社会福利函数

根据上一节的讨论，完全竞争条件下，经济社会的一般均衡能够实现资源配置的帕累托最优。但是，资源配置的帕累托最优是否能够同时实现社会福利最大化？经济学的一项重要任务就是研究如何增进社会福利。社会福利的增进体现在社会每一个成员效用水平的提高上。如果按照某一标准，社会每一个成员的效用水平都提高了，我们就可以说社会福利增进了。如果能够通过某一途径使社会福利达到最大，当然是一件幸事。但是什么是社会福利最大化？用什么标准来测度社会福利？

完全竞争的市场经济在一定假设条件下可以满足一般均衡下实现帕累托最优的三个条件，从而实现社会福利最大化。但帕累托最优只是社会福利最大化的必要条件，只是表明社会的经济福利最大而不是社会福利最大。仅凭帕累托最优状态条件本身还不能决定在哪一点社会福利最大。由之前对生产和交换的帕累托最优状态的条件分析，我们知道帕累托最优状态不是一个而是无数个。一个社会的经济福利不仅依赖于它的总量，还依赖于这一总量在个人之间的分配状态，因此，检验社会福利的标准应包括资源配置的效率标准和收入分配的公平标准两个方面。合理分配是社会福利最大的充分条件。只有同时解决效率和公平问题，社会福利才能达到唯一最优状态。帕累托最优状态表达的是在既定的收入分配状况下实现生产资源有效配置所具备的条件，只解决了经济效率问题，并没有解决合理分配问题。为解决社会福利唯一最优状态问题，西方经济学引入社会福利函数。

一、效用可能性曲线的引出

根据帕累托最优状态所要求的三个边际条件，萨缪尔森提出了效用可能性曲线与效用可能性边界的概念。

图10-7　效用可能性曲线边界

如图10-6所示，生产可能性曲线BB′上任意一点都表示生产的帕累托最优状态，对于BB′曲线上任意一点如E都存在一个相应的埃奇沃斯盒形图，图中交换契约曲线VV′上的每一点都表示既定的产量分配下消费者A、B所得到的各种不同效用的组合。如果将这些组合点在以横轴表示消费者A的效用水平、纵轴表示消费者B的效用水平的坐标系中表示出来，就可以得到一条如图10-7所示的效用可能性曲线Ui（i=1，2，3，…，n），反映了两个消费者同时处在契约曲线上时的满意程度。由于帕累托生产最优可以有无数个组合，每一个组合点，即生产可能性曲线上的每一点，都相应产生一条效用可能性曲线，因此，可以在效用图形中做出无数条效用可能性曲线。每一条效用可能性曲线都表示消费者A、B利用既定的X、Y产品所能得到的效用组合。又在每一条效用可能性曲线上都可以找到这样一点ei（i=1，2，3，…，n），该点同时满足生产与交换的帕累托最优条件。连接各条效用可能性曲线上所有满足生产与交换的帕累托最优条件的点，所得到的图10-7中的UU′被称为最大效用可能性曲线或社会福利界限。^[9]

从图中可以看出，UU′曲线将整个效用空间划分为三个部分。UU′曲线以内的各点表示现有资源和技术条件下可以达到但却不是最大的效用组合，因而是低效率的配置点；而UU′曲线以外的各点都表示现有资源和技术条件下无法达到的效用组合，因而是无法实现效率的配置点；而UU′曲线上各点都符合帕累托最优状态所要求的三个边际条件，是效用最大的可能性区域，因而是最有效率的配置点。但是，有效率的配置点就一定是公平的点吗？无效率的配置点就一定是不公平的点吗？仅从图10-7中效用可能性边界线UU′上的点不能给出回答。福利经济学的目的是在效用可能性区域中寻找使社会福利达到最大的点，但由于UU′曲线还无法说明社会福利在哪一点达到最优，为此，我们还要引人社会福利函数概念。

二、社会福利函数的引入

为了解决上述问题，必须要知道在效用可能性曲线上每一点所代表的社会福利的相对大小，或者更一般地说，必须要知道效用可能性区域或整个效用空间中每一点所代表的社会福利的相对大小，这就是所谓的社会福利函数。于是首先要定义社会福利及其函数。社会福利及其函数是许多复杂因素相互作用的结果，常用来评价政策对于不同的人产生不同的影响。严格地说，任何一种社会福利函数都与一种有关公平的特定观点相联系。但是，不同的经济学家对于社会福利有不同的理解，对社会福利函数的使用也不同^[10]。但为便于分析，社会福利函数通常被简化为反映社会所有个人的效用水平和社会福利水平之间关系的函数，并且赋予每个人的效用相同的权数，于是社会福利函数是个人效用函数的增函数。假设社会中共有n人，社会福利函数可以记做：

社会福利函数可以看作一组无差异曲线，用以描述整个社会的福利而非一个人的福利。为了使问题简单化，假定经济中只有两个人，其效用水平分别为UA和UB，而社会福利水平为W，那么，社会福利函数可以写为：

给定上式，由一个效用水平组合（UA，UB）可以求得一个社会福利水平。如果我们固定社会福利水平为某个值，例如另W=W1，则社会福利函数成为：

上式表明，当社会福利水平为W1时，两个消费者之间的效用水平UA和UB的关系。该关系的几何表示就是图10-8中的曲线W1。曲线W1被称为社会无差异曲线。在该曲线上，不同的点代表不同的效用组合，但所表示的社会福利却是一样的。故从社会的角度来看，这些点均是“无差异的”。同样地，如果令社会福利水平为W2和W3，亦可以得到相应的社会无差异曲线W2和W3。通常假定这些社会无差异曲线与单个消费者的无差异曲线一样，也是向右下方倾斜且凸向原点，并且较高位的社会无差异曲线代表较高的社会福利水平。

图10-8　最大社会福利

三、社会福利最大点的寻找

如果将社会无差异曲线（即社会福利函数）与效用可能性曲线UU′结合便可确定最大社会福利。从图10-8中可以看到，最大社会福利显然在效用可能性曲线UU′和社会无差异曲线W2的切点e上达到。这一点被称为“限制性条件下的最大满足点”。这是能导致最大社会福利的生产和交换的唯一点。其所以称为限制条件下的最大满足点，是因为它不允许为任何可能值，即不能任意选择，而要受到既定的生产资源、生产技术条件等的限制。UU′曲线和社会无差异曲线W1交于S和S′点。这些点所代表的社会福利都低于W2，因而不是最大社会福利；W3是比W2更高的社会无差异曲线，也就是超出了现有条件下所能够达到的最大水平。

如果确实存在上述所谓的社会福利函数，则可以在无穷多的帕累托最优状态中进一步确定那些使社会福利最大化的状态，那么，资源配置问题便可以看成是彻底解决了。社会福利函数只有在社会偏好关系满足类似于单个消费者的理性和连续性假定时才存在。但这丝毫不意味着社会福利函数能体现个人的福利标准。美国经济学家肯尼斯·约瑟夫·阿罗在1951年证明的所谓“不可能定理”表明，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果，即不可能从满足理性消费者的偏好关系中形成具有同样性质的社会福利偏好。

四、社会福利函数不存在的讨论——阿罗“不可能定理”

社会福利函数明确表明，社会福利是建立在个人的效用函数基础之上，而个人的效用水平又是取决于不同的个体的价值判断，这就意味着社会的偏好顺序取决于不同的个体的偏好顺序。那么，能否通过一种社会机制把不同的个人偏好顺序综合为一种社会偏好顺序，从而编制出一个统一的全体社会成员都可以接受的社会福利函数呢？阿罗对此给予了否定的回答。

阿罗首先假定社会中的每个人都能够根据自己的偏好标准对一切可能的社会经济安排做出优劣排序。社会福利函数就是综合所有个人的排序信息，将其综合成全社会的排序。为了保证社会福利函数能被普遍接受，它必须满足以下五条性质：

（1）与个人的偏好一样，社会的偏好也必须能用无差异曲线或直接用偏好来排定其顺序，并且排列的原则始终一致。

（2）如果情况是社会偏好A，不是偏好B，那么当一个人或更多的人将其对A的偏好置于对B的偏好之上时，此时社会必须保持对A偏好胜于对B的偏好。

（3）假定某人对A的偏好胜于B，对B的偏好胜于C，并且A是社会的最大偏好。如果该人的偏好发生了一定的变化，认为A胜于C，C胜于B，那么不管社会对C和B的偏好是否变化，A仍然是社会的最大偏好。

（4）对于任意两种情况A和B，如果所有的个人对A的偏好都胜于对B的偏好，那么社会对A的偏好就胜于对B的偏好。

（5）社会对A的偏好胜于对B的偏好，不能只是因为一个人对A的偏好胜于对B的偏好，即不存在独裁。任何一个人的偏好都不能自动地占据统治地位而成为社会的偏好。

阿罗证明，上述几个条件彼此之间是无法调和的。如果一个社会不满足以上所有的条件，就有可能无法从个人偏好顺序得到社会偏好顺序。换一种说法就是，在某些条件下，社会福利函数的形成必然要违反以上的五个条件中的某几条。

阿罗的基本思想可以用一个普遍流行的例子来加以阐述：

假设经济中有甲、乙、丙三个人，他们分别对三种情况（经济安排）A、B、C进行投票用以确定社会对这三种情况的偏好。我们知道社会的偏好是融合了个人偏好信息的，即以个人的偏好为基础。因此，先假定甲对A、B、C三种情况的偏好顺序A＞B＞C，乙对A、B、C三种情况的偏好顺序是B＞C＞A，丙对A、B、C三种情况的偏好顺序是C＞A＞B。

首先，甲、乙、丙三人先对A、B两种情况进行社会投票，一人一票。那么，按照少数服从多数的原则，可知此时社会的偏好顺序是A＞B。然后，甲、乙、丙三个人再对B、C两种情况进行社会投票，同样采取少数服从多数的原则得出社会的偏好顺序是B＞C。最后，让甲、乙、丙三个人对C、A这两种情况进行投票，按少数服从多数的原则得出社会的偏好顺序又是C＞A。

显而易见，自由投票的三个结果中存在自相矛盾：对A、B两种情况进行全社会投票得到的结论是社会对A的偏好胜于对B的偏好，对B、C两种情况进行全社会投票得到的结论是社会对B的偏好胜于对C的偏好，那么此时根据“传递性假设”应该可以得出社会对A的偏好胜于对C的偏好。但是，我们知道社会对C、A这两种情况投票的结论却是社会对C的偏好胜于对A的偏好。于是矛盾产生了。

这个例子说明了按照民主投票的方式，依少数服从多数的原则，无法得出社会的偏好顺序，也就是无法得到公认的社会福利函数。该例子是选取了一种相互冲突的个人偏好顺序，故无法得到社会的偏好排序，除非采取独裁的方法即以某一个人的偏好代表社会的偏好。

结论：在不满足前述五个条件下，“不可能存在”适用于所有个人偏好类型的社会福利函数^[11]，社会福利最大点也就不存在。既然社会福利函数不存在，公共福利集体决策中采取多数一致的原则就成为必然。