施行假设检验的操作步骤

下面通过一个例子说明按上述思路实施假设检验的操作步骤.

例1　某化纤厂生产的化纤长度X服从正态分布N（μ，0.042），其中正态均值μ的设计值为1.40.每天对“μ＝1.40”作例行检验，观察生产是否正常进行；如不正常，则对生产设备进行调整和再次检验，直到正常为止.

某日从生产线上随机抽取25根化纤，测得其长度值为

x1，x2，x3，…，xn（n＝25）.

算得其平均长度＝1.38.问：当日生产是否正常？

这个问题提出的要求是对命题“μ＝1.40”给出“是”或“否”的回答.如果将此命题视为一个假设，对命题的判断就转化为对假设的检验.因此，该问题是一个假设检验问题，其检验步骤如下.

（1）建立假设.假设检验问题一般应建立两个假设：

原假设H0：μ＝1.40；

备择假设H1：μ≠1.40.

原假设H0的含义是“样本均值与设计值一致”，表示当日生产正常.欲使当日生产化纤的平均长度与设计值1.40一点不差很难实现，如果差异只是由较小的随机误差产生，则接受H0.如果差异由其他因素引起，则认为有显著差异，应该拒绝H0.由于我们将注意力集中在拒绝上，因此当拒绝原假设H0时，就应接受备择假设H1.

（2）选择检验统计量.该问题是对总体的正态均值μ进行检验，因此采用样本均值作为μ的估计，

在σ已知和原假设H0成立的条件下，经过标准化变换可得

其中μ0＝1.40，σ0＝0.04，n＝25.这里的z就是我们选用的检验统计量.

对这个检验统计量进行分析，可以知道：

我们将拒绝原假设H0的取值范围称为拒绝域.我们的注意力集中于构造一个拒绝域.设区分拒绝H0与不拒绝H0的z的临界值为c，如用W表示拒绝域，则有

W＝﹛|z|≥c﹜.

至于如何确定临界值c将在后面介绍.

（3）给出显著性水平α，确定拒绝域.在原假设H0为真的条件下，因为抽样的随机性，如果样本落在拒绝域W内，就会导致拒绝H0的错误，其概率记为α，这个α通常取一个较小的值，称为显著性水平.

由于在正态总体下，～N（0，1），因此发生这种错误的概率为

α＝P（拒绝H0|H0为真）

＝P（|z|≥c）＝1-P（|z|＜c）

＝1-[2Φ（c）-1]

＝2[1-Φ（c）]，

其中P（·）表示根据正态分布N（μ0，）计算概率，Φ（·）表示标准正态分布函数.由上式可得

只要给出α的值，通过查书末的Φ（z）表（附录2）就可求得c的值.若取α＝0.05，查表可得＝z0.975＝1.96，这个c的值就是区分拒绝域和接受域的临界值.于是拒绝域为

如图6.1所示.

图6.1　拒绝域

（4）作出判断.将样本数据代入统计量中算出统计量的值.如果该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1；如果该值未落入拒绝域W内，则接受H0.

由已知参数μ0＝1.40，σ0＝0.04，n＝25和样本均值＝1.38可得

因此样本落在拒绝域W内，所以应该拒绝H0，接受H1.即在显著性水平α＝0.05下，当日生产的化纤平均长度与1.40间有显著差异，需要检查调整生产设备，使生产过程恢复正常.