点的投影变换

3.2　点的投影变换

点是组成一切几何体的基本元素，因此，研究它的投影变换规律和作图方法，是学习换面法的基础。

3.2.1　点的一次变换规律

1.变换V面（V/H→V1/H）

如图3-2所示，A点在V/H投影体系中的投影为a、a′，现设立新的投影面V1，代替原V面，使V1面⊥H面，组成新的投影体系V1/H，V1面与H面的交线为X1，即新的投影轴，由点A向V1面作垂线与V1面交于a₁′，即新投影面上的投影。然后使V1面绕它与H面的新投影轴O1X1转到与H面在同一平面上，这时a和a1′的投影连线必垂直于新的投影轴O1X1，即aa₁′⊥O₁X₁。另外，由于H面是公共水平面，V面和V1面都垂直于它，因此A点在V面和V1面两个面上的投影a′和a₁′离H面的距离必然相等，即a′a_x＝a′₁a_x1。

图3-2　点的一次变换

2.变换H面（V/H→V/H1）

如图3-3所示，设立一个垂直于V面的投影面H1来代替原H面组成新的投影体系V/H₁。由于V面不动，所以点到V面的距离不变，即a₁a_x1＝aa_x，并且a₁a′⊥O₁X1。

归纳上述，可得到点的投影变换规律如下。

（1）点的新投影与原不变投影的连线必垂直于新投影轴。

（2）点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的原投影到原投影轴的距离。

图3-3　变换H面

3.2.2　点的两次变换

在利用换面法解决实际问题时，有时经过一次换面不能达到目的，而需要经过两次或多次换面。图3-4所示为点的两次换面，其原理与一次换面相同，只是将作图步骤依次再重复一次。

图3-4　点的两次变换

两次变换投影面时必须注意，新投影面的设置除了必须符合前面所述的两个条件外，还必须是在一个投影面更换完以后，在新的两面体系中，交替地再更换另外一个投影面。例如，第一次以V1面代替V面组成了V1/H新体系，第二次变换则应以H2代替H组成V1/H2体系，可如此交替多次变换，达到解题的目的。