点和直线的标高投影

10.1　点和直线的标高投影

10.1.1　概述

在土木、水利工程中，对于形状不规则的地面、弯曲的道路等复杂曲面，用多面正投影的表达方法就不太恰当。如图10-1所示，起伏不平的地面就很难用三面正投影表达清楚。而且，地面的高度与地面的长、宽相比显得很小。为此，常用一组平行、等距的水平面去截交地面，所得的每条截交线都为水平的曲线，线上的每一点距水平基准面H的高度相等，这些水平曲线称为等高线。这种标注了高程的地形等高线的水平投影，叫地形图。它能清楚表达地面起伏变化的形状。这种表达方法称为标高投影法。标高投影是在物体的水平投影上标注某些特征面、线以及控制点的高程数值的单面正投影图，但有时也要用铅垂面上的投影来帮助解决某些问题。

图10-1　标高投影图概述

标高投影除了用来表示地形图以外，在土木、水利工程中，工程建筑物表面的一些相交问题以及与地面的相交问题，如工程建筑物的坡面交线，以及坡面与地面相交的坡边线等，也都常常用标高投影的方法解决。

10.1.2　点的标高投影

在点的水平投影旁，标上它的投影符号字母，在字母右下角加注该点距离水平基准面H的高程数字，就是它的标高投影图。

如图10-2所示，设空间有三个点A、B、C，作出它们在水平基准面H上的正投影a、b、c,并在字母右下角加注它们距离水平基准面H的高程数字5、0、－3，这些高程数字称为点A、B、C的标高。设水平基准面H的高程为0，基准面H以上的高程为正，基准面H以下的高程为负，点A的高程为+5，记为₅a；点B的高程为0，记为₀b；点C的高程为－3，记为₃c₋。于是就得到了这三个点的标高投影。在点的标高投影图中还应画出带有刻度的、水平方向的一粗一细的平行双线所表示的绘图比例尺，单位为米(m)。

图10-2　点的标高投影

10.1.3　直线标高投影的一般表示法

1.直线标高投影的一般表示法

(1)直线的标高投影一般由两个端点的标高投影的连线来表示。如图10-3所示，一般位置直线AB、铅垂线CD、水平线EF的标高投影为₆₂ab、₇₂cd、₄₄ef。

图10-3　直线的标高投影的一般表示法

(2)等高线由它的水平投影加注一个标高数字来表示，加注的标高数字(即直线的高程数字)可以标注在它的水平投影的任一端，如图10-3中右侧的高程为4m的等高线；标高数字也可以注在等高线的上方，或者两端都注相同的标高数字。

(3)一般位置直线也可用直线上的一个点的标高投影并加注直线的坡度和下降方向来表示，直线的坡度和下降方向用注明坡度数值的带箭头的细实线表示。

如图10-4中的标高投影所示，直线过高程为6m的点A，箭头表示直线上点的高程降低的方向，i=1∶1.5表示直线的坡度；坡度也可用分数表示，例如也可写成i＝2／3。

2.直线的刻度、坡度和平距

在实际工作中，直线两端点的标高常常不是整数，如有需要，可以在直线的标高投影上定出各整数标高点，不必注出各整数标点的投影符号字母，只要标注它们的整数标高，这就是直线的标高投影的刻度。

如图10-4所示，直线上任意两点A和B的高差H和它们的水平距离L(这两点间的线段的水平投影的长度)之比，称为直线的AB坡度i。当直线对水平面倾角为α时，则直线的坡度i为

i=H/L=tanα

图10-4　直线的坡度和平距

直线上任意两点的高差为一个单位(也就是1m)时的水平距离，称为该直线的平距，记为l，与坡度互为倒数。

这时，直线的坡度i可表示为

i=1/l

从上式可以看出，若直线的坡度大，则平距小；反之，若坡度小，则平距大。

例10-1　如图10-5所示，已知直线AB的标高投影a_7.6b_3.1,求作直线AB的刻度(整数高程点)。

分析　用比例尺量得的a_7.6与b_3.1的水平距离L_AB=9m，则直线AB的坡度

i=H_AB/L_AB=(7.6－3.1)/9=0.5

点a_7.6到第一个整数高程点c₇的水平距离

L_AC=H_AC/I=0.6/0.5m=1.2m

作图　(1)用比例尺在直线a_7.6b_3.1从点a_7.6量取L_AC=1.2m，得c₇。

(2)从c₇往b_3.1方向依次按2m的平距量得各整数高程点d₆、e₅、f₄。

例10-2　如图10-6所示，已知直线AB的标高投影a₈b₅和直线上的点C到点A的水平距离L_AC=4m，求作直线AB的坡度i、平距l，以及直线AB上的点C的高程。

图10-5　例10-1图

图10-6　例10-2图

解　用比例尺量得的a₈与b₅的水平距离L为12m，则直线AB的坡度

i = H / L = (8 − 5) /12 = 1/ 4

直线AB的平距　　　　　　　　　l=1/i=4

点C与点A的高差　　　　　　　　H_AC=iL_AC=1/4×4m=1m

点C 的高程　　　　　　　　　　H_C=H_A−H_AC=(8−1)m=7m(记为c₇)