求解极限可以用哪些公式定理

在第一章里，我们介绍了数列的极限，现在我们来讨论另一种更为重要的极限，即函数的极限，它与数列的极限有本质的不同，但又有非常密切的联系。

我们曾以

表示a的ε邻域，N（a）表示a的某个邻域。以

表示a的去心ε邻域。如果不关心邻域的大小，以

N⁰（a）＝N（a）－｛a｝

表示a的某个去心邻域。

｜f（x）－A｜＜ε，

则称当x趋向于x₀时，f（x）趋向于A，记为

此时称A是f在x₀处的极限。如果不存在满足要求的A，则称f在x₀处的极限不存在。

注2.1.2　定义2.1.1中，我们不要求f在x₀处有定义。即使f在x₀处有定义，极限A也不一定与f（x₀）相等。

称之为ε-δ语言。

解　给定ε＞0，取δ＝ε．对于全部x∈（－δ,δ）－｛0｝，f是有定义的，且

所以

证明　我们利用不等式（请自证）

给定ε＞0，取δ＝ε²．对于全部x∈N⁰（x₀，δ）∩（0,＋∞），有

所以

｜f（x）－A｜＜ε．

｜f（x_n）－A｜＜ε．

即

｜f（x）－A｜≥ε₀．

｜f（x_n）－A｜≥ε₀．

例2.1.6　考察函数（见图2.2）．

令

则｛a_n｝与｛b_n｝都收敛于0。但是｛f（a_n）｝是恒等于0的常值数列，｛f（b_n）｝是恒等于1的常值数列，所以f在点0没有极限。

任何将两个不同的概念联系起来的定理都是好的定理，它就像建立在不同概念之间的桥梁。定理2.1.5揭示了函数极限与数列极限之间的内在联系，将函数的极限归结为数列的极限，因而被称为“归结原理”。它使得我们很自然地把关于数列极限的结果“翻译”为函数极限的情形。

定理2.1.7　函数的极限是唯一的。

证明　设

则

证明　我们只证明（3），其他的证明与（3）的方法完全相同。

任取D－（x₀）中收敛于x₀的数列｛x_n｝．由定理2.1.5，

由定理1.1.16（3），

再由定理2.1.5，

由定理1.1.13和定理2.1.5可得

f（x）≤g（x）≤h（x）．

如果

则

下面我们利用四则运算法则（定理2.1.8）和夹逼定理（定理2.1.9）求一些函数的极限。

再用定理2.1.8（1）（2），得

由除法法则（定理2.1.8（4）），对于有理函数R定义域内的任何一点x₀，有

解　由于x≠1时，

所以

即

tanx＜x＜sinx．

图2.3

｜sinx｜≤｜x｜，

即

－｜x｜≤sinx≤｜x｜，

由夹逼定理，

由（1）和夹逼定理，

f（x）＞g（x）．

取左边的不等式，

取右边的不等式，

由定理2.1.13，我们得到下面两个推论：

f（x）＞0．

证明　取g（x）≡0，由定理2.1.13直接得到。　　□

g（x）≤f（x），

则

B≤A．

g（x）＞f（x）．

收敛的数列一定有界（见定理1.1.8），但在函数极限中只能得到局部的结论。

｜f（x）｜＜M．

｜f（x）－A｜＜ε＝1．

此时，

｜f（x）｜≤｜f（x）－A｜＋｜A｜＜｜A｜＋1．

取M＝｜A｜＋1＞0，则

｜f（x）－A｜＜ε，

则称f在x₀处有左极限，A是f在x₀的左极限，记为

｜f（x）－A｜＜ε，

则称f在x₀处有右极限，A是f在x₀的右极限，记为

由定义，容易证明f在x₀处有极限当且仅当f在x₀处的左、右极限都存在并且相等。

当x＜0时，｜x｜＝－x．此时，f（x）＝x－1，

当x＞0时，｜x｜＝x．此时，f（x）＝x＋1．

f在0处的左、右极限都存在但不相等，所以f在0处没有极限。

当x在一个无穷区间，例如（a,＋∞）内向＋∞变化时，我们也可以定义相应的极限概念。

｜f（x）－A｜＜ε，

则称A是f当x趋向于＋∞时的极限，记为

｜f（x）－A｜＜ε，

则称A是f当x趋向于－∞时的极限，记为

｜f（x）－A｜＜ε，

则称A是x趋向于∞时的极限，记为

显然

所以

由于arctanx是奇函数，所以

单侧极限和无穷过程极限与一般极限有类似的性质，这里不再重复，请读者自己叙述和应用。

a_n＞M（或者a_n＜－M）

称｛x_n｝趋向于＋∞（或者－∞），记为

定理2.1.23

证明　我们要证明

（a）利用归结原理和夹逼定理。设｛x_k｝是任何一个趋向于＋∞的数列，不妨设x_k＞1．对于每一个k，存在唯一的正整数n_k，使得n_k≤x_k＜n_k＋1，则｛n_k｝趋向于＋∞，因此

令k→∞得

因此

（b）当x→－∞时，t＝－（x＋1）→＋∞，所以