一个样本与总体之间平均水平的差异显著性检验，即检验一个已知样本平均数与已知总体平均数的差异是否显著，如果这种差异是显著的，则说明已知样本不是来自已知的总体，而是来自一个与已知总体有着显著差异的另一个总体，如果差异不显著，则说明已知样本是来自这个已知的总体，或者来自一个与已知总体无显著差异的另一个总体，或者这种显著差异是由于抽样的原因造成的。
一个已知样本与一个已知总体平均数差异的显著性检验又分为两种情况：
一种是总体标准差是已知的，或者虽然总体标准差未知，但样本是大容量样本的检验；
另一种是总体标准差未知，且样本是小容量样本的检验。
对于这两种情况的平均数差异显著性检验方法各不相同，下面以实例分别介绍。
1. 当总体标准差已知，或者虽然总体标准差未知但样本为大容量样本时，可用Z检验方法进行检验。
统计推断：
（a）当Z＞Z0.01/2=2.56时，差异非常显著（双尾检验）；
（b）当Z＞Z0.05/2=1.96时，差异显著（双尾检验）；
（c）当Z＜Z0.05/2=1.96时，差异不显著（双尾检验）；
例99：某校在进行“数学自学辅导式教学研究”课题的研究中，实验班经过一年实施自学辅导式教学，在参加全市的升级会考中，已知全市的数学平均分为76.38分，标准差为23.82分，而实验班共有25人，平均分为84.69分。问：实验班的数学平均成绩与全市的数学平均成绩之间是否存在显著差异？
结论：因为总体平均分已知，所以尽管样本容量小于30，还是用Z检验进行检验：
先确定差异显著性水平：根据题意，由于预先并不知道实验班平均成绩一定优于非实验班成绩，所以属于双尾检验，取0.05为显著性水平。
统计推断：
在 0.05显著性水平上，双尾检验临界值为 z(0.05/2)=1.96，实得 z=1.744< z(0.05/2)=1.96 ，所以尽管实验班的平均分高于全市平均分，但两者之间不存在显著性差异，或者说，实验班的这次成绩可能属于一次偶然结果，它的平均水平与总体（全市）的平均水平是一致的，如果这样的推断有错误的话，只有5%的可能。
例100：某校对5个班的225人实施“化学分层递进教学”，在参加中考时已知全市化学平均分为83.14分，实验班的平均分为85.66分，标准差为14.27分。请问：实验班化学平均成绩是否与全市化学平均成绩有显著性差异？
结论：因为样本是大容量样本，尽管总体标准差未知，但还是用Z检验进行检验：
先确定差异显著性水平：根据题意，由于预先并不知道实验班平均成绩一定优于非实验班成绩，所以属于双尾检验，取0.01为显著性水平。
统计推断：
在 0.01 显著性水平上，双尾检验临界值为 Z (0.01/2)=2.56，实得Z=2.649> Z (0.01/2)=2.56 ，所以尽管实验班的平均分仅高于全市平均分的2.52分，但两者之间存在非常显著性差异，或者说，实验班取得了与总体非常显著的不同效果，如果这样的推断有错误的话，只有1%的可能。
2.当总体标准差未知，且样本为小容量样本时（n<30），可用t检验方法进行检验。
统计推断：
（a）当t＞t0.01（df）时，差异非常显著；
（b）当t＞t0.05（df）时，差异显著；
（c）当t＜t0.05（df）时，差异不显著；
其中t 0.01（df）、t0.05（df）通过查表可以得到。
t0.05（df）、t0.01（df）界值表
例101：某校对某班27名学生实施“考试心理辅导”课题的研究，在参加一次全市统一数学测试中，已知全市平均分为86.35分，实验班这27名学生的平均分为94.84分，标准差为12.28分。问这是否说明实验班学生的数学平均成绩与个市数学平均成绩有显著的差异？
结论：因为总体标准差未知，且样本容量小于30，属于小容量样本，所以采用t检验：
先确定差异显著性水平：取0.05为显著性水平。
由度df=n-1=27-1=26
统计推断：
在0.05显著性水平上，查t0.05(df)、t0.01(df)值表得到它的临界值为t0.05(26)=2.056，实得t=2.599＞ t0.05(26)=2.056 ，所以实验班学生的数学平均水平与全市数学平均水平两者之间确实存在显著性差异，或者说，实验班取得了与总体显著的不同效果，如果这样的推断有错误的话，只有5%的可能。
1. 两个独立本之间平均水平的差异显著性检验。
（1）两个独立大样本平均数差异显著性检验，可用Ｚ检验的方法。
两个独立大样本平均数差异显著性检验，可用Ｚ检验的方法进行检验，计量的计算公式是：
统计推断的方法与前面所介绍的Z检验方法相同。
例102：某校在A、B两个班进行“语文成功教学法”课题的研究，其中A班为实验班，有48人，采用“语文成功教学法”进行教学，B班为对比班，有45人，采用传统的语文教学法进行教学，在一次统一测试中，A班语文平均成绩为86.73分，标准差为12.48分；B班语文平均分为81.55分，标准差为14.58分。请问：这两个班所代表的两种教学法所取得的成绩是否确实存在显著性的差异？
结论：因为这两个班的人数都大于30，即n>30，所以是大容量样本，并且在教学过程中是互相独立的，不受影响的，因此采用Z检验方法进行检验：
确定显著性水平：取0.05为差异显著性水平。
统计推断：根据题意，预先没有充分理由说明采用“语文成功教学法”教学所取得的成绩一定优于传统教学法所取得的成绩，因此采用双尾检验。取 0.05为差异显著性水平，这时的临界值为Z (0.05/2)=1.96。因为计算实得的Z=2.022> Z (0.05/2)=1.96 ，所以，有95%的把握认为这两个班所代表的两种教学方法所取得的成绩存在显著性差异。
例 103：某校为了研究本届学生与上一届学生学习上的差异问题，今年的期末考试随机选取46人仍用去年的题目进行考试，结果物理平均分为87.94分，标准差为11.63分；从上一届中学生的成绩中也随机选取50人的物理成绩计算，平均分为90.65分，标准差为14.34分。问：这两届学生的物理成绩是否存在差异？
结论：因为这两样本的人数都大于30，即n>30，所以是大容量样本，并且在教学过程中是互相独立的，不受影响的，因此采用Z检验方法进行检验：
确定显著性水平：取0.05为差异显著性水平。
统计推断：取0.05为差异显著性水平，临界值为Z (0.05/2)=1.96。因为计算实得Z=-1.397，|Z|=1.397< Z (0.05/2)=1.96 ，所以这两届的学生物理成绩无显著性差异，也就是说，尽管这一届学生的物理测验成绩比上届低3.71分，但他们仍然是在同一个发展水平上，这样的推断有95%的把握，或是说如果推断有错误的话，只有5%的可能。
（2）两个独立小样本平均数差异显著性检验，可用t检验的方法。
两个独立小样本平均数差异显著性检验，可用t检验的方法检验，它的统计量的计算公式是：
统计检验的方法与前面介绍的t检验推断方法相同。
例104：有一所学校在进行“英语创新教育实验研究”课题研究过程中，参加了全市的一次测试，并从该校参加测试的学生中随机地抽取 16名学生的测试成绩进行计算，结果是平均分为96.55分，标准差为5.41分，又从全市其他考生中也随机地抽取15名学生的英语成绩进行计算，结果平均分为91.27分，标准差为7.38分。那么，进行“英语创新教育实验研究”所取得的教学成绩与未进行“英语创新教育实验研究”所取得的教学成绩是否存显著在差异？
结论：由于随机抽取的这两个样本的容量都小于30，且在实际教学过程中彼此互相独立，所以应该采用t检验方法进行检验：
计算统计量得：
自由度为df＝n1+n2-2=16+15-2=29
确定显著性水平：取显著性水平为0.05，则它的临界值为t0.05(29)=2.045。
统计推断：
由于计算实得 t=2.2068＞ t0.05(29)=2.045 ，所以，进行“英语创新教育实验研究”所取得的教学成绩与未进行“英语创新教育实验研究”所取得的成绩有显著差异。
2.两个相关样本之间平均水平的差异检验。
两个配对或相等相关样本平均数差异显著性检验，可用t检验方法检验，统计量的计算公式是：
统计检验推断的方法与前面所介绍的t检验方法相同。
例105：某校从初一新生中随机抽取20名学生进行为期一个学年的“创新思维能力训练研究”，在课题研究开始和结题时对这20名学生进行了两次创新能力的测试，平均分分别是72.5和78.3分，标准差分别是9.207和11.328分，这两次测试成绩的相关系数是0.681。问：进行“创新思维能力训练”前后的创新能力有没有显著的差异？
结论：因为这两次的测试成绩具有前后相关性，所以采用相关样本t检验法进行检验：
计算统计量得：
自由度df=n-1=20-1=19
确定显著性水平：
取0.01为显著性水平，这时它的临界值为t0.01(19)=2.861
统计推断：因为计算实得，t＝-2.9995，|t|=2.9995＞ t0.01(19)=2.861 ，所以参加创新思维能力训练前后的创新思维能力有非常显著的差异。
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