点，这个点就叫做三角形的“外心”，它是三角形外接圆的圆心；三角形的3条中线也交于一点，这个点叫做三角形的“重心”，因为它真的就是这个三角形的重心。用力学方法可以很快推导出，它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本节后面某个出人意料的地方再次出现。

三角形的3条高也不例外——它们也交于一点，这个点就叫做三角形的垂心。

图1

垂心看上去很不起眼，但深入研究后即会冒出很多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形将会产生出共圆的四点，因此画出三角形的3条高后，会出现大量四点共圆的情况，由此将挖掘出一连串漂亮的结论。让我们先来看一个简单而直接的结论。

定理 若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2（见图2）。

图2

证明 由于∠AFC=∠ADC=90°，因此 A、C、D、F 四点共圆。由于圆内接四边形对角互补，因此∠1=180°-∠CDF=∠A。同理，由A、B、D、E四点共圆可知∠2=∠A。因此∠1=∠2。

如果把三边垂足构成的三角形称作“垂足三角形”的话，我们就有了下面这个听上去很帅的推论。

推论 三角形的垂心是其垂足三角形的内心（见图3）。

图3

证明 因为 AD垂直于 BC，而刚才又证明了∠1=∠2，因此∠3=∠4，即 HD平分∠EDF。类似地，HE、HF都是△DEF的内角平分线，因此H是△DEF的内心。

另一个有趣的推论如下。

推论 将△ABC沿AC翻折到△AB'C，假设EF翻折到了EF'，则EF'和DE共线。（见图4）。

图4

证明 这可以直接由图４中的∠1=∠2推出。

1775年，法尼亚诺（Fagnano）曾经提出了下面这个问题：在给定的锐角三角形ABC中，什么样的内接三角形具有最短的周长。这个问题就被称作“法尼亚诺问题”。法尼亚诺自己给出了答案：周长最短的内接三角形就是垂足三角形。下面我们就来证明这个结论。

定理 在△ABC的所有内接三角形中，垂足三角形△DEF拥有最短的周长。

图5

证明 像图 5 那样，把三角形翻折五次，得到折线段 DEF₁D₂E₂F₃D₄。这条折线段的总长度等于内接三角形 DEF 周长的两倍。注意到，由前面提到的垂足三角形的性质可知，这条折线段正好组成了一条直线段。另外，注意到如此翻折之后，BC 和B₂C₂是平行且相等的，而且D和D₄位于两线段上相同的位置，因此从D到D₄的折线段总长总是以直线段DD₄最短。这就说明了，垂足三角形△DEF拥有最短的周长。

不过，这还不够震撼，垂心还有不少的本事。四点共圆还会给我们带来其他的等角。

定理 若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2（见图6）。

图6

证明 由于∠BFH=∠BDH=90°，因此B、F、H、D四点共圆，因此∠1=180°-∠FHD=∠2。

这将给我们带来下面这个非常漂亮的推论。

推论 把△ABC的垂心H沿BC边翻折到H'，则H'在△ABC的外接圆上（见图7）。

图7

证明 由于 H 和 H'沿 BC 轴对称，因此∠H'=∠1。而前面已经证明过了，∠1=∠2。因此，∠H'=∠2。而∠H'和∠2都是AC所对的角，它们相等就意味着A、C、H'、B是四点共圆的。

换一种描述方法，这个结论还可以变得更酷：

推论 把△ABC 的垂心 H 沿三边分别翻折到 H1、H2、H3，则 A、B、C、H1、H2、H3六点共圆（见图8）。

图8

证明 这可以直接由前面的结论得到。

另一个更加对称美观的结论如下：

推论 若 D、E、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，H 是垂心，则 AH·DH=BH·EH=CH·FH（见图9）。

图9

证明 做出△ABC 的外接圆，然后延长 HD、HE、HF，它们与外接圆的交点分别记作H₁、H₂、H₃。前面的结论告诉我们，HH₁=2HD，HH₂=2HE，HH₃=2HF。而相交弦定理（经过圆内一定点的弦，被该点分得的两条线段的长度乘积为定值，这可以由相似三角形迅速得证）告诉我们，AH·HH₁=BH·HH₂=CH·HH₃。各等量同时除以2，就有AH·DH=BH·EH=CH·FH。

让我们再来看一个与外接圆有关的定理。

定理 若 D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，H是垂心。过 C作 BC的垂线，与△ABC的外接圆交于点G。则CG=AH（见图10）。

图10

证明 我们将证明四边形AHCG的两组对边分别平行，从而说明它是一个平行四边形。注意到CG和AD都垂直于BC，因此CG和AD是平行的。由于∠BCG是直角，这说明BG是圆的直径，也就说明∠BAG也是直角，即GA垂直于AB。而CF也垂直于AB，所以AG与CF平行。因而四边形AHCG是平行四边形，CG=AH。

它也能带来一个更帅的推论。

推论 若 H是△ABC的垂心，O是△ABC的外心，则 O到 BC的垂线段 OM与AH平行，并且是AH长度的一半（见图11）。

图11

证明 前面我们证明了，图11中的CG与AH平行且相等。注意到BG是外接圆的直径，BG的中点就是圆心，也就是△ABC的外心O。垂线段OM是△BCG的中位线，它平行且等于CG的一半，从而也就平行且等于AH的一半。

好了，下面大家将会看到的就是初等几何的瑰宝。

推论 三角形的垂心、重心和外心共线，且重心在垂心和外心连线的三等分点处（见图12）。

图12

证明 把AM和HO的交点记作X。刚才我们已经证明了，AH与OM平行，且长度之比为2:1。因此，△AHX和△MOX相似，相似比为2:1。由此可知，HX:XO=2:1，即X在线段HO的三等分点处。另外，AX:XM=2:1，也就是说X在三角形中线AM的2:1处。这说明，X正是三角形的重心！

任意给定一个三角形，它的垂心、重心和外心三点共线，且重心将垂心和外心的连线分成 2:1两段。这个美妙的结论是大数学家欧拉在 1765年发现的，因而三角形中垂心、重心、外心所成的直线也就叫做“欧拉线”。

在三角形中，与内心、外心、重心、垂心有关的结论还有很多，我们很难在一篇文章里把它们讲完。事实上，三角形的心也不止这么几个。1994年，美国数学教授克拉克·金伯林（Clark Kimberling）开始收集历史上被数学家们研究过的三角形的心，并建立了“三角形中心百科全书”的网站。这个网站记录了几乎所有目前已知的三角形的心。在这部百科全书里，每个三角形的心都有一个编号，编号为n的心就用符号X（n）来表示，其中X（1）到X（8）分别为内心、重心、外心、垂心、九点圆圆心、类似重心、热尔岗（Gergonne）点和奈格尔（Nagel）点。不但每个心都有自己独特的几何性质，各个心之间还有大量共线、共圆的关系。

这个网站的地址是http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html。目前，整个网站已经收集了近5000个三角形的心，且这个数目还在不断增加。