§6.2 偏导数与全微分
一、基本概念
1．偏导数（包括高阶）
2．可微与全微分
定义 若f（x，y）在P0（x0，y0）的近旁有定义，存在两个常数A，B，使得
称f在P0处可微，而Δz的线性主部AΔx＋BΔy就叫作f在P0点的全微分，记为dz，即
注 自变量的微分即为自变量的增量：dx＝Δx，dy＝Δy于是，
二、可微的条件
在一元函数情形，可微即可导，二者是等价的。但对于多元函数，可偏导和可微分不是一回事。
1．可微的必要条件是可偏导
若f（x，y）在P0（x0，y0）处可微，则f在P0点一定可偏导且（1）中的常数
A＝fx（P0），B＝fy（P0），
于是全微分的形式是
或
反之，一个可偏导的函数未必连续，当然更谈不上可微分。如
2．可微的充分条件是：连续可偏导（即fx，fy连续）
再利用一维的微分中值定理及fx，fy的连续性可证，思想的本质是降维。但可微函数的偏导数未必连续，如
偏导数连续情形所致的可微性亦叫做“连续可微”。
三、连续、可偏导、可微等的相互关系
上述图表中没有箭头表示不可逆推。请大家补充上反例。
近年考研中，有相当一部分题目是关于一个给出具体解析式的二元函数连续性，可偏导性，可微性的性质讨论。
试问：（1）f（x，y）在点（0，0）是否连续？
（2）f（x，y）在点（0，0）是否可微？
解 （1）连续性易证。
（2）在原点的两个偏增量Δxz＝Δyz＝0，故fx（0，0）＝fy（0，0）＝0。全增量
于是
注 当f在P0（x0，y0）处可偏导时，若仍记
dz＝fx（P0）Δx＋fy（P0）Δy
欲判定f在P0是否可微归结为验证以下极限式
是否成立。
若点P0即为原点（0，0）时，为了简化，在求极限时，不妨将Δx，Δy置换成x，y的记号。
例2 设二元函数
（1）求f′x（0，0），f′y（0，0）；
（2）证明：f′x（x，y），f′y（x，y）在（0，0）不连续；
（3）证明：f（x，y）在（0，0）处可微。
（武汉大学1995年）
解 （1）f′x（0，0）＝f′y（0，0）＝0，易得。
（2）（x，y）≠（0，0）时
利用极坐标变换
故f′x在（0，0）不连续，类似可得f′y在（0，0）不连续。
即化为
此式显然成立。（以（x，y）代替（Δx，Δy）即可以）。
例3 证明：若f′x（x0，y0）存在，f′y在P0（x0，y0）连续，则f在P0可微。
证 f′x（x0，y0）存在，故依一元函数的可微性，有
又在（x0，y0）的邻域f′y存在，依微分中值定理：
f（x0＋Δx，y0＋Δy）－f（x0＋Δx，y0）＝f′y（x0＋Δx，y0＋θΔy）Δy （0<θ<1）
此即f在（x0，y0）可微。
四、复合函数求偏导的链式法则
设由z＝f（x，y），x＝φ（s，t），y＝ψ（s，t）复合而得z＝f［φ（s，t），ψ（s，t）］，只要外函数f可微，内函数φ、ψ存在偏导数，则复合函数是可偏导的，且有如下的链式法则：
注1．内外层函数都可微的话，复合函数亦可微。
2．内外层函数仅仅存在偏导数的话，链式法则未必成立。如：
运用链式法则求复合函数的二阶偏导数是一类常见的题目。
在求导过程中需注意的是函数对某个中间变量的偏导数仍旧是多元复合函数，其结构与原来的函数相同。在弄清函数的复合关系基础上，确保运算不重复，不遗漏。
注 只有f具有二阶连续偏导数时，才有f″12＝f″21，混合偏导数项才能合并。在求混合偏导数时，就涉及一个计算顺序的选择问题，选择好可以简化运算。请看下面例子。
五、全微分的形式不变性
若以x，y为自变量的函数z＝f（x，y）可微，则其全微分为
当x，y是中间变量，而s，t是自变量时，设x＝φ（s，t），y＝ψ（s，t）可微。
则复合函数z＝f（φ（s，t），ψ（s，t））可微，其全微分
习题6.2
1．设
证明f（x，y）在点（0，0）处连续但不可微。
（南开大学1999年）
2．设二元函数
（1）求f′x（0，0），f′y（0，0）；
（2）证明：f′x（x，y），f′y（x，y）在（0，0）不连续；
（3）证明：f（x，y）在（0，0）处可微。
（武汉大学1995年）
3．设函数
其中p为正整数，试问对于p的哪些值：
（1）f（x，y）在原点连续；
（2）f′x（0，0），f′y（0，0）存在；
（3）f在原点有一阶连续偏导数。证明你的结论。
（中山大学）
（上海交大）
5．设函数φ（z）和ψ（z）具有二阶连续导数，并设u＝xφ（x＋y）＋yψ（x＋y）。
（中国科学院2000年）
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