线性微分方程解的性质及解的结构定理

1.5.7　线性微分方程解的性质及解的结构定理

设有二阶齐次线性方程

则有:

①(性质定理)如果y₁(x)与y₂(x)是方程(1.5-8)的两个解，那么y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)就是方程(1.5-8)的解，其中C₁、C₂是两个任意常数;

②(结构定理)如果y₁(x)与y₂(x)是方程(1.5-8)的两个线性无关的特解，那么y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)就是方程(1.5-8)的通解，其中C₁、C₂是两个任意常数.设有二阶非齐次线性方程

则有:

①(结构定理)如果y^*(x)是方程(1.5-9)的一个特解，Y(x)是与方程(1.5-9)对应的齐次方程(1.5-8)的通解，那么

y=Y(x)+y^*(x)

就是方程(1.5-9)的通解;

②(迭加原理)设方程(1.5-9)的右端f(x)=f₁(x)+f₂(x)，而y^*₁(x)与y^*₂(x)分别是方程

y″+P(x)y'+Q(x)y=f₁(x)

【例1.5-11】验证y₁=e^x2及y₂=xe^x2都是方程y″－4xy'+(4x²－2)y=0的解，并写出该方程的通解.

故y₁与y₂都是方程的解.

又因x≠常数，故y₁与y₂线性无关，由解的结构定理知方程的通解为

y=C₁y₁+C₂y₂=(C₁+C₂x)e^x2.

1.5.8二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是

其中p，q为常数.

以r^k代替上式中的y^(k)(k=0，1，2)，得一代数方程

r²+pr+q=0，

这方程称为微分方程(1.5-10)的特征方程，特征方程的根称为特征根.

按特征根的情况，可直接写出方程(1.5-10)的通解如下:

①特征方程有两个不相等的实根r₁≠r₂，方程(1.5-10)的通解为

y=C₁e^r1x+C₂e^r2x;

②特征方程有两个相等的实根r₁=r₂=r，方程(1.5-10)的通解为

y=(C₁+C₂x)e^rx;

③特征方程有一对共轭复根r₁=α+iβ，r₂=α－iβ(β≠0)，方程(1.5-10)的通解为

y=e^αx(C₁cosβx+C₂sinβx).

上述结果，可简单地表成如下形式:

【例1.5-12】求方程y″－2y'－3y=0的通解.

解:这是二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为r²－2r－3=0，其根r₁=－1，r₂=3，通解为y=C₁e^－x+C₂e^3x.

【例1.5-13】求方程y″－2y'+5y=0的通解.

解:方程的特征方程为r²－2r+5=0，其根r_1，2=1±2i，通解为

y=e^x(C₁cos2x+C₂sin2x).

【例1.5-14】求方程=－2的特解.

解:方程的特征方程为r²+2r+1=0，其根r₁=r₂=－1，通解为s=(C₁+C₂t)e^－t.

将s=4代入通解，得C=4，从而s=(4+Ct)e^－t.求导得s'=(C－4－Ct)e^－t.再将_t=0₁₂₂₂ s'_t=0=－2代入，得C₂=2，于是所求特解为s=(4+2t)e^－t.