微分及其应用

1.2.4　微分及其应用

1.微分概念

设函数y=f(x)在某区间I内有定义，x₀∈I，x₀+Δx∈I.若函数的增量

Δy=f(x₀+Δx)－f(x₀)=AΔx+o(Δx)，

其中A是不依赖于Δx的常数，则称y=f(x)在点x₀可微分，AΔx叫做y=f(x)在点x₀相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即

dy=AΔx.

函数y=f(x)在点x的微分称为函数y=f(x)的微分，记作dy或df(x).

函数y=f(x)在点x₀可微分的充要条件是f(x)在点x₀可导，且当f(x)在点x₀可导时，其微分一定是

dy=f'(x₀)Δx，

函数的微分是

dy=f'(x)Δx.

通常把Δx称为自变量的微分，记作dx，即

dx=Δx，

于是函数的微分可写成

dy=f'(x)dx.

2.基本微分公式与微分法则

(1)基本微分公式

d(x^μ)=μx^μ－1dxd(sinx)=cosxdx

d(cosx)=－sinxdxd(tanx)=sec²xdx

d(cotx)=－csc²xdxd(secx)=secx·tanxdx

d(cscx)=－cscxcotxdxd(a^x)=a^xlnadx

(2)函数和、差、积、商的微分法则

设函数u=u(x)，v=v(x)均可微，则

d(u±v)=du±dv，

d(Cu)=Cdu，

d(uv)=vdu+udv，

(3)复合函数的微分法则

设y=f(u)，u=φ(x)均可微，则y=f［φ(x)］也可微，且

dy=f'(u)du=f'(u)·φ'(x)dx.

【例1.2-31】函数y=x³e^2x在x=1处的微分是(　).

(A)5e²dx　(B)2e²dx　(C)3e²dx　(D)e²dx

解:dy=(x³e^2x)'dx=(3x²e^2x+2x³e^2x)dx，

dy|_x=1=5e²dx，

故应选(A).