连分数及其应用

在讨论斐波纳契数列的性质时，我们见到了一个有趣的分数.

其实这就是所谓的连分数，连分数有许多应用.为此，先介绍一下几个有关的概念.

4.3.1 简单连分数

1.连分数

若a₀为整数，a₁，a₂，…皆为正整数，则

叫做简单连分数，为了书写方便，常用符号［a₀，a₁，a₂，…］来表示，分数

叫做有限连分数．

结论1任何一个有理数都可以展开为有限简单连分数．

结论2任何一个有限简单连分数都可以化为一个有理数．

2.渐近分数

分别由原连分数在第一，第二，第三，……，处切断而得到，这些分数分别叫做连分数的第一，第二，第三，……个渐近分数．

4.3.2 连分数在历法学上的应用

1.为什么四年一闰，而百年又少一闰

从天文学知道，一年有365.242200…个所谓的“平均日”.而不是365个平均日．换句话说，如果地球绕太阳一周是365天整，那么我们就不需要分平年与闰年了．也就是说，没有必要每隔四年把2月份28天改成29天了．如果地球绕太阳一周恰好是365.25天，那么我们每四年加一天的算法就可以非常精确，没有必要每隔4年又加一天了.如果地球绕太阳一周恰好是365.24天，那么一百年就有24个闰年.即四年一闰而百年少一闰就是我们用的历法的来源.由 可知，每四年加一天，由 知，每百年加24天，但是事情并不是那样简单．地球绕太阳一周的时间是365.24220…个所谓的“平均日”．当然，年与日这样复杂的比值在实际生活中根本是不方便的.若用天文年则为365.2422．这一小误差逐渐引起了季节和日历关系之间的难以预料的大变动.例如16世纪，春分是3月11日.而不是原来的3月21日.中国历史上曾经有过多次重大的历法改革等.其根本原因就在于此．

为了比较精确的确定，必须用更简单的数来代替“平均日”.即便是准确度差一点也行，分解365.24220…成连分数.我们得到

这里前几个渐近分数是

这些渐近分数也是一个比一个更精密.这说明四年加一天是初步的最好的近似值.但29年加7天更精确些．33年加8天又更精确些.而99年加24天正是我们的百年少一闰的由来.由前面的数据也可以知晓，128年加31天更精密．积少成多，如果过了43 200年，照百年24闰的算法，一共加了432×24=10 368天，但是照精密的计算算法，却应该是10 463天.这样一来，少加了95天，这说明，按照百年24润的算法，过43 200年后，人们将提前95天过年，也就是秋初就要过年了.所以历法又规定每400年加一闰.这样做闰年又多了.所以进一步规定，世纪数不能被4整除的世纪年如1700年，1800年，1900年，2100年等不是闰年，而其余的世纪年如1600，2000，2400等是闰年.

2.农历的月大月小，闰年闰月

为什么农历大月30天而小月29天？我们知道，朔望月是29.5306天，把小数部分展成连分数

其渐近分数是

也就是说，就一个月来说，最近似的是30天，两个月就应当一大一小，而15个月中应当8大7小.17个月中9大8小等.就49个月来说，前两个17个月里，都有9大8小，最后15个月里，有8大7小，这样在49个月中，就有26个大月．

关于农历的闰月，因地球绕太阳一周需365.2444…天，朔望月是29.5306天.而这正是我们通用的农历月.因此，一年中应当有

个农历的月份.也就是说多于12个月.因此农历有些年是12个月，有些年是13个月，称为闰年.把分数部分展成连分数，得到

=［2，1，2，1，1，16，1，5，2，6，2，2］

其渐近数是

因此，2年1闰太多，3年1闰太少，8年3闰太多，11年4闰太少，19年7闰嫌多.