节点电位法

如果在电路中任选一节点作为参考点，那么其他节点与参考点之间的电压就称为该节点的电位。每条支路上的电流都可以用两端节点电位之差除以支路电阻的形式来表示，节点电位法是以独立节点电位为变量，列KCL方程，而对电路进行求解的方法。对于节点较少而网孔较多的电路来说，用节点电位法来分析电路是非常便捷的。只要在电路中先设定一个参考电位点，然后把其余各个节点的电位求出，每条支路都是连在两个节点之间，知道了某条支路两端的节点电位差（即该支路电压），很容易根据欧姆定律求得该支路电流。

现以图2.5.1为例，介绍节点电位法的分析方法。图中，IS1、US5及R1、R2、R3、R4、R5均为已知。

图2.5.1　节点电位法

以节点O为参考点，节点a和节点b的电位分别设为Va和Vb。各支路电流的参考方向如图所示，由欧姆定律，可知各支路电流与节点电位之间存在如下关系：

根据KCL，可得

节点a　　I1＋I2＋I3－IS1＝0

节点b　　－I3－I4＋I5＝0

将各支路电流代入节点电位方程，整理得

节点a　　

节点b　　

若将电阻的倒数用电导表示，可得

节点a　　（G1＋G2＋G3）Va－G3Vb＝IS1

节点b　　－G3Va＋（G3＋G4＋G5）Vb＝G4US4

写成一般形式为

式（2.5.1）是具有两个独立节点的节点电位方程的一般形式，说明如下。

（1）Gaa、Gbb分别称为节点a、b的自导，Gaa＝G1＋G2＋G3，Gbb＝G3＋G4＋G5，其数值等于各独立节点所连接的各支路的电导之和，自导总取正值。

（2）Gab、Gba分别称为节点a、b的互导，Gab＝Gba＝－G3，其数值等于两独立节点之间的各支路电导之和，互导总取负值。

（3）ISaa、ISbb分别是流入节点a和节点b的各电流源的代数和，流入节点的电流源取正号，流出节点的取负号。如果是电压源和电阻串联的支路，则要将其看成是等效的电流源与电阻并联的形式，注意等效变换时电流源的方向。

节点电位法的一般步骤可归纳如下。

（1）选取参考节点。

（2）建立节点电位方程组，其方程个数与独立节点个数相等。一般可先写出各节点的自导、各节点间的互导及流入各节点的电流源的代数和，然后再按规范形式写出方程组。

（3）求解方程组，即可得出各节点电位值。

（4）设定各支路电流的参考方向，根据欧姆定律和各节点电位值即可求出各支路电流。

【例2.5.1】　用节点电位法求如图2.5.2所示电路中各支路电流。已知US1＝3V，US2＝4V，IS＝0.2A，R1＝1Ω，R2＝6Ω，R3＝5Ω，R4＝10Ω。

【解】　设点O为参考节点，该电路除参考节点外，只有一个独立节点a，只需列一个独立节点方程，设节点电压为Va，R3与电流源IS串联，可去掉。

由欧姆定律及KVL，得

本题中，节点电位Va还可以写成一般形式为

式（2.5.2）称为弥尔曼定理，它其实是节点电位法的一种特殊情况，即电路中只有一个独立节点，右边分式中分子为流入节点a的等效电流源的代数和，分母为该节点所连接各支路的电导之和。

图2.5.2　例2.5.1的图

图2.5.3　例2.5.2的图

【例2.5.2】　试用节点电位法求如图2.5.3所示电路中的各支路电流。

【解】　取节点O为参考节点，节点a、b的电位分别为Va、Vb，按式（2.5.1）得

解之得Va＝2V，Vb＝－4V

取各支路电流的参考方向如图所示。根据支路电流与节点电位的关系，有

思考与练习

2.5.1　节点电位方程中的各项分别表示什么意义？其正、负号如何确定？

2.5.2　列出如图2.5.4所示电路的节点电位方程。

2.5.3　求图2.5.5电路中点a电位。

图2.5.4　题2.5.2的图

2.5.4　用节点电位法求如图2.5.6所示电路中各支路电流。已知US1＝6V，US2＝8V，IS＝0.4A，R1＝0.1Ω，R2＝6Ω，R3＝10Ω，R＝3Ω。

图2.5.5　题2.5.3的图

图2.5.6　题2.5.4的图