基于奇异值分解的模型阶数估计

Prony算法的精度以及速度与实际选取的模型阶数直接相关[186]，因此模型阶数的合理选择成为了低频振荡模态辨识的关键，特别是基于WAMS的在线辨识。利用二阶矩样本矩阵的奇异值分布特性进行信号振荡模态阶数的估计，具体分析过程如下:

定义二阶矩样本函数

其中，N为采样数，p为样本矩阵阶数。则在样本函数基础上构造二阶矩的样本矩阵为

样本矩阵维数p取为N/2，保证尽量包含处理信号的特征，则模型阶数的预测可转为求解线性方程组。

R·[1α1…αp]T=0 　(2-15)

根据矩阵奇异值分解可知

R=UΣVH 　(2-16)

其中，U和V都是酉矩阵，若一个复数矩阵称为酉矩阵，则其逆矩阵等于共轨转置矩阵，如果是一个实酉矩阵，则称为正交矩阵。∑是一个p×(p+1)维对角阵，其主对角线上的元素是非负的，称作矩阵R的奇异值，设所有奇异值按从小到大的顺序形成的序列为:S=(σ1，σ2，…，σq)，其中σi，i=1，2，…，q是二阶矩样本矩阵的奇异值。

对于M阶的理想输入信号，当计算阶数p大于系统实际阶数时，样本矩阵R的后p-M个奇异值为零。为此，在不确定实际信号的阶数时，保留∑的前k个奇异值不变，并将其他奇异值置零，记这一矩阵为∑k。

为此，存在样本矩阵R的逼近矩阵

R(k)=UΣkVH 　(2-17)

逼近的程度要用矩阵差的范数来表示，具体为

‖R-R(k)‖F=‖UΣVH-UΣkVH‖F 　(2-18)

通过范数分析表明，当选取的k为p时已使得‖R-R(k)‖F足够小时，并且当k＞p时，该范数不再明显减小，这一p值就是我们所要求的模型阶数。

Prony拟合的误差指标一般用信噪比指标来衡量其拟合精度[187]。

其中，rms表示均方根，n表示采样点数，yi表示实测数据的第i个点的采样值表示对应的拟合曲线中第i个点的采样值，信噪比指标SNR变化率快且非常敏感，可以定量地反映出拟合的准确度，经过大量试验，一般SNR指标达到60就可以认为辨识达到要求。